Grafisches Lösen von linearen Ungleichungen mit 2 Unbekannten

Grafisches Lösen von linearen Ungleichungen mit 2 Unbekannten Übung

• Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung.

  Tipps

  Ungleichungen werden wie Gleichungen durch Äquivalenzumformungen gelöst.

  Äquivalenzumformungen sind:

  1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
  2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
  3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
  4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

  Bei Ungleichungen ist darauf zu achten, dass

  • beim Multiplizieren mit einer negativen und
  • beim Dividieren durch eine negative Zahl

  das Relationszeichen umgekehrt werden muss.

  Die Lösungsmenge wird in der Form

  $\mathbb{L}=\{x|x>a\}$,

  hier kann auch $<$, $\ge$ oder $\le$ stehen.

  Dies liest sich: „Die Menge aller $x$, da größer sind als $a$.“

  Lösung

  Es soll die Ungleichung $-3x+9>6x-9$ gelöst werden.

  Diese kann mit Äquivalenzumformungen umgeformt werden wie eine Gleichung:

  • Zunächst wird auf beiden Seiten $6x$ subtrahiert. Dies führt zu $-9x+9>-9$.
  • Nun wird auf beiden Seiten $9$ subtrahiert. So gelangt man zu $-9x>-18$.
  • Die Division durch $-9$ führt zu der Lösungsmenge. Da $-9$ negativ ist, dreht das Relationszeichen sich um: $x<2$.
  • Somit ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x|x<2\}$ gegeben.

• Stelle die Ungleichung auf, welche löst, wie Lena mindestens $30~€$ verdienen kann.

  Tipps

  Wenn Lena $x$ mal den Rasen mäht, wie viel bekommt sie dann insgesamt für den Rasenmäher?

  Ungleichungen werden wie Gleichungen durch Äquivalenzumformungen gelöst.

  Äquivalenzumformungen sind:

  1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
  2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
  3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
  4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

  Lösung

  • Fürs Rasenmähen erhält Lena $4~€$, dies führt zu $4x$, und
  • fürs Hunde-Ausführen $2~€$, dies führt zu $2y$.

  Gesamt verdient sie dann $4x+2y$. Sie möchte mindestens $30~€$ für das Geschenk ihrer Mutter verdienen, also muss das gesamte Geld, welches sie verdient hat, größer oder gleich $30~€$ sein. Dies führt zu der gesuchten Ungleichung:

  $4x+2y\ge30$.

  Diese kann wie eine Gleichung durch Äquivalenzumformungen umgeformt werden:

  $\begin{align*} 4x+2y&\ge30 &|&-4x\\ 2y&\ge -4x+30&|&:2\\ y&\ge -2x+15. \end{align*}$

  Dabei wird wie folgt vorgegangen:

  • Die Gleichung wird so umgeformt, dass $y$ auf der linken Seite alleine steht.
  • Falls mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl dividiert wird, dreht sich das Relationszeichen um.

  Durch die Gleichung $y=-2x+15$ ist die Randgerade dieser Ungleichung gegeben.

  Mittels dieser kann die Lösungsmenge der Ungleichung grafisch dargestellt werden.

• Leite die Ungleichung her.

  Tipps

  Bei einer Textaufgabe müssen zunächst den unbekannten Größen Variablen zugeordnet werden.

  Was bedeutet es mathematisch, dass ein Junge drei Stück Kuchen und ein Mädchen zwei isst?

  Welches Relationszeichen steht für „weniger“?

  Lösung

  Um diese Aufgabe zu lösen, werden zunächst die Variablen zugeordnet:

  • $x$ sei die Anzahl der Jungen und
  • $y$ die der Mädchen.

  Da jeder Junge drei und jedes Mädchen zwei Stück Kuchen ist, führt dies zu der Summe $3x+2y$. Insgesamt sollen weniger als $40$ Kuchen gegessen werden.

  Dies führt zu der Ungleichung: $3x+2y<40$. Diese Ungleichung wird nun so umgeformt, dass $y$ auf der linken Seite alleine steht:

  $\begin{align*} 3x+2y&<40 &|&-3x\\ 2y&< -3x+40&|&:2\\ y&< -1,5x+20. \end{align*}$

  Wenn Paul zum Beispiel $10$ Jungen einlädt, so darf er nur weniger als $5$ Mädchen einladen.

  Bei dieser Aufgabe müssten zusätzlich noch die Einschränkungen in Betracht gezogen werden, dass sowohl $x$ als auch $y$ natürliche Zahlen ungleich $0$ sein müssen.

• Entscheide, wie die Lösungsmenge graphisch aussieht.

  Tipps

  Wie sieht allgemein die Gleichung einer Geraden aus?

  Die Relation in der Ungleichung lautet $<$.

  Du kannst durch Testeinsetzen prüfen, welche Kombinationen in der Lösungsmenge liegen und welche nicht.

  Die Randgerade teilt die Koordinatenebene in zwei Halbebenen. In einer der beiden liegen die Lösungen.

  Lösung

  Die Lösungsmenge der Ungleichung $y<-1,5x+20$ lässt sich graphisch wie folgt darstellen:

  • Die Randgerade, welche durch die Gleichung $y=-1,5x+20$ gegeben ist, wird in ein Koordinatensystem eingezeichnet.
  • Die Koordinatenebene wird durch die Randgerade in zwei Halbebenen geteilt.
  • In der Halbebenen unterhalb der Randgeraden liegen alle Lösungen der Ungleichung.

  Da zusätzlich sicher keine negative und rationale Anzahl an Jungen oder Mädchen zu Pauls Geburtstag erscheinen können, sind nur die Lösungen, bei welchen sowohl $x$ als auch $y$ natürliche Zahlen ungleich $0$ sind, von Bedeutung.

  Die positive Lösungsmenge ist in dem Bild schraffiert zu erkennen. Die Punkte auf der Randgeraden gehören nicht zu der Lösung.

• Beschreibe, was Ungleichungen sind.

  Tipps

  Wie löst du die lineare Gleichung $3x=12$?

  Es gilt $12>10$. Was passiert, wenn auf beiden Seiten durch $-2$ dividiert wird?

  Lösung

  Was ist eine Ungleichung?

  • Eine Ungleichung ist ähnlich aufgebaut wie eine Gleichung.
  • In einer Ungleichung befindet sich ein Relationszeichen: $>$, $<$, $\ge$ oder $\le$.
  • Lineare Ungleichungen löst man ebenso wie lineare Gleichungen. Dabei ist jedoch zu beachten, dass das Multiplizieren mit einer negativen oder das Dividieren durch eine negative Zahl dazu führt, dass das Relationszeichen umgekehrt wird.
  • Wenn die Ungleichung umgeformt wurde, kann die Lösungsmenge angeben.

• Bestimme die Gleichung der Randgeraden.

  Tipps

  Stelle die Ungleichung zu dieser Aufgabe auf und forme diese so um, dass $y$ auf der linken Seite alleine steht.

  Die Gleichung zu der Randgeraden ergibt sich aus der umgeformten Ungleichung dadurch, dass das Relationszeichen durch das Gleichheitszeichen ersetzt wird.

  Du kannst einzelne Zahlenpaare einsetzen und prüfen, ob diese die Ungleichung erfüllen.

  Liegen die Lösungen unterhalb oder oberhalb der Randgeraden?

  Lösung

  Das Fünffache einer Zahl $x$, vermindert um das Zehnfache einer anderen Zahl $y$ soll größer sein als $60$, führt zu der Ungleichung $5x-10y>60$. Diese Ungleichung wird so umgeformt, dass $y$ auf der linken Seite alleine steht:

  $\begin{align*} 5x-10y&>60 &|&-5x\\ -10y&> -5x+60&|&:(-10)\\ y&< 0,5x-6. \end{align*}$

  Die Gleichung der Randgeraden lautet also $y=0,5x-6$ und die Lösungen liegen unterhalb dieser Geraden, weil hier ein $<$ steht. Die Punkte auf der Geraden gehören nicht zur Lösungsmenge.

  Dies ist in dem Bild zu sehen.