Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen 08:05 min

Hallo, heute erkläre ich dir, wie man den Oberflächeninhalt eines Prismas berechnet. Es gibt viele Situationen in deinem Leben, in denen es von Vorteil ist, den Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen zu können. Stell dir z.B. vor, ein Freund von dir hat Geburtstag und du möchtest ihm ein Geschenk machen. Natürlich möchtest du das auch schön verpacken. Da du aber kein Papier verschwenden möchtest, willst du genau berechnen, wie viel Papier du zum Einpacken benötigst. Um dir zu zeigen, wie du den Flächeninhalt der Oberfläche eines Prismas berechnest, werde ich dir zunächst erklären, welche Flächen eines Prismas als Mantelfläche und welche als Oberfläche bezeichnet werden. Dazu schauen wir uns einige Prismen etwas genauer an. Im Anschluss werden wir an einem Prisma die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts der Mantelfläche und der Oberfläche herleiten. Mit Hilfe dieser Formeln können wir dann gemeinsam den Geschenkpapierverbrauch von unserem Anfangsbeispiel berechnen. Und zum Schluss fassen wir das Gelernte zusammen. Wie du ja schon weißt, können Prismen ganz unterschiedliche Formen annehmen. Sie haben jedoch bestimmte Merkmale gemeinsam. Sie besitzen alle ein Vieleck als Grund- und Deckfläche und ihre Seitenkanten sind parallel und gleich lang. Auch unser Geschenk ist ein Prisma, ein sogenannter Quader. Quader sind Prismen, deren Grund- und Deckfläche Rechtecke sind. Aber was sind nun die Mantelfläche und was die Oberfläche dieser Prismen? Dazu betrachten wir die Netze der Prismen. Jedes Netz eines Prismas besteht aus zwei Vielecken. Das sind die Grund- und die Deckfläche deines Prismas, diese sind hier in den Netzen blau gefärbt. Zu diesen beiden Flächen kommt noch eine Menge von Rechtecken hinzu, diese sind hier rot gefärbt. Als Oberflächeninhalt eines Prismas bezeichnet man die Summe der Flächeninhalte aller Flächen, also aller blauen und roten Flächen. Die Mantelfläche besteht nur aus den roten Rechtecken. Die Grund- und die Deckfläche sind hier blau. Die Anzahl der Rechtecke entspricht dabei der Anzahl der Kanten deiner Grundfläche. Also bei einem Dreieck als Grundfläche hast du drei Seiten und damit drei Rechtecke als Mantelfläche, bei einem Viereck vier usw. Betrachten wir nun ein Beispiel, an dem wir die Formel für die Berechnung der Ober- und Mantelfläche aufstellen können. Gegeben sei dir ein vierseitiges Prisma mit der Höhe h. Möchten wir die Oberfläche dieses Prismas berechnen, so betrachten wir zunächst einmal sein Netz. Das Netz besteht aus verschiedenen Flächen, deren Flächeninhalt wir addieren müssen, um die Gesamtfläche zu erhalten. Da haben wir einmal die trapezförmige Grund- und Deckfläche, die hier wieder in blau gefärbt sind, und dann die unterschiedlich großen Rechtecke in rot, die die Mantelfläche bilden. Da Grund- und Deckfläche kongruent, also deckungsgleich, sind, haben sie auch den gleichen Flächeninhalt. Diesen kürzen wir mit groß A ab. Jetzt fehlt uns nur noch die Mantelfläche, bestehend aus den roten Rechtecken. Wie schon erwähnt gibt es genauso viele Rechtecke wie das Vieleck der Grundfläche Kanten hat. Hier haben wir ein Viereck, also haben wir auch vier Rechtecke. Jedes Rechteck hat dabei dieselbe Länge, denn diese Länge entspricht der Höhe des Prismas. Die Breiten der Rechtecke entsprechen genau der Länge der jeweiligen Seiten des Vielecks. Du weißt, dass man den Flächeninhalt eines Rechteckes mit Länge mal Breite berechnet. Um jetzt nicht jeden Flächeninhalt für jedes Rechteck einzeln berechnen zu müssen, kannst du ja mal das große Rechteck betrachten, welches aus all den kleinen roten zusammengesetzt ist. Erkennst du was? Genau, die Länge ist immer noch h, die Breite ist jetzt jedoch die Summe aller Breiten der kleinen Rechtecke. Diese Summe ist jedoch nichts anderes als der Umfang der Grundfläche des Vielecks. Der Flächeninhalt des großen Rechteckes lässt sich also mit Umfang mal Höhe berechnen. Damit haben wir auch schon die Formel für den Flächeninhalt der Mantelfläche. Sie lautet groß M ist gleich Umfang des Vielecks mal Höhe des Prismas. Zur Berechnung des Oberflächeninhalts fehlen jetzt nur noch die Flächeninhalte der Grund und Deckfläche. Diese müssen wir noch zum Mantelflächeninhalt addieren und erhalten so die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts. Wir erhalten O=2A+M und mit der Formel für groß M: 2A plus Umfang mal Höhe. Erinnern wir uns an das Beispiel am Anfang des Videos. Nun kannst du berechnen, wie viel Papier du für das Einpacken deines Geschenkes benötigst. Das Geschenk hat die Form eines Quaders, das heißt auch die Grund- und die Deckfläche sind Rechtecke. Schauen wir uns das Netz des Quaders an. Natürlich brauchen wir jetzt auch ein paar Zahlen. Das Geschenk hat eine Länge von 60cm eine Breite von 30cm und die Höhe beträgt 15cm. Um den Oberflächeninhalt des Geschenkes zu berechnen, schauen wir uns die Formel nochmals an, sie lautet O=2A+M. A ist der Flächeninhalt der Grund- bzw. Deckfläche. Also A=60cm30cm=1800cm². Die Mantelfläche berechnet man mit dem Umfang der Grundfläche mal der Höhe. Also M=(60cm+30cm+60cm+30cm)15cm=180cm15cm=2700cm². Jetzt müssen wir nur noch alle Werte in die Formel für den Oberflächeninhalt einsetzten und erhalten O=21800cm²2700cm²=6300cm² oder 0,63m². Du brauchst also 0,63m² Geschenkpapier, um dein Geschenk vollständig zu bedecken. Zum Glück hast du noch genauso viel übrig. Fassen wir nun alles noch einmal zusammen: 1. Du weißt jetzt, dass die Oberfläche eines Prismas aus der Grundfläche, Deckfläche und der Mantelfläche besteht, wobei Grund- und Deckfläche deckungsgleich sind. 2. Du kennst die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhaltes eines Prismas. Sie lautet O=2A+M. Wobei mit A der Flächeninhalt der Grundfläche bzw. Deckfläche bezeichnet wird und mit M der Mantelflächeninhalt. 3. Du kennst die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts der Mantelfläche. Dazu benötigst du den Umfang der Grundfläche und die Höhe deines Prismas. Sie lautet M=uh. Ich hoffe, das Video hat dir geholfen. Bis zum nächsten Mal!