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Nullstellen quadratischer Funktionen - Definition 04:28 min

5 Kommentare
  1. gut

    Von Fam Remensperger, vor 23 Tagen
  2. Ich wollte eigenlich 5 Sterne geben, konnte aber nur 4 vergeben.

    Von Kadyayeva, vor 28 Tagen
  3. Egal welche Antwort ich anklicke, sie ist immer falsch. Das hatte ich gestern auch schon. Ein Systemfehler vielleicht? ( Bei den Übungen)

    Von Elisabeth Maronna, vor 6 Monaten
  4. Habe alles sehr gut verstanden. Und 5 Minuten Zeit findet man immer mal um dieses Video anzusehen. ;)

    Von Ben / Noah, vor etwa einem Jahr
  5. Sehr Gutes Video :)

    Von Timo G., vor etwa einem Jahr

Nullstellen quadratischer Funktionen - Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Nullstellen quadratischer Funktionen - Definition kannst du es wiederholen und üben.

  • Vervollständige die Wertetabelle für die gegebene Funktion.

    Tipps

    Wenn du den Wert der Funktion

    $f(x)=2x^2-4x-12$

    an der Stelle $5$ finden willst, dann rechnest du

    $f(5)=2\cdot 5^2-4\cdot 5-12=18$.

    Das Produkt zweier negativer Zahlen ist positiv. Da Quadratzahlen immer das Produkt einer Zahl mit sich selbst sind, sind sie also ebenfalls immer positiv $-$ egal, ob sie das Quadrat einer positiven oder einer negativen Zahl sind.

    Quadratische Funktionen sind immer achsensymmetrisch bezüglich irgendeines $x$-Wertes. Du musst dich also nicht wundern, wenn du für zwei verschiedene $x$-Werte denselben Wert für $f(x)$ erhältst.

    Lösung

    Um eine Wertetabelle zu berechnen, wählen wir einige verschiedene $x$-Werte und setzen diese in die Funktionsgleichung ein. Die $x$-Werte sind hier bereits vorgegeben, sodass wir sie nur noch einsetzen müssen. Die Funktionsgleichung lautet hier:

    $f(x)=x^2-3x+2$

    Wir schreiben also unter jeden $x$-Wert denjenigen Wert, der sich ergibt, wenn wir $x^2-3x+2$ ausrechnen. Damit ergibt sich folgende Tabelle:

    $\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline f(x) & 12 & 6 & 2 & 0 & 0 & 2 & 6 \end{array}$

    Dabei ist es vielleicht zunächst etwas verwunderlich, dass einige Werte von $f(x)$ hier doppelt vorkommen. Dies ist allerdings für alle quadratischen Funktionen der Fall, da diese immer bezüglich irgendeines $x$-Wertes symmetrisch sind. Wir müssen uns deshalb also keine Sorgen machen.

  • Bestimme, welche Aussagen zu quadratischen Funktionen wahr sind.

    Tipps

    Die Nullstellen einer Funktion sind genau diejenigen $x$-Werte, die den Funktionswert $0$ ergeben, wenn du sie in die Funktion einsetzt.

    Hier siehst du den Graphen einer quadratischen Funktion.

    Die allgemeine quadratische Funktion hat die Form

    $f(x)=ax^2+bx+c$,

    wobei $a$, $b$ und $c$ beliebige, reelle Zahlen sind.

    Lösung

    Die folgenden Antworten sind richtig:

    „Eine quadratische Funktion kann zwei Nullstellen, eine Nullstelle oder keine Nullstellen haben.“

    • Da eine Parabel immer gekrümmt ist, kann sie die $x$-Achse zweimal schneiden, in einem Punkt berühren oder gar nicht schneiden. Die $x$-Werte dieser Schnittpunkte (bzw. des Berührpunkts) sind dann gerade die Nullstellen der Funktion.
    „Die Funktion $f(x)=3x^2+2x-5$ ist eine quadratische Funktion.“
    • Die allgemeine quadratische Funktion hat die Form $f(x)=ax^2+bx+c$. Dabei können $a$, $b$ und $c$ beliebige reelle Zahlen sein. Hier liegt also eine quadratische Funktion mit $a=3$, $b=2$ und $c=-5$ vor.
    Die folgenden Antworten sind falsch und müssen korrigiert werden:

    „Zeichnen wir den Graphen einer quadratischen Funktion in ein Koordinatensystem, so ergibt sich im allgemeinen Fall eine Gerade.“

    • Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.
    „Zu manchen quadratischen Funktionen lässt sich keine Wertetabelle anfertigen.“

    • Wir können zu jeder (nicht nur zu jeder quadratischen) Funktion eine Wertetabelle anfertigen, indem wir verschiedene $x$-Werte in die Funktion einsetzen. Zwar brauchen wir dafür vielleicht einen Taschenrechner und vielleicht sind auch manche Ergebnisse Zahlen mit (unendlich) vielen Nachkommastellen $-$ doch das Prinzip funktioniert immer.
    „Die Nullstellen einer Funktion sind diejenigen Stellen, an denen der Graph der Funktion die $y$ -Achse schneidet.“

    • Die Nullstellen einer Funktion sind diejenigen $x$-Werte, für die der Funktionsterm $0$ wird. Das korrespondiert in einem Koordinatensystem damit, dass der Graph der Funktion die $x$-Achse (nicht die $y$-Achse) schneidet.
  • Vervollständige die Wertetabelle und finde die Nullstellen für die gegebene Funktion.

    Tipps

    Um eine Wertetabelle zu erstellen, setzt du nacheinander die verschiedenen $x$-Werte in die gegebene Funktion ein. So berechnest du den jeweiligen Funktionswert, den du dann unter den zugehörigen $x$-Wert schreibst.

    Als Nullstellen werden diejenigen $x$-Werte bezeichnet, für die die Funktion den Wert $0$ hat.

    Lösung

    Um eine Wertetabelle anzufertigen, setzt du die gegebenen $x$-Werte nacheinander in die Funktion ein und berechnest so die zugehörigen Funktionswerte. Für jeden der gegebenen Werte für $x$ rechnen wir also aus, was

    $x^2+2x-8$

    ist. So ergibt sich die folgende Tabelle:

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} x & -5 & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline f(x) & 7 & 0 & -5 & -8 & -9 & -8 & -5 & 0 & 7 & 16 \end{array}$

    Die Nullstellen sind nun genau diejenigen $x$-Werte, für die sich der Funktionswert $0$ ergibt. Davon gibt es hier genau zwei Stück, nämlich:

    $x_1=-4,\quad x_2=2$

  • Ordne den Funktionen anhand der Nullstellen die zugehörigen Graphen zu.

    Tipps

    Eine quadratische Funktion, bei der der Faktor vor dem $x^2$-Term positiv ist, hat als Graph eine**nach oben geöffnete** Parabel. Ist der Faktor negativ, dann ist die Parabel nach unten geöffnet.

    Erstelle dir für jede der Funktionen eine Wertetabelle für den Bereich $-3 < x < 3$. Die $x$-Werte, für die sich der Funktionswert $0$ ergibt, sind dann die Nullstellen der jeweiligen Funktion. Diese kannst du mit den Nullstellen der Parabeln vergleichen.

    Lösung

    Wir fertigen als Beispiel einmal eine Wertetabelle der Funktion $f(x)=x^2+x-2$ an. Wir setzen also verschiedene $x$-Werte in die Funktion ein und berechnen die zugehörigen Funktionswerte. Damit erhalten wir die folgende Wertetabelle:

    $\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline f(x) & 4 & 0 & -2 & -2 & 0 & 4 & 10 \end{array}$

    Wir sehen hier, dass sich für genau zwei $x$-Werte der Funktionswert $0$ ergibt, nämlich für $x_1=-2$ und für $x_2=1$. Wir ordnen diese Funktion also derjenigen Parabel zu, die die $x$-Achse bei diesen beiden Werten schneidet, und das ist die grüne Parabel.

    Für die anderen Funktionen ergeben sich die folgenden Nullstellen:

    • $f(x)=-x^2+3x \quad \Longrightarrow \quad x_1=0,\,x_2=3 \quad \Longrightarrow $ blaue Parabel
    • $f(x)=x^2-4 \quad \Longrightarrow \quad x_1=-2,\,x_2=2 \quad \Longrightarrow $ rote Parabel
    • $f(x)=x^2+4x+3 \quad \Longrightarrow \quad x_1=-1,\,x_2=-3 \quad \Longrightarrow $ violette Parabel
    Beachte, dass du auf diese Weise nicht für jede beliebige quadratische Funktion Nullstellen bestimmen kannst. Im allgemeinen Fall liegen diese nämlich nicht genau bei ganzen Zahlen, sondern dazwischen. In einem solchen Fall versagt die hier angewandte Methode mit der Wertetabelle (da wir für keine ganze Zahl, die wir einsetzen, den Funktionswert $0$ erhalten), und wir müssen auf andere Werkzeuge zurückgreifen.

  • Bestimme die Anzahl der Nullstellen der zu den abgebildeten Graphen gehörenden Funktionen.

    Tipps

    Eine Nullstelle einer Funktion $f(x)$ ist dadurch definiert, dass die Funktion an dieser Stelle (also an diesem $x$-Wert) den Wert $0$ annimmt.

    Die hier abgebildete Funktion hat $3$ Nullstellen.

    Lösung

    Eine Nullstelle einer Funktion $f(x)$ ist dadurch definiert, dass die Funktion $f$ an dieser Stelle den Wert $0$ hat. Eine Nullstelle ist eine Zahl, die einen $x$-Wert repräsentiert. Wird diese Zahl als $x$-Wert in den Funktionsterm eingesetzt, ergibt sich also der Wert $0$.

    Stellen wir Funktionen graphisch dar, so sind die Nullstellen genau diejenigen Punkte, an denen der Funktionsgraph die $x$-Achse schneidet (bzw. berührt). Diese Punkte können wir hier also für jede Parabel zählen und die Parabeln in den entsprechenden Farben markieren.

  • Berechne die Nullstellen einer quadratischen Funktion.

    Tipps

    Da wir hier mit reellen Zahlen rechnen, ist die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert.

    Lösung

    Da quadratische Funktionen eine eindeutige Formel zum Berechnen der Nullstellen besitzen, müssen wir nichts weiter tun, als die entsprechenden Zahlen in diese Formel einzusetzen. Für den Lückentext ergibt sich dann die folgende Lösung:

    „Wenn wir die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen wollen, verwenden wir die Lösungsformel für quadratische Gleichungen (umgangssprachlich „Mitternachtsformel“). Betrachten wir eine allgemeine Parabel

    $y=ax^2+bx+c$,

    so lautet diese Formel, die wir hier ohne Herleitung verwenden wollen:

    $x_\pm=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$“

    • Dies ist die Formel, in die wir die Parameter aus der jeweils gegebenen quadratischen Funktion einsetzen, um die Nullstellen zu berechnen.
    „Da eine Parabel eine Krümmung hat, kann sie die $x$-Achse mehrmals schneiden und folglich auch mehrere Nullstellen haben. Dies drückt sich durch das $\pm$-Symbol vor der Wurzel aus, das aussagt, dass diese bei der Berechnung der einen Nullstelle addiert und bei der Berechnung der anderen subtrahiert wird.“

    • Da in der quadratischen Funktion ein $x^2$-Term vorkommt, wird sie nun auch für negative Zahlen immer irgendwann positiv (da der $x^2$-Term für betragsmäßig große Zahlen immer schneller „wächst“).
    „Folglich gibt es mehrere mögliche Fälle, die vom Term unter der Wurzel abhängen (wobei zunächst $a\neq 0, \,b\neq 0, c\neq 0$ sein sollen):

    • $b^2-4ac > 0 \Longleftrightarrow $ zwei Nullstellen
    • $b^2-4ac = 0 \Longleftrightarrow $ eine Nullstelle
    • $b^2-4ac < 0 \Longleftrightarrow $ keine Nullstellen
    Abgesehen davon existiert noch der triviale Fall $a=b=0$, bei dem $y=c$ ist und entweder keine ($c\neq 0$) oder unendlich viele ($c=0$) Nullstellen hat.“

    • Steht unter der Wurzel eine positive Zahl, so ist auch die Wurzel selbst eine positive Zahl und wird für die beiden Lösungen einmal addiert und einmal subtrahiert. Steht unter der Wurzel eine Null, so ist auch die Wurzel Null; Addition und Subtraktion führen dann zweimal auf dieselbe Nullstelle. Steht unter der Wurzel eine negative Zahl, so ist die Wurzel nicht definiert $-$ die Funktion hat dann keine Nullstelle. Sind $a$ und $b$ gleich Null, dann ergibt sich die Gerade $y=c$, die entweder parallel zur $x$-Achse oder auf der $x$-Achse liegen kann.
    „Betrachten wir als Beispiel einmal die abgebildete Parabel

    $y=x^2-\dfrac{1}{6}x-\dfrac{1}{6}$.

    Hier gilt $a=1$, $b=-\frac{1}{6}$ und $c=-\frac{1}{6}$. Wir setzen diese Werte zunächst in die Wurzel in der Formel ein und überprüfen, welcher Fall vorliegt. Hier erhalten wir $b^2-4ac=\frac{25}{36}$, folglich hat die Funktion zwei Nullstellen. Um diese zu berechnen, können wir nun auch die restlichen Werte in die Formel einsetzen und erhalten:

    $x_+=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1}{2}$

    $x_-=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{1}{3}$“

    • Da der Term unter der Wurzel größer als Null ist, wissen wir, dass die Funktion zwei Nullstellen hat. Wenn wir diese mit Hilfe der Formel ausrechnen, ergibt sich:
    $\begin{array}{rl} x_+&=\dfrac{\frac{1}{6}+\sqrt{\left(\frac{1}{6}\right)^2-4\cdot 1\cdot \left(-\frac{1}{6}\right)}}{2\cdot 1}\\ &= \dfrac{\frac{1}{6}+\sqrt{\frac{25}{36}}}{2}\\ &= \dfrac{\frac{1}{6}+\frac{5}{6}}{2}\\ &=\dfrac{1}{2}\\ x_-&=\dfrac{\frac{1}{6}-\frac{5}{6}}{2}\\ &=-\dfrac{1}{3} \end{array}$