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Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen 08:05 min

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Transkript Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen

Hallo, heute erkläre ich dir, wie man den Oberflächeninhalt eines Prismas berechnet. Es gibt viele Situationen in deinem Leben, in denen es von Vorteil ist, den Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen zu können. Stell dir z.B. vor, ein Freund von dir hat Geburtstag und du möchtest ihm ein Geschenk machen. Natürlich möchtest du das auch schön verpacken. Da du aber kein Papier verschwenden möchtest, willst du genau berechnen, wie viel Papier du zum Einpacken benötigst. Um dir zu zeigen, wie du den Flächeninhalt der Oberfläche eines Prismas berechnest, werde ich dir zunächst erklären, welche Flächen eines Prismas als Mantelfläche und welche als Oberfläche bezeichnet werden. Dazu schauen wir uns einige Prismen etwas genauer an. Im Anschluss werden wir an einem Prisma die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts der Mantelfläche und der Oberfläche herleiten. Mit Hilfe dieser Formeln können wir dann gemeinsam den Geschenkpapierverbrauch von unserem Anfangsbeispiel berechnen. Und zum Schluss fassen wir das Gelernte zusammen. Wie du ja schon weißt, können Prismen ganz unterschiedliche Formen annehmen. Sie haben jedoch bestimmte Merkmale gemeinsam. Sie besitzen alle ein Vieleck als Grund- und Deckfläche und ihre Seitenkanten sind parallel und gleich lang. Auch unser Geschenk ist ein Prisma, ein sogenannter Quader. Quader sind Prismen, deren Grund- und Deckfläche Rechtecke sind. Aber was sind nun die Mantelfläche und was die Oberfläche dieser Prismen? Dazu betrachten wir die Netze der Prismen. Jedes Netz eines Prismas besteht aus zwei Vielecken. Das sind die Grund- und die Deckfläche deines Prismas, diese sind hier in den Netzen blau gefärbt. Zu diesen beiden Flächen kommt noch eine Menge von Rechtecken hinzu, diese sind hier rot gefärbt. Als Oberflächeninhalt eines Prismas bezeichnet man die Summe der Flächeninhalte aller Flächen, also aller blauen und roten Flächen. Die Mantelfläche besteht nur aus den roten Rechtecken. Die Grund- und die Deckfläche sind hier blau. Die Anzahl der Rechtecke entspricht dabei der Anzahl der Kanten deiner Grundfläche. Also bei einem Dreieck als Grundfläche hast du drei Seiten und damit drei Rechtecke als Mantelfläche, bei einem Viereck vier usw. Betrachten wir nun ein Beispiel, an dem wir die Formel für die Berechnung der Ober- und Mantelfläche aufstellen können. Gegeben sei dir ein vierseitiges Prisma mit der Höhe h. Möchten wir die Oberfläche dieses Prismas berechnen, so betrachten wir zunächst einmal sein Netz. Das Netz besteht aus verschiedenen Flächen, deren Flächeninhalt wir addieren müssen, um die Gesamtfläche zu erhalten. Da haben wir einmal die trapezförmige Grund- und Deckfläche, die hier wieder in blau gefärbt sind, und dann die unterschiedlich großen Rechtecke in rot, die die Mantelfläche bilden. Da Grund- und Deckfläche kongruent, also deckungsgleich, sind, haben sie auch den gleichen Flächeninhalt. Diesen kürzen wir mit groß A ab. Jetzt fehlt uns nur noch die Mantelfläche, bestehend aus den roten Rechtecken. Wie schon erwähnt gibt es genauso viele Rechtecke wie das Vieleck der Grundfläche Kanten hat. Hier haben wir ein Viereck, also haben wir auch vier Rechtecke. Jedes Rechteck hat dabei dieselbe Länge, denn diese Länge entspricht der Höhe des Prismas. Die Breiten der Rechtecke entsprechen genau der Länge der jeweiligen Seiten des Vielecks. Du weißt, dass man den Flächeninhalt eines Rechteckes mit Länge mal Breite berechnet. Um jetzt nicht jeden Flächeninhalt für jedes Rechteck einzeln berechnen zu müssen, kannst du ja mal das große Rechteck betrachten, welches aus all den kleinen roten zusammengesetzt ist. Erkennst du was? Genau, die Länge ist immer noch h, die Breite ist jetzt jedoch die Summe aller Breiten der kleinen Rechtecke. Diese Summe ist jedoch nichts anderes als der Umfang der Grundfläche des Vielecks. Der Flächeninhalt des großen Rechteckes lässt sich also mit Umfang mal Höhe berechnen. Damit haben wir auch schon die Formel für den Flächeninhalt der Mantelfläche. Sie lautet groß M ist gleich Umfang des Vielecks mal Höhe des Prismas. Zur Berechnung des Oberflächeninhalts fehlen jetzt nur noch die Flächeninhalte der Grund und Deckfläche. Diese müssen wir noch zum Mantelflächeninhalt addieren und erhalten so die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts. Wir erhalten O=2A+M und mit der Formel für groß M: 2A plus Umfang mal Höhe. Erinnern wir uns an das Beispiel am Anfang des Videos. Nun kannst du berechnen, wie viel Papier du für das Einpacken deines Geschenkes benötigst. Das Geschenk hat die Form eines Quaders, das heißt auch die Grund- und die Deckfläche sind Rechtecke. Schauen wir uns das Netz des Quaders an. Natürlich brauchen wir jetzt auch ein paar Zahlen. Das Geschenk hat eine Länge von 60cm eine Breite von 30cm und die Höhe beträgt 15cm. Um den Oberflächeninhalt des Geschenkes zu berechnen, schauen wir uns die Formel nochmals an, sie lautet O=2A+M. A ist der Flächeninhalt der Grund- bzw. Deckfläche. Also A=60cm30cm=1800cm2. Die Mantelfläche berechnet man mit dem Umfang der Grundfläche mal der Höhe. Also M=(60cm+30cm+60cm+30cm)15cm=180cm15cm=2700cm2. Jetzt müssen wir nur noch alle Werte in die Formel für den Oberflächeninhalt einsetzten und erhalten O=21800cm22700cm2=6300cm2 oder 0,63m2. Du brauchst also 0,63m2 Geschenkpapier, um dein Geschenk vollständig zu bedecken. Zum Glück hast du noch genauso viel übrig. Fassen wir nun alles noch einmal zusammen: 1. Du weißt jetzt, dass die Oberfläche eines Prismas aus der Grundfläche, Deckfläche und der Mantelfläche besteht, wobei Grund- und Deckfläche deckungsgleich sind. 2. Du kennst die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhaltes eines Prismas. Sie lautet O=2A+M. Wobei mit A der Flächeninhalt der Grundfläche bzw. Deckfläche bezeichnet wird und mit M der Mantelflächeninhalt. 3. Du kennst die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts der Mantelfläche. Dazu benötigst du den Umfang der Grundfläche und die Höhe deines Prismas. Sie lautet M=uh. Ich hoffe, das Video hat dir geholfen. Bis zum nächsten Mal!

17 Kommentare
  1. Ich hoffe dadurch werde ich in der Klassenarbeit morgen die aufgaben lösen können :D sehr schönes Video!

    Von Delta y., vor etwa einem Monat
  2. sehr gut, aber Fehler im Körpernetz bei 3:22 im rechten Bild

    Von Gbeckmann, vor 6 Monaten
  3. DANKE
    war super
    (:

    Von Jan Jac, vor 6 Monaten
  4. cool bei uns heißt das nur O=2mal G+M
    aber kommt ja das bei hinaus

    Von Melanie Obach, vor 6 Monaten
  5. Das war sehr gut erklärt!Auch nicht so kompliziert wie meine Mathelehrerin es immer erklärt:)

    Von Karolina Markl, vor 9 Monaten
  1. Richtig gut erklärt

    Von Josieeee, vor mehr als einem Jahr
  2. Danke, ich fand das Video sehr hilfreich und ich finde Sie haben alles sehr gut erklärt .
    Ich habe so ein Video bereits auf allen möglichen Plattformen gesucht, bin aber nirgends fündig geworden.
    Ich bin begeistert!!!!

    Von Pumpkin P., vor fast 2 Jahren
  3. @Tanja 17: Wie man die Grund- und Deckfläche berechnet, hängt immer von der Form des Prismas ab. Im Beispiel des Geschenk handelt es sich um Rechtecke. Deren Flächeninhalte kannst du berechnen, in dem du die Seitenlängen miteinander multiplizierst. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin B., vor mehr als 3 Jahren
  4. Ich verstehe nicht wie man die Grund und Deckfläche ausrechnet !?

    Von Tanja 17, vor mehr als 3 Jahren
  5. Danke für die Hilfe. Ich komme jetzt besser klar.

    Von Familie Schlorke, vor etwa 4 Jahren
  6. Danke Eva

    Von Mailone, vor mehr als 5 Jahren
  7. heiss

    Von Sukhpkm, vor mehr als 5 Jahren
  8. danke eva du hast mir echt geholfen jetzt verstehe ic alles viel besser

    Von T Mikeljevic, vor mehr als 5 Jahren
  9. Danke Eva du hast mir total gehofen,bitte noch mehr Videos von dir bitte bitte

    Von T Mikeljevic, vor mehr als 5 Jahren
  10. Danke, hat mir sehr geholfen :)

    Von Hsohr, vor fast 6 Jahren
  11. Danke für die Hilfe! :)

    Von K Vlad, vor fast 6 Jahren
  12. Danke Eva hat mir sehr geholfen :)

    Von Maxkrafft, vor fast 6 Jahren
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Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie man den Oberflächeninhalt eines Prismas berechnen kann.

    Tipps

    Betrachte das abgebildete Prisma. Welche Flächen setzen sich zur Mantelfläche zusammen?

    Zeichne das Netz eines Prismas. Wie berechnet man die Flächeninhalte der einzelnen Flächen?

    Lösung

    Der Oberflächeninhalt eines Prismas setzt sich aus der Grund- bzw. Deckfläche und der Mantelfläche zusammen. Die Grundfläche und die Deckfläche sind stets gleich groß. Man sagt dazu auch deckungsgleich.

    Den Flächeninhalt dieser beiden Fläche bezeichnen wir mit dem Buchstaben $A$. Wir erhalten also $2 \cdot A$. Die Mantelfläche, die wir mit $M$ bezeichnen, addieren wir nun hinzu und erhalten die Formel für die Oberfläche eines Prismas: $O = 2 \cdot A + M$.

    Die Mantelfläche setzt sich aus Rechtecken zusammen. Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen wir, indem wir seine Länge mit seiner Breite multiplizieren. Die gesamte Länge der Mantelfläche entspricht dem Umfang der Grundfläche. Die Breite unserer Mantelfläche entspricht der Höhe des Prismas. Wir müssen also den Umfang der Grund- bzw. Deckfläche mit der Höhe des Prismas multiplizieren und erhalten die Formel: $M = u \cdot h$.

  • Bestimme die Grund- bzw. Deckfläche und die Mantelfläche des Prismas.

    Tipps

    Die Grundfläche ist kongruent zur Deckfläche des Prismas. Das heißt, dass sie deckungsgleich sind und denselben Flächeninhalt haben.

    Es gibt genauso viele Rechtecke in der Mantelfläche, wie das Vieleck der Grundfläche Kanten hat.

    Addiert man die Mantelfläche zur Deck- und Grundfläche, so erhält man den Oberflächeninhalt.

    Lösung

    Gegeben ist ein vierseitiges Prisma. Der Oberflächeninhalt setzt sich zusammen aus der Grund- bzw. Deckfläche und der Mantelfläche des Prismas.

    Die Grundfläche des Prismas ist trapezförmig und kongruent zur Deckfläche. Diese beiden Flächen färben wir blau.

    Es bleiben noch vier Rechtecke übrig, welche die Mantelfläche bilden und daher rot eingefärbt sind. Es gibt genauso viele Rechtecke in der Mantelfläche, wie das Vieleck der Grundfläche Kanten hat.

  • Berechne, wie viel Quadratmeter Geschenkpapier du benötigst.

    Tipps

    Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man, indem man die Länge mit der Breite multipliziert.

    Die Mantelfläche eines Prismas berechnet man mit der Formel $M = u \cdot h$, wobei $u$ den Umfang der Grundfläche und $h$ die Höhe des Prismas angibt.

    Den Oberflächeninhalt berechnet man mit der Formel $O = 2 \cdot A + M$.

    Wie wandelt man $cm^2$ in $m^2$ um?

    Lösung

    Das Geschenk hat die Form eines Quaders. Das Geschenkpapier bedeckt die gesamte Oberfläche des Quaders einmal. Wir suchen also den Oberflächeninhalt des Quaders. Diesen bestimmen wir mit der Formel $O = 2 \cdot A + M$, wobei $A$ den Flächeninhalt der Grund- bzw Deckfläche und $M$ die Mantelfläche angibt. Die Grundfläche des Geschenkes hat die Form eines Rechtecks. Seinen Flächeninhalt berechnen wir, indem wir seine Länge mit der Breite multiplizieren. Wir erhalten eine Grundfläche von:

    $\begin{align} A & = 60~cm \cdot 30~cm\\ A & = 1800~cm^2\\ \end{align}$

    Die Mantelfläche erhalten wir, wenn wir den Umfang der Grundfläche mit der Höhe des Prismas multiplizieren. Wir erhalten:

    $\begin{align} M & = (60~cm + 30~cm + 60~cm + 30~cm) \cdot 15~cm\\ & = 180~cm \cdot 15~cm\\ & = 2700~cm^2\\ \end{align}$

    Da wir nun $A$ und $M$ kennen, können wir den Oberflächeninhalt bestimmen und erhalten:

    $\begin{align} O & = 2 \cdot 1800~cm^2 + 2700~cm^2\\ O & = 6300~cm^2 = 0,63~m^2\\ \end{align}$

    Du brauchst also $0,63~m^2$ Geschenkpapier.

  • Bestimme den Flächeninhalt der Grundfläche $A$, der Mantelfläche $M$ und der Oberfläche $O$ des fünfeckigen Prismas.

    Tipps

    Den Flächeninhalt eines Fünfecks berechnet man mit der Formel $A = \frac{\sqrt{25 + 10 \cdot \sqrt{5}}}{4} \cdot a^2$, wobei $a$ die Kantenlänge angibt.

    Die Mantelfläche berechnet man, indem man den Umfang der Grundfläche mit der Höhe des Prismas multipliziert.

    Mit der Formel $O = 2 \cdot A + M$ berechnet man den Oberflächeninhalt eines Prismas.

    Lösung

    Das obige Bild zeigt das Netz eines Prismas, dessen Grund- bzw Deckfläche die Form eines Fünfecks hat. Die Mantelfläche hat die Form von Rechtecken. Um den Oberflächeninhalt von diesem Prisma zu bestimmen, müssen wir den Flächeninhalt $A$ der Grund- bzw Deckfläche und der Mantelfläche $M$ bestimmen. Den Flächeninhalt eines Fünfeck berechnet man mit der Formel $A = \frac{\sqrt{25 + 10 \cdot \sqrt{5}}}{4} \cdot a^2$. Setzen wir in diese Formel unseren Wert für die Kantenlänge ein, erhalten wir:

    $\begin{align} A & = \frac{ \sqrt{25 + 10 \cdot \sqrt{5}} }{4} \cdot (3~cm)^2\\ & = \frac{\sqrt{25 + 10 \cdot \sqrt{5}}}{4} \cdot 9~cm^2\\ & = 15,48~cm^2\\ \end{align}$

    Die Mantelfläche berechnen wir, indem wir den Umfang der Grundfläche mit der Höhe des Prismas multiplizieren. Den Umfang der Grundfläche errechnen wir, indem wir die Kantenlänge mit $5$ multiplizieren, da wir $5$ mal die gleiche Kantenlänge haben. Wir erhalten:

    $\begin{align} M & = ( 5 \cdot 3~cm) \cdot 10~cm\\ & = 15~cm \cdot 10~cm\\ & = 150~cm^2\\ \end{align}$

    Da wir nun $A$ und $M$ kennen, können wir den Oberflächeninhalt bestimmen und erhalten:

    $\begin{align} O & = 2 \cdot A + M\\ & = 2 \cdot 15,48~cm^2 + 150~cm^2\\ & \approx 180,96~cm^2\\ \end{align}$

    Der Oberflächeninhalt des Prismas ist also $180,96~cm^2$ groß.

  • Gib die Seitenlängen des Prismas an.

    Tipps

    Bestimme die Grundflächen beim Prisma und beim Netz und vergleiche sie miteinander.

    Welche vier Flächen ergeben zusammen die Mantelfläche?

    Lösung

    In dem Bild ist abgebildet, wie lang die einzelnen Seiten sind. Dabei steht der Quader auf der $2~cm \cdot 6~cm = 12~cm^2$ großen Grundfläche. Die Grund- bzw. Deckfläche haben die Form eines Rechtecks. Wie du sehen kannst, sind alle Seiten, die parallel zueinander liegen, gleich lang. Du kannst auch einmal das Körpernetz nachbasteln und selbst zusammenbauen. Wenn du alles richtig gemacht hast, erhältst du ein Prisma wie das hier abgebildete.

  • Ermittle den Oberflächeninhalt des sechseckigen Prismas.

    Tipps

    Welche Form hat die Grund- bzw. Deckfläche?

    Den Oberflächeninhalt eines Prismas berechnet man mit der Formel $O = 2 \cdot A + M$.

    Lösung

    Das obige Bild zeigt das Netz eines Prismas, dessen Grund- bzw. Deckfläche die Form eines Sechsecks hat. Um den Oberflächeninhalt von diesem Prisma zu bestimmen, müssen wir den Flächeninhalt $A$ der Grund- bzw. Deckfläche und die Mantelfläche $M$ berechnen.

    Den Flächeninhalt eines Sechsecks berechnet man mit der Formel $A = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot a^2$. Setzen wir in diese Formel unseren Wert für die Kantenlänge ein, erhalten wir:

    $\begin{align} A & = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot (4~cm)^2\\ & = 41,57~cm^2\\ \end{align}$

    Die Mantelfläche berechnen wir, indem wir den Umfang der Grundfläche mit der Höhe des Prismas multiplizieren. Der Umfang beträgt $u=6 \cdot 4~cm$, da wir $6$ mal die gleiche Kantenlänge haben. Wir erhalten daher als Mantelfläche:

    $\begin{align} M & = ( 6 \cdot 4~cm) \cdot 10~cm\\ & = 24~cm \cdot 10~cm\\ & = 240~cm^2\\ \end{align}$

    Da wir nun $A$ und $M$ kennen, können wir den Oberflächeninhalt bestimmen und erhalten:

    $\begin{align} O & = 2 \cdot A + M\\ & = 2 \cdot 41,57~cm^2 + 240~cm^2\\ & = 323,14~cm^2\\ \end{align}$

    Der Oberflächeninhalt des Prismas beträgt also $323,14~cm^2$.