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Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen – Einführung

Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen sind ein Thema in der Mathematik, bei dem Ungleichungen mit zwei Variablen beleuchtet werden. Diese können wie Nägel und Bretter auf einem grafischen Koordinatensystem dargestellt und gelöst werden. Der Text erklärt, wie solche Systeme bei praktischen Problemen angewendet werden können. Möchtest du mehr darüber erfahren? Schaue dir den folgenden Text und das Video an!

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Team Digital
Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen – Einführung
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die Lösung der Ungleichungen.

    Tipps

    Da du weißt, wie viele Nägel er für jedes Basecap und jedes Paar Sneakers benötigt, ergibt es Sinn, hier die Anzahl an Basecaps $b$ und die Anzahl an Sneakerpaaren $s$ als Variablen zu verwenden.

    Mit den beiden Ungleichungen kannst du für jede mögliche Kombination an Basecaps und Sneakers berechnen, ob genügend Bretter und Nägel zur Verfügung stehen. Dafür setzt du die gegebenen Anzahlen in die Ungleichungen ein.

    Lösung

    Der Lückentext kann folgendermaßen ausgefüllt werden:

    „(...) Die erste Ungleichung soll bestimmen, ob er genug Nägel zur Verfügung hat. Jedes Basecap $b$ und jedes Paar Sneakers $s$ benötigt jeweils $5$ Nägel. Außerdem hat er höchstens $150$ Nägel zur Verfügung. Die Ungleichung lautet also:

    $5s+5b\leq 150$ “.

    • Da du weißt, wie viele Nägel Chris für jedes Basecap und jedes Paar Sneaker benötigt, ergibt es Sinn, hier die Anzahl an Basecaps $b$ und die Anzahl der Sneakerpaare $s$ als Variablen zu verwenden.
    „Mit der zweiten Ungleichung möchte Chris ausrechnen, ob er genug Bretter zur Verfügung hat. Die Ungleichung hierfür lautet:

    $3s+2b\leq 66$. “

    • In der zweiten Ungleichung müssen die gleichen Variablen $b$ und $s$ vorkommen. Nur dann lässt sich das Ungleichungssystem sinnvoll lösen.
    „Chris besitzt genau $10$ Basecaps, also gilt $b=10$. Außerdem hat er $15$ Paar Sneaker, also gilt $s=15$. Das setzt er in die Ungleichungen ein und rechnet aus.“

    • Mit den beiden Ungleichungen kannst du für jede mögliche Kombination aus Basecaps und Sneakers berechnen, ob genügend Bretter und Nägel zur Verfügung stehen. Dafür setzt du die gegebenen Zahlen für $s$ und $b$ in die Ungleichungen ein.
    „(...) Ausgerechnet ergibt sich:

    (...) $125\leq 150 $ und (...) $65\leq66$. Damit sind beide Ungleichungen erfüllt.“

  • Beschrifte den Graphen des Ungleichungssystems.

    Tipps

    Die rote Fläche liegt unter der Geraden $y= -\frac{2}{3}x+22$, aber über $y= -x+30$.

    Der Punkt $S(10|20)$ liegt außerhalb der orangenen Fläche.

    Lösung

    So beschriftest du das Diagramm richtig:

    • Die Gerade, die die $y$-Achse bei $y=30$ schneidet, ist $y= -x+30$.
    • Die Gerade, die die $y$-Achse bei $y=22$ schneidet, ist $y= -\frac{2}{3}x+22$ .
    • Die gelbe Fläche liegt nur unter $y= -x+30$, aber über $y= -\frac{2}{3}x+22$. Sie ist somit ausschließlich Lösungsmenge der Gleichung $y\leq -x+30$.
    • Die rote Fläche liegt nur unter $y= -\frac{2}{3}x+22$, aber über $y= -x+30$ . Sie ist somit ausschließlich Lösungsmenge der Gleichung $y\leq -\frac{2}{3}x+22$.
    • Die orangene Fläche liegt unter beiden Gleichungen. Sie ist somit Lösungsmenge des Ungleichungssystems.
    • Der Punkt $S(10|20)$ liegt außerhalb der orangenen Fläche. Er ist somit keine mögliche Lösung des Ungleichungssystems.
  • Ermittle die ungeformten Ungleichungen.

    Tipps

    Achte darauf, dass sich das Ungleichheitszeichen umdreht, wenn du die beiden Seiten der Ungleichung vertauschst:

    $3\leq5~\Leftrightarrow~ 5\geq3$.

    Das Ungleichheitszeichen dreht sich auch um, wenn du durch eine negative Zahl dividierst oder mit einer negativen Zahl multiplizierst.

    Um die Gleichungen auf Normalform zu bringen, formst du sie so lange um, bis sie in der Form

    $y\leq mx+c$ oder

    $y\geq mx+c$

    stehen.

    Lösung

    Durch Umformen erhältst du für die erste Ungleichung:

    $\begin{array}{llll} 6x+3y &\leq 2 &\vert -6x\\ 3y &\leq -6x+ 2 &\vert :3 \\ y &\leq -2x +\frac{2}{3} \\ \end{array}$

    Achte bei der zweiten Ungleichung darauf, dass sich das Ungleichheitszeichen umdreht, wenn du die beiden Seiten der Ungleichung vertauschst:

    $\begin{array}{llll} 10x-5y&\geq 15 &\vert +5y\\ 10x &\geq 5y +15 &\vert -15 \\ 10x-15 &\geq 5y &\vert :5\\ 2x-3 &\geq y\\ y &\leq 2x-3 \end{array}$

    Die beiden anderen Ungleichungen kannst du analog umformen. Dann erhältst du:

    • $-3x-6y\geq9~\Leftrightarrow~ y\leq -\frac{1}{2}x -\frac{3}{2}$
    • $8x+2y\leq4 ~\Leftrightarrow~ y\leq -4x+2$
  • Untersuche, ob die Ungleichungssysteme erfüllt sind.

    Tipps

    Du kannst durch das Einsetzen der Variablen bestimmen, ob die jeweiligen Ungleichungen erfüllt sind.

    Lösung

    Du kannst durch das Einsetzen der Variablen bestimmen, ob die jeweiligen Ungleichungen erfüllt sind.

    Diese Systeme sind nicht erfüllt:

    • $2b\geq4a-3$ und $3a\leq15b+8$ für $a=2$, $b=2$
    Wenn du die Werte für $a$ und $b$ in die erste Ungleichung einsetzt, ergibt sich:

    $\begin{array}{llll} 2\cdot 2 &\geq 4 \cdot 2 -3 \\ 4&\geq 5 \\ \end{array}$

    Diese Ungleichung ist nicht erfüllt. Somit ist das Ungleichungssystem für $a=2$ und $b=2$ nicht erfüllt.

    • $5x-3y\geq22$ und $3x+4y\geq30$ für $x=2$, $y=8$
    Auch dieses System ist nicht erfüllt, denn die erste Ungleichung wird mit eingesetzten Variablen zu:

    $-14\geq22$.

    Das ist eindeutig keine wahre Aussage.

    Diese Systeme sind erfüllt:

    • $8x+3y\geq30$ und $3x+5y\leq20$ für $x=3$, $y=2$ ergibt:
    $30\geq30$ und $19\leq20$

    • $-3a-8b\leq-30$ und $2a+5b\geq20$ für $a=4$, $yb=3$ ergibt:
    $-36\leq-30$ und $23\geq 20$.

    Beachte hierbei, dass negative Zahlen immer kleiner werden, je größer ihr Betrag wird. Es ist also von zwei Zahlen immer diejenige kleiner, die weiter links auf dem Zahlenstrahl liegt. Beispielsweise gilt $-5\leq -3$ oder eben $-36 \leq -30$.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zu Ungleichungen.

    Tipps

    Du kannst auf zwei verschiedenen Wegen überprüfen, ob ein Wertepaar ein Ungleichungssystem erfüllt.

    Ungleichungen geben Größenverhältnisse an. Geben die Ungleichungen falsche Verhältnisse an, z. B.

    $3\leq1$,

    dann ist die Ungleichung nicht erfüllt. Denn $1$ ist nicht größer als oder gleich $3$!

    Lösung

    Diese Aussage ist falsch:

    • „Damit ein Ungleichungssystem erfüllt ist, reicht es, wenn eine der Ungleichungen wahr ist.“
    Beide Ungleichungen müssen erfüllt sein; nur dann ist auch das komplette Ungleichungssystem erfüllt.

    Diese Aussagen sind richtig:

    • „Du kannst durch Einsetzen überprüfen, ob ein Ungleichungssystem für ein Wertepaar erfüllt ist.“
    • „Du kannst dir durch eine Zeichnung veranschaulichen, ob ein Ungleichungssystem für ein Wertepaar erfüllt ist.“
    Wenn du ein Wertepaar einsetzt, ausrechnest und am Ende zwei wahre Aussagen erhältst, dann ist das Ungleichungssystem erfüllt. Beim Zeichnen kannst du das daran erkennen, ob der Punkt, den das Wertepaar bildet, in der Lösungsmenge liegt.

    • „Eine Ungleichung ist wahr, wenn sie nach dem Vereinfachen und Ausrechnen einen korrekten Zusammenhang wiedergibt. Zum Beispiel: $2\leq 3$. “
    • „Die Lösungsmenge eines Ungleichungssystems ist die Menge, für die beide Ungleichungen erfüllt sind.“
  • Erarbeite die Berechnung von Betragsungleichungen.

    Tipps

    Der Betrag einer Zahl oder eines Terms ist immer positiv. Ist der Term schon positiv, passiert deshalb nichts. Ist er jedoch negativ, wird der Term durch ein zusätzliches Minuszeichen positiv gemacht.

    Lösung

    „(...) Er führt also eine Fallunterscheidung durch. Ist der Term $a\geq0$, kann er den Term ohne Betragsstriche schreiben. Gilt jedoch $a<0$, muss er ein Minuszeichen vor $a$ schreiben.

    • Der Betrag einer Zahl oder eines Terms ist immer positiv. Ist der Term schon positiv, passiert deshalb nichts. Ist er jedoch negativ, wird der Term durch ein zusätzliches Minuszeichen positiv gemacht.
    „(...) Zuerst löst er den Betrag auf der linken Seite der Ungleichung auf. (...) Jetzt bestimmt er, für welche $x$ der Term $x-3$ größer, gleich oder kleiner als $0$ ist.“

    „Im ersten Fall gilt:

    $x-3\geq0$.

    Das formt er um zu:

    $x\geq3$.

    Aus dem zweiten Fall $x-3<0$ ergibt sich:

    $x<3$.“

    • Diese Ergebnisse erhältst du jeweils, indem du auf beiden Seiten $3$ addierst.
    „Das wendet Martin jetzt auf seine Ungleichung an. Im ersten Fall, also für $x\geq3$ gilt:

    $ x-3 \geq 7$, umgeformt $x\geq10$.“

    • Setzt du also eine Zahl $x\geq3$ in die Ungleichung ein, erhältst du die Ungleichung $ x-3 \geq 7$. Diese Ungleichung wird mit Zahlen $x\geq10$ gelöst.
    „Im zweiten Fall $x<3$ erhält er:

    $-(x-3) \geq 7$.“

    • Setzt du also eine Zahl $x<3$ in die Ungleichung ein, erhältst du die Ungleichung $-(x-3) \geq 7$. Diese Ungleichung wird von Zahlen $x\leq-4$ gelöst.
    „Die Ungleichung ist also für Werte von $x\geq10$, sowie für Werte von $x\leq-4$ erfüllt. Nicht erfüllt ist sie im Bereich $-4 < x < 10$.“