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Mitternachtsformel (abc-Formel) – Übung

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Martin Wabnik
Mitternachtsformel (abc-Formel) – Übung
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Mitternachtsformel (abc-Formel) – Übung

Zur Lösung quadratischer Gleichungen gibt es viele unterschiedliche Methoden und Verfahren: Die Mitternachtsformel, die p-q-Formel, das Faktorisieren oder Ausklammern. Die erste Methode, die Mitternachtsformel, möchte ich dir nun in diesem Video vorstellen. Sie kann genau dann angewandt werden, wenn eine quadratische Gleichung in ihrer allgemeinen Form vorliegt ax² + bx + c = 0. Damit auch weißt wie die Mitternachtsformel angewandt wird, rechnen wir auch gleich ein paar Aufgabenbeispiele. Diese lauten für heute folgendermaßen: -5x² - 7x - 2 = 0, -5x² - 7x - 20 = 0, 5x² - 10x + 5 = 0.

Transkript Mitternachtsformel (abc-Formel) – Übung

Hallo, wenn eine quadratische Gleichung in dieser Form vorliegt, dann liegt sie in allgemeiner Form vor. Diese Form lautet: ax²+bx+c=0. Wenn du also eine quadratische Gleichung in dieser allgemeinen Form vorfindest, dann kannst du diese Lösungsformel verwenden. Unter der Voraussetzung, dass hier keine 0 steht, denn wir müssen hier durch 2a teilen. Und wenn a=0 wäre, dann könnten wir hier nicht teilen. Das ist aber keine wesentliche Einschränkung, denn wenn a=0 wäre, wäre ja auch ax²=0. Das heißt, wir hätten dann gar keine quadratische Gleichung und bräuchten auch diese Lösungsformel nicht. Weiter ist noch zu sagen, diese Lösungsformel bietet ja 2 Lösungen, nämlich x1 und x2. Die ergeben sich aber nur dann, falls das was hier unter der Wurzel steht, größer als 0 ist. Das, was unter der Wurzel steht, heißt Diskriminante. Wenn also die Diskriminante größer als 0 ist, dann liefert diese Lösungsformel hier 2 Lösungen. Falls das nicht der Fall ist, sage ich gleich noch was dazu. Zunächst möchte ich mal zeigen, wie diese Formel hier auf eine konkrete Gleichung anzuwenden ist. Hier hab ich mal eine vorbereitet. Das ist eine konkrete quadratische Gleichung. Sie lautet: -5x²+(-7)x+(-2)=0. Wir müssen nun zunächst vergleichen, wenn wir diese Lösungsformel anwenden wollen, ob diese Gleichung auch tatsächlich in Normalform geschrieben ist. Dazu vergleichen wir a, b und c. Hier steht statt des a -5, das ist ok. Statt b steht hier -7 und statt c steht hier -2. Das heißt, diese Form hier hat tatsächlich die allgemeine Form. Diese Gleichung steht hier in allgemeiner Form. Und wir können hier die Lösungsformel benutzen. Dazu ist noch eine Kleinigkeit zu sagen: Normalerweise schreibt man solche Gleichungen ja nicht mit +-7, sondern man schreibt stattdessen einfach -7, × x kann man auch hinschreiben, aber auch den Malpunkt lässt man in der Regel weg. Und statt +-2 schreibt man ja auch einfach -2 = 0. Auch diese Form hier ist die allgemeine Form, obwohl hier nun nicht so ein + Zeichen steht, sondern ein - Zeichen. Und hier steht auch ein - Zeichen und kein + Zeichen. Trotzdem, wie wir gesehen haben, kann da ein + Zeichen stehen. Und deshalb ist das hier auch die allgemeine Form. Also diese Vorzeichen sollten dich da nicht weiter irritieren. Und jetzt kann ich also die Lösungsformel verwenden. Also x1,2, oder x1 Komma 2 oder man sagt auch x1 und x2.... x1,2 = -b steht in der Lösungsformel. Bei uns ist b=-7, also ist -b=+7. Deshalb kann ich auch gleich +7 hinschreiben. Gefolgt von ±\sqrt(-7²)=49. Danach kommt -4×a×c. Ich fange mal mit dem a×c an. a ist bei uns hier -5. c=-2. -5×-2=+10. -4×10=-40. Und deshalb kommt hier die -40 hin. Geteilt durch 2×a. a ist hier -5. 2×-5=-10. Und dann steht hier schön kompakt die Lösung fast schon bereit. Jetzt müssen wir nur noch ausrechnen. Und das geht ganz gut im Kopf. Denn 49-40=9. \sqrt9=3. Dann können wir noch rechnen 7+3÷-10. 7+3=10. 10÷-10=-1. Also zu der Lösung x1 komme ich, in dem ich hier das + Zeichen verwende. Zu Lösung x2 kommt man, wenn man hier das - Zeichen verwendet. 7-3=4. 4÷-10=-0,4. So, damit ist diese Gleichung gelöst. Ich könnte natürlich noch die Probe machen, aber das spare ich mir hier jetzt mal. Die Probe, indem ich hier oben für x -1 einsetze und auch -0,4 einsetze. Nun habe ich schon angekündigt, ich wollte etwas dazu sagen, was passiert, wenn hier diese Diskriminante nicht größer 0 ist. Zum Beispiel könnte sie kleiner 0 sein. Das ist bei dieser Gleichung der Fall. Ich setze das einfach mal ein. Die Wurzel würde dann folgendermaßen lauten: \sqrt49 - 4×a×c. a ist bei uns -5, c ist -20. -5×-20=100. -4×100=-400. Und da sehen wir also, 49-400 ist kleiner als 0, auf jeden Fall. Und innerhalb der reellen Zahlen können wir keine Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen. Und deshalb ist hier in unserem Zusammenhang diese Wurzel nicht definiert. Und diese Gleichung hat auch keine Lösung. Was kann noch passieren? Die Gleichung könnte so aussehen. Dann erhalten wir unter der Wurzel folgendes. b², b ist bei uns hier -10. -10²=100. Wir müssen noch rechnen: -4×a×c. a ist 5, c ist 5. 5×5=25. -4×25=-100. Das bedeutet, wir haben hier die Wurzel aus 0 stehen. \sqrt0=0. Und wir können nun auch die Lösungsformel verwenden. Allerdings erhalten wir keine 2 Lösungen, sondern nur eine. Denn die beiden unterschiedlichen Lösungen ergeben sich ja daraus, dass man hier einmal + diese Wurzel rechnet und einmal - diese Wurzel rechnet. Wenn diese ganze Wurzel hier gleich 0 ist, dann können wir + oder -0 rechnen, dann ändert sich das Ergebnis nicht. Deshalb ist das Ergebnis dann einfach hier -b÷2a. Es gibt nur eine Lösung und wir können das auch kurz nachrechnen. -b, b ist bei uns -10, -b ist dann entsprechend +10. 10÷2a, a ist bei uns hier 5. 2a=10. 10÷10=1. Und ich glaube, du siehst es schon, wenn du in diese Gleichung hier 1 einsetzt, dann steht hier 5×1-10×1+5=0. Und das ist auch richtig. Das wars zu dieser allgemeinen Lösungsformel, auch Mitternachtsformel genannt. Wenn also die Gleichung in allgemeiner Form liegt, kannst du die Lösungsformel verwenden, indem du einfach für a, b und c die entsprechenden Zahlen einsetzt und ausrechnest. Viel Spaß damit, tschüss

16 Kommentare

16 Kommentare
  1. Bei der Übung gibt es 2 identische Lösungen
    ist also eine 50/50 Chance die richtige zu bekommen

    Von Luis S., vor etwa 3 Jahren
  2. danke danke danke 1000 mal ... ich habe heute erfahren dass wir morgen ein mathe test schreiben , und war voll nerveus ,dank ihnen habe ich es in 10.02 min verstanden ein großes lob an ihnen ... super erklärt überschaulich und verständlich dankeschööööööööööööööööööööööööööööööööööön

    Von ami l., vor etwa 3 Jahren
  3. @Sandra Baerenz: Bitte nenne die genaue Zeit im Video bzw. die Aufgabennummer der Übung an. Dann korrigiere ich das gerne.

    Von Martin B., vor mehr als 5 Jahren
  4. -5 * -5 ist 10

    Von Sandra Baerenz, vor mehr als 5 Jahren
  5. @Familiewittich: Bringe zunächst alle Terme durch Äquivalenzumformungen auf eine Seite. Deine Gleichung lautet dann: x^2-x+1=0. Dann kannst du die Mitternachtsformel ebenfalls anwenden. Achte dabei unbedingt auf die Vorzeichen! Ich hoffe, ich konnte dir helfen. Ansonsten wende dich noch einmal an den Mathe-Fachchat, der täglich zwischen 17 und 19 Uhr online ist.

    Von Sarah Kriz, vor mehr als 6 Jahren
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Mitternachtsformel (abc-Formel) – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mitternachtsformel (abc-Formel) – Übung kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige die Mitternachtsformel.

    Tipps

    $a$ ist der Faktor vor dem $x^2$, $b$ der vor dem $x$ und $c$ ist der Term, welcher alleine steht.

    Beachte, dass sowohl bei $a$ als auch bei $b$ als auch bei $c$ das Vorzeichen mit dazugehört.

    Du musst nichts ausrechnen, sondern nur die entsprechenden Werte eintragen.

    Lösung

    Es soll die Gleichung

    $-5x^2-7x-2=0$

    gelöst werden. Hier ist $a=-5$, $b=-7$ und $c=-2$: Diese können in der Mitternachtsformel eingesetzt werden.

    $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

    also

    $x_{1,2}=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot(-5)\cdot(-2)}}{2\cdot (-5)}$.

  • Berechne die Lösungen der quadratischen Gleichung.

    Tipps

    Achte auf die Vorzeichen. Zum Beispiel ist $-(-333)=333$.

    Der Term unter der Wurzel $b^2-4ac$ heißt Diskriminante.

    Diese ist in diesem Beispiel positiv. Das bedeutet, dass du deren Wurzel einmal addierst und einmal subtrahierst.

    Das Quadrat einer negativen Zahl ist eine positive Zahl.

    Lösung

    Die Mitternachtsformel auf die quadratische Gleichung $-5x^2-7x-2=0$ führt zu

    $x_{1,2}=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot (-5)\cdot (-2)}}{2 \cdot (-5)}$.

    Nun kann man weiter rechnen

    $\begin{align*} x_{1,2}&=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot (-5)\cdot (-2)}}{2 \cdot (-5)}\\ &=\frac{7\pm\sqrt{49-40}}{-10}\\ &=\frac{7\pm\sqrt 9}{-10}\\ &=\frac{7\pm3}{-10}\\ x_1&=\frac{7+3}{-10}=-\frac{10}{10}=-1\\ x_2&=\frac{7-3}{-10}=-\frac{4}{10}=-0,4. \end{align*}$

    Der Term unter der Wurzel $b^2-4ac$ wird als Diskriminante bezeichnet.

    Wenn diese

    • größer ist als $0$, wie in diesem Beispiel, gibt es zwei Lösungen,
    • gleich $0$ ist, gibt es eine Lösung,
    • kleiner ist als $0$, gibt es keine Lösung.

  • Prüfe die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Um die p-q-Formel auf die obige Gleichung anzuwenden, muss diese zunächst durch $3$ dividiert werden.

    Für die Mitternachtsformel ist $a=3$, $b=-6$ und $c=-9$.

    Schau dir die Diskriminante in der Mitternachtsformel an

    $(-6)^2-4\cdot 3\cdot (-9)=36+108=144$.

    Wenn man eine Gleichung durch eine Zahl, ungleich $0$, dividiert oder mit einer Zahl, ungleich $0$, multipliziert, ändert sich die Lösbarkeit nicht. Die Lösungen bleiben gleich.

    Lösung

    Man kann quadratische Gleichungen gleichermaßen mit der p-q-Formel wie mit der Mitternachtsformel lösen. Es hängt davon ab, welche Formel einem besser liegt.

    Die p-q-Formel hat jedoch die Einschränkung, dass der Faktor vor dem $x^2$ gerade $1$ sein muss. In diesem Beispiel muss deshalb die gesamte Gleichung durch $3$ dividiert werden. Dies ändert jedoch nichts an den Lösungen:

    $x^2-2x-3=0$.

    Hier ist $p=-2$ und $q=-3$.

    $x_{1,2}=-\frac{-2}2\pm\sqrt{\left(\frac{-2}2\right)^2-(-3)}=1\pm\sqrt{1+3}$.

    Also ist $x_1=1+2=3$ und $x_2=1-2=-1$.

    Diese Lösungen erhält man auch mithilfe der Mitternachtsformel. Dabei ist $a=3$, $b=-6$ und $c=-9$:

    $x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{36+108}}{6}=\frac{6\pm12}{6}$.

    Dies liefert die beiden Lösungen $x_1=\frac{6+12}{6}=\frac{18}{6}=3$ sowie $x_2=\frac{6-12}{6}=\frac{-6}{6}=-1$.

  • Ermittle die Lösungen der quadratischen Gleichung.

    Tipps

    Die Mitternachtsformel lautet

    $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

    Der Term unter der Wurzel $b^2-4ac$ wird als Diskriminante bezeichnet.

    Ist diese

    • größer als $0$, liegen zwei Lösungen vor,
    • gleich $0$, liegt eine Lösung vor und
    • kleiner als $0$, liegen zwei Lösungen vor.

    Du kannst auch Nebenrechnungen durchführen:

    $4\cdot \left(-\frac12\right)\cdot \left(-\frac{25}2\right)=\frac{4\cdot(-1)\cdot(-25)}{4}=25$.

    Lösung

    Es soll die quadratische Gleichung

    $-\frac12x^2+5x-\frac{25}2=0$

    gelöst werden. Hier kann $a=-\frac12$, $b=5$ und $c=-\frac{25}2$ abgelesen und in der Mitternachtsformel eingesetzt werden:

    $x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot \left(-\frac12\right)\cdot \left(-\frac{25}2\right)}}{2 \cdot \left(-\frac12\right)}$.

    Es kann vereinfacht werden zu

    $x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{25-25}}{-1}$.

    Da der Term unter der Wurzel, die sogenannte Diskriminante, $0$ ist, ist es egal, ob man diesen Wert addiert oder subtrahiert, es kommt beide Male das Gleiche heraus. Es existiert also nur eine Lösung $x=\frac{-5}{-1}=5$.

  • Gib die allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen an.

    Tipps

    Die p-q-Formel

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

    ist ein Spezialfall der Mitternachtsformel mit $a=1$, $b=p$ und $c=q$.

    Eine quadratische Gleichung kann

    • eine oder
    • keine oder
    • zwei Lösungen
    besitzen. Dies hängt von dem Term unter der Wurzel in der Mitternachtsformel ab.

    Teile die gesamte Gleichung und wende die p-q-Formel an mit $p=\frac ba$ und $q=\frac ca$.

    Lösung

    Eigentlich sollte jede Formel Mitternachtsformel heißen, da man jeden Schüler mitten in der Nacht wecken kann und er die Formel aufsagen kann.

    Die Mitternachtsformel oder auch a-b-c-Formel ist eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen in der Form

    $ax^2+bx+c=0$.

    Wenn man $a$, $b$ und $c$ erkannt hat, kann man diese in der Formel einsetzen:

    $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

  • Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichung.

    Tipps

    Die Lösbarkeit kannst du direkt an der Diskriminante erkennen. Ist diese

    • größer als $0$, so gibt es zwei Lösungen,
    • gleich $0$, so gibt es eine Lösung und
    • kleiner als $0$, so gibt es keine Lösung.

    Schaue dir jeweils zunächst die Diskriminante an.

    Wenn die Diskriminante $0$ ist, dann ist die Lösung $x=\frac{-b}{2a}$.

    Jeder der drei Fälle kommt einmal vor.

    Lösung

    Wenn man eine Gleichung der Form $ax^2+bx+c=0$ lösen möchte, kann man dazu die Mitternachtsformel

    $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

    verwenden. In den obigen Beispielen variiert nur $c$, es ist $a=1,5$ und $b=-3$.

    Die Mitternachtsformel lautet dann

    $x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{9-6c}}{3}$.

    $\mathbf{c=2}$:

    Die Diskriminante ist $9-6\cdot 2=9-12=-3$, also negativ. Das bedeutet, dass es keine Lösung gibt.

    $\mathbf{c=1,5}$:

    Die Diskriminante ist $9-6\cdot 1,5=9-9=0$. Die Wurzel aus $0$ ist ebenfalls $0$, es existiert nur eine Lösung $x=\frac{3}{3}=1$.

    $\mathbf{c=-12}$:

    Die Diskriminante ist $9-6\cdot (-12)=9+72=81$. Die Wurzel aus $81$ ist $9$, es existieren somit zwei Lösungen $x_1=\frac{3+9}{3}=4$ sowie $x_2=\frac{3-9}{3}=-2$.

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