Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen 08:05 min

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen kannst du es wiederholen und üben.

• Beschreibe, wie man den Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen kann.

  Tipps

  Betrachte das abgebildete Prisma. Welche Flächen setzen sich zur Mantelfläche zusammen?

  Zeichne das Netz eines Prismas. Wie berechnet man die Flächeninhalte der einzelnen Flächen?

  Lösung

  Der Oberflächeninhalt eines Prismas setzt sich aus der Grund- bzw. Deckfläche und der Mantelfläche zusammen. Die Grundfläche und die Deckfläche sind stets gleich groß. Man sagt dazu auch deckungsgleich.

  Den Flächeninhalt dieser beiden Fläche bezeichnen wir mit dem Buchstaben $A$. Wir erhalten also $2 \cdot A$. Die Mantelfläche, die wir mit $M$ bezeichnen, addieren wir nun hinzu und erhalten die Formel für die Oberfläche eines Prismas: $O = 2 \cdot A + M$.

  Die Mantelfläche setzt sich aus Rechtecken zusammen. Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen wir, indem wir seine Länge mit seiner Breite multiplizieren. Die gesamte Länge der Mantelfläche entspricht dem Umfang der Grundfläche. Die Breite unserer Mantelfläche entspricht der Höhe des Prismas. Wir müssen also den Umfang der Grund- bzw. Deckfläche mit der Höhe des Prismas multiplizieren und erhalten die Formel: $M = u \cdot h$.

• Bestimme die Grund- bzw. Deckfläche und die Mantelfläche des Prismas.

  Tipps

  Die Grundfläche ist kongruent zur Deckfläche des Prismas. Das heißt, dass sie deckungsgleich sind und denselben Flächeninhalt haben.

  Es gibt genauso viele Rechtecke in der Mantelfläche, wie das Vieleck der Grundfläche Kanten hat.

  Addiert man die Mantelfläche zur Deck- und Grundfläche, so erhält man den Oberflächeninhalt.

  Lösung

  Gegeben ist ein vierseitiges Prisma. Der Oberflächeninhalt setzt sich zusammen aus der Grund- bzw. Deckfläche und der Mantelfläche des Prismas.

  Die Grundfläche des Prismas ist trapezförmig und kongruent zur Deckfläche. Diese beiden Flächen färben wir blau.

  Es bleiben noch vier Rechtecke übrig, welche die Mantelfläche bilden und daher rot eingefärbt sind. Es gibt genauso viele Rechtecke in der Mantelfläche, wie das Vieleck der Grundfläche Kanten hat.

• Berechne, wie viel Quadratmeter Geschenkpapier du benötigst.

  Tipps

  Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man, indem man die Länge mit der Breite multipliziert.

  Die Mantelfläche eines Prismas berechnet man mit der Formel $M = u \cdot h$, wobei $u$ den Umfang der Grundfläche und $h$ die Höhe des Prismas angibt.

  Den Oberflächeninhalt berechnet man mit der Formel $O = 2 \cdot A + M$.

  Wie wandelt man $cm^2$ in $m^2$ um?

  Lösung

  Das Geschenk hat die Form eines Quaders. Das Geschenkpapier bedeckt die gesamte Oberfläche des Quaders einmal. Wir suchen also den Oberflächeninhalt des Quaders. Diesen bestimmen wir mit der Formel $O = 2 \cdot A + M$, wobei $A$ den Flächeninhalt der Grund- bzw Deckfläche und $M$ die Mantelfläche angibt. Die Grundfläche des Geschenkes hat die Form eines Rechtecks. Seinen Flächeninhalt berechnen wir, indem wir seine Länge mit der Breite multiplizieren. Wir erhalten eine Grundfläche von:

  $\begin{align} A & = 60~cm \cdot 30~cm\\ A & = 1800~cm^2\\ \end{align}$

  Die Mantelfläche erhalten wir, wenn wir den Umfang der Grundfläche mit der Höhe des Prismas multiplizieren. Wir erhalten:

  $\begin{align} M & = (60~cm + 30~cm + 60~cm + 30~cm) \cdot 15~cm\\ & = 180~cm \cdot 15~cm\\ & = 2700~cm^2\\ \end{align}$

  Da wir nun $A$ und $M$ kennen, können wir den Oberflächeninhalt bestimmen und erhalten:

  $\begin{align} O & = 2 \cdot 1800~cm^2 + 2700~cm^2\\ O & = 6300~cm^2 = 0,63~m^2\\ \end{align}$

  Du brauchst also $0,63~m^2$ Geschenkpapier.

• Bestimme den Flächeninhalt der Grundfläche $A$, der Mantelfläche $M$ und der Oberfläche $O$ des fünfeckigen Prismas.

  Tipps

  Den Flächeninhalt eines Fünfecks berechnet man mit der Formel $A = \frac{\sqrt{25 + 10 \cdot \sqrt{5}}}{4} \cdot a^2$, wobei $a$ die Kantenlänge angibt.

  Die Mantelfläche berechnet man, indem man den Umfang der Grundfläche mit der Höhe des Prismas multipliziert.

  Mit der Formel $O = 2 \cdot A + M$ berechnet man den Oberflächeninhalt eines Prismas.

  Lösung

  Das obige Bild zeigt das Netz eines Prismas, dessen Grund- bzw Deckfläche die Form eines Fünfecks hat. Die Mantelfläche hat die Form von Rechtecken. Um den Oberflächeninhalt von diesem Prisma zu bestimmen, müssen wir den Flächeninhalt $A$ der Grund- bzw Deckfläche und der Mantelfläche $M$ bestimmen. Den Flächeninhalt eines Fünfeck berechnet man mit der Formel $A = \frac{\sqrt{25 + 10 \cdot \sqrt{5}}}{4} \cdot a^2$. Setzen wir in diese Formel unseren Wert für die Kantenlänge ein, erhalten wir:

  $\begin{align} A & = \frac{ \sqrt{25 + 10 \cdot \sqrt{5}} }{4} \cdot (3~cm)^2\\ & = \frac{\sqrt{25 + 10 \cdot \sqrt{5}}}{4} \cdot 9~cm^2\\ & = 15,48~cm^2\\ \end{align}$

  Die Mantelfläche berechnen wir, indem wir den Umfang der Grundfläche mit der Höhe des Prismas multiplizieren. Den Umfang der Grundfläche errechnen wir, indem wir die Kantenlänge mit $5$ multiplizieren, da wir $5$ mal die gleiche Kantenlänge haben. Wir erhalten:

  $\begin{align} M & = ( 5 \cdot 3~cm) \cdot 10~cm\\ & = 15~cm \cdot 10~cm\\ & = 150~cm^2\\ \end{align}$

  Da wir nun $A$ und $M$ kennen, können wir den Oberflächeninhalt bestimmen und erhalten:

  $\begin{align} O & = 2 \cdot A + M\\ & = 2 \cdot 15,48~cm^2 + 150~cm^2\\ & \approx 180,96~cm^2\\ \end{align}$

  Der Oberflächeninhalt des Prismas ist also $180,96~cm^2$ groß.

• Gib die Seitenlängen des Prismas an.

  Tipps

  Bestimme die Grundflächen beim Prisma und beim Netz und vergleiche sie miteinander.

  Welche vier Flächen ergeben zusammen die Mantelfläche?

  Lösung

  In dem Bild ist abgebildet, wie lang die einzelnen Seiten sind. Dabei steht der Quader auf der $2~cm \cdot 6~cm = 12~cm^2$ großen Grundfläche. Die Grund- bzw. Deckfläche haben die Form eines Rechtecks. Wie du sehen kannst, sind alle Seiten, die parallel zueinander liegen, gleich lang. Du kannst auch einmal das Körpernetz nachbasteln und selbst zusammenbauen. Wenn du alles richtig gemacht hast, erhältst du ein Prisma wie das hier abgebildete.

• Ermittle den Oberflächeninhalt des sechseckigen Prismas.

  Tipps

  Welche Form hat die Grund- bzw. Deckfläche?

  Den Oberflächeninhalt eines Prismas berechnet man mit der Formel $O = 2 \cdot A + M$.

  Lösung

  Das obige Bild zeigt das Netz eines Prismas, dessen Grund- bzw. Deckfläche die Form eines Sechsecks hat. Um den Oberflächeninhalt von diesem Prisma zu bestimmen, müssen wir den Flächeninhalt $A$ der Grund- bzw. Deckfläche und die Mantelfläche $M$ berechnen.

  Den Flächeninhalt eines Sechsecks berechnet man mit der Formel $A = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot a^2$. Setzen wir in diese Formel unseren Wert für die Kantenlänge ein, erhalten wir:

  $\begin{align} A & = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot (4~cm)^2\\ & = 41,57~cm^2\\ \end{align}$

  Die Mantelfläche berechnen wir, indem wir den Umfang der Grundfläche mit der Höhe des Prismas multiplizieren. Der Umfang beträgt $u=6 \cdot 4~cm$, da wir $6$ mal die gleiche Kantenlänge haben. Wir erhalten daher als Mantelfläche:

  $\begin{align} M & = ( 6 \cdot 4~cm) \cdot 10~cm\\ & = 24~cm \cdot 10~cm\\ & = 240~cm^2\\ \end{align}$

  Da wir nun $A$ und $M$ kennen, können wir den Oberflächeninhalt bestimmen und erhalten:

  $\begin{align} O & = 2 \cdot A + M\\ & = 2 \cdot 41,57~cm^2 + 240~cm^2\\ & = 323,14~cm^2\\ \end{align}$

  Der Oberflächeninhalt des Prismas beträgt also $323,14~cm^2$.