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Grafisches Lösen von linearen Ungleichungssystemen 04:59 min

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Transkript Grafisches Lösen von linearen Ungleichungssystemen

Hallo, schön dich mal wieder zu sehen. Heute wollen wir lineare Ungleichungssysteme grafisch lösen. Dabei wirst du die wichtigsten Grundlagen zum Lösen der linearen Ungleichungssysteme lernen.

Beispielaufgabe

Am besten fangen wir sofort mit einem Beispiel an. Ein Ungleichungssystem muss natürlich aus mehreren Ungleichungen bestehen. Unser Ungleichungssystem besteht aus zwei Ungleichungen.

Die erste Ungleichung heißt 4x - 2y < -5 Die zweite Ungleichung heißt x + 2y < 10

Die beiden Ungleichungen müssen wir nun jeweils nach der Variable y auflösen. Fangen wir mit der ersten Ungleichung an.

Zunächst subtrahieren wir auf beiden Seiten 4x und erhalten - 2y < -4x- 5. Nun müssen wir die Ungleichung durch -2 dividieren. Hier müssen wir wieder an die Regel denken und das Relationszeichen umdrehen. Wir erhalten y > 2x + 2,5. Nun ist die zweite Ungleichung an der Reihe, zuerst subtrahieren wir auf beiden Seiten 1x und erhalten 2y < -x + 10. Nun dividieren wir die Ungleichung durch 2 und erhalten y < -0,5x +5.

Für das grafische Lösen von linearen Ungleichungssystemen ist es nun wichtig, dass wir in der Lage sind sogenannte Randgeraden in ein Koordinatensystem zu zeichnen. Die Funktionsgleichung unserer Randgeraden können wir indirekt aus unseren Ungleichungen ablesen. Wir erhalten für die beiden Randgeraden y = 2x + 2,5 und y = -0,5 x + 5

Im Koordinatensystem sind die beiden Geraden in verschiedenen Farben eingezeichnet. Alle Punkte, die oberhalb der blauen Geraden liegen, bilden die Lösungsmenge der ersten Ungleichung. Dies ist die erste Halbebene. Alle Punkte, die unterhalb der roten Geraden liegen, bilden die Lösungsmenge der zweiten Ungleichung. Die ist die zweite Halbebene.

Alle Punkte, die sowohl oberhalb der blauen Gerade und unterhalb der roten Geraden liegen bilden die Schnittmenge des linearen Ungleichungssystems und sind somit die Lösungsmenge des linearen Ungleichungssystems. Man nennt diese Lösungsmenge auch das Planungsgebiet.

Welche Lösungen hat denn nun unser lineares Ungleichungssystem? Dazu müssen wir noch einmal das Planungsgebiet genauer anschauen.

Die Punkte (-2/3) und (0/4) sind Beispiele für die Lösungsmenge des linearen Ungleichungssystems. Aber unser lineares Ungleichungssystem hat noch mehr Lösungen. Es hat unendlich viele Lösungen und alle liegen natürlich im Planungsgebiet.

Wenn wir Ungleichungen mit den Relationszeichen größer gleich oder kleiner gleich bei den linearen Ungleichungssystemen verwenden, so liegen die Punkte der Randgeraden, die sich in der Schnittmenge befinden auch noch im Planungsgebiet und gehören damit auch zur Lösung des linearen Ungleichungssystems.

Schluss

Ich hoffe, dass du nun Lösungsmengen von linearen Ungleichungssystemen mit Hilfe der Randgeraden zeichnen kannst und innerhalb dieser Planungsgebiete Lösungen ablesen kannst. Denke immer daran, dass du das Relationszeichen einer Ungleichung umdrehen musst, wenn du die Ungleichung durch eine negative Zahl dividierst oder sie mit einer negativen Zahl multiplizierst. Ich wünsche dir noch einen tollen Tag! Wir sehen uns bestimmt bald mal wieder! Tschüß!

1 Kommentar
  1. muss mann nicht bei 3:47 die zeichen für ungleichungen hernehmen wel da stand y=2x+2,5

    Von Marisa M., vor mehr als einem Jahr

Grafisches Lösen von linearen Ungleichungssystemen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Grafisches Lösen von linearen Ungleichungssystemen kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zum Lösen von Systemen linearer Ungleichungen.

    Tipps

    Schaue dir die Ungleichung $x>4$ an. Wie kannst du die Menge aller $x$, die diese Ungleichung erfüllen, in einem Koordinatensystem darstellen?

    Wie unterscheidet sich dieser Fall von der Ungleichung $x\ge4$?

    Du kannst eine Ungleichung mit $x$ und $y$ nach $y$ auflösen. Wenn du das Relationszeichen durch „=“ ersetzt, erhältst du die Gleichung einer linearen Funktion.

    Eine beliebige Gerade teilt eine Ebene in zwei Hälften.

    Lösung

    Was sind lineare Ungleichungssysteme?

    Sie bestehen aus mindestens zwei Ungleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen.

    Zu jeder der Ungleichungen werden Randgeraden aufgestellt, welche zu Halbebenen führen. Dabei erfüllen die Punkte einer Halbebene die Ungleichung der entsprechenden Randgeraden.

    Der Schnitt der Halbebenen ist die Lösungsmenge, man nennt diese auch Planungsgebiet.

    Für die Randgeraden ist zu beachten, dass

    • bei $<$ oder $>$ deren Punkte nicht zur Lösungsmenge, oder anders ausgedrückt zu dem entsprechenden Halbraum, gehören, allerdings
    • bei $\le$ oder $\ge$ dazugehören.

  • Beschreibe das allgemeine Vorgehen beim grafischen Lösen von linearen Ungleichungssystemen.

    Tipps

    Das Vorgehen ist analog zu dem zum grafischen Lösen von linearen Gleichungssystemen.

    Die Lösung von zwei linearen Gleichungen ist der Schnittpunkt der zugehörigen Geraden.

    Grafisch liegt die Lösung einer Ungleichung „oberhalb“ oder „unterhalb“ einer Geraden.

    Lösung

    Bei einem System mit zwei linearen Ungleichungen erfolgt das grafische Lösen in den folgenden Schritten, welche auch auf mehrere Ungleichungen übertragen werden können:

    1. Die Ungleichungen werden so umgeformt, dass $y$ alleine steht. Man erhält eine Ungleichung der Form $y<ax+b$. Statt $<$ kann auch jedes andere Relationszeichen dort stehen.
    2. Die Gleichung $y=ax+b$ führt zu einer Geraden, der sogenannten Randgeraden.
    3. Die beiden Randgeraden werden in ein Koordinatensystem gezeichnet.
    4. Jede dieser Halbgeraden teilt die Koordinatenebene in zwei Halbebenen. In einer dieser Halbebenen ist die Ungleichung erfüllt, in der anderen nicht.
    5. Der Schnitt dieser Halbebenen, sofern vorhanden, ist die Lösungsmenge. Man nennt diese auch Planungsgebiet.
    Wenn das lineare Ungleichungssystem auch die Relationen $\le$ oder $\ge$ enthält, so gehören die Punkte der Randgeraden der entsprechenden Ungleichung zu der Lösungshalbebene dazu, ansonsten nicht.

  • Gib das Planungsgebiet des linearen Ungleichungssystems an.

    Tipps

    Forme jede der Gleichungen nach $y$ um.

    Zeichne die Randgeraden in ein Koordinatensystem und mache dir klar, in welcher Halbebene die Lösungen liegen.

    Du kannst einige Punkte zur Probe einsetzen, zum Beispiel $(-2|3)$ oder $(0|4)$.

    Beachte, dass sich das Relationszeichen umkehrt, wenn mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl dividiert wird.

    Lösung

    Zu lösen ist das System linearer Ungleichungen:

    $\begin{align*} &\text{I}&4x-2y&<-5\\ &\text{II}& x+2y&<10. \end{align*}$

    Jede der Gleichungen kann zunächst so umgeformt werden, dass $y$ alleine steht:

    $\begin{align*} &\text{I}&4x-2y&<-5&|&-4x\\ &&-2y&<-4x-5&|&:(-2)\\ &&y&>2x+2,5. \end{align*}$

    Hier wurde durch eine negative Zahl geteilt, weshalb das Relationszeichen umgedreht wurde.

    $\begin{align*} &\text{II}&x+2y&<10&|&-x\\ &&2y&<-x+10&|&:2\\ &&y&<-0,5x+5. \end{align*}$

    In beiden Ungleichungen wird das Relationszeichen durch das Gleichheitszeichen ersetzt. Somit erhält man die beiden Randgeraden:

    • die Blaue zu der ersten Gleichung und
    • die Rote zu der zweiten.
    Somit gilt:
    • Die erste Gleichung ist in den Bereichen A und B,
    • die zweite in den Bereichen A und D sowie
    • beide Gleichungen sind in A erfüllt. Dies ist der sogenannte Planungsbereich.

  • Bestimme das Planungsgebiet des Systems mit mehr als zwei Ungleichungen.

    Tipps

    Trage in die Lücken I, II, III und IV ein.

    Eine Lösung eines linearen Ungleichungssystems muss alle Gleichungen erfüllen.

    Übertrage dir dieses Bild auf ein Blatt und schraffiere die zugehörigen Halbebenen verschieden.

    Du könntest auch umgekehrt schauen, welche Bereiche in welchen Halbebenen liegen.

    Lösung

    Entweder kann man sich jeden Bereich einzeln anschauen oder aber die Ungleichungen.

    Hier werden die Ungleichungen argumentiert:

    • Die Ungleichung I wird erfüllt von C, D, F, G und H.
    • Die Ungleichung II wird erfüllt von B, C, D, F und G.
    • Die Ungleichung III wird erfüllt von A, B, D, E, F und H.
    • Die Ungleichung IV wird erfüllt von E, F, G und H.
    Das bedeutet, dass
    • A nur III erfüllt,
    • B II und III,
    • C I und II,
    • D I, II und III,
    • E III und IV,
    • F I, II, III und IV,
    • G I, II und IV sowie
    • H I, III und IV.
    F ist somit das Planungsgebiet, da hier alle Ungleichungen erfüllt sind.

    Das bedeutet, dass das Verfahren zum grafischen Lösen bei mehr als zwei Ungleichungen ähnlich verläuft. Das Finden des Planungsgebietes gestaltet sich vielleicht etwas schwieriger.

  • Prüfe, welcher der Punkte das lineare Ungleichungssystem löst.

    Tipps

    Setze jeden Punkt in jede Ungleichung ein.

    Wenn du dir zwei Geraden in ein Koordinatensystem zeichnest, kannst du erkennen, dass diese idealerweise Bereiche bilden.

    Es können im Fall der Identität der Geraden auch nur zwei Bereiche sein, also die entsprechenden Halbebenen.

    Lösung

    Jeder der Punkte kann in die Ungleichungen eingesetzt werden:

    $P(4|4)$:

    • $-2\cdot4+4=-4\le 5$, die erste Gleichung ist erfüllt,
    • $4\cdot 4-4\cdot 4=0>-16$, die zweite Gleichung ist ebenfalls erfüllt.
    $Q(2|9)$:
    • $-2\cdot2+9=5\le 5$, die erste Gleichung ist erfüllt,
    • $4\cdot 2-4\cdot 9=-28\not>-16$, die zweite Gleichung ist nicht erfüllt.
    $R(-2|10)$:
    • $-2\cdot(-2)+10=14\not\le 5$, die erste Gleichung ist nicht erfüllt,
    • $4\cdot (-2)-4\cdot 10=-48\not>-16$, die zweite Gleichung ist ebenfalls nicht erfüllt.
    $S(-4|-1)$:
    • $-2\cdot(-4)-1=7\not\le 5$, die erste Gleichung ist nicht erfüllt,
    • $4\cdot (-4)-4\cdot (-1)=-12>-16$, die zweite Gleichung ist erfüllt.
    Dies für jeden Punkt zu überprüfen ist recht aufwändig.

  • Leite das Planungsgebiet grafisch her.

    Tipps

    Stelle die beiden Ungeraden jeweils nach $y$ um und zeichne die Randgeraden in ein Koordinatensystem.

    Mache dir an Beispielpunkten klar, auf welcher Seite der Halbgeraden die Lösungen liegen.

    Bei den Relationen $\le$ und $\ge$ gehören die Punkte der Randgeraden zu den Lösungen dazu.

    Unter anderem müssen folgende Begriffe eingesetzt werden:

    I, Nein, II und Ja.

    Lösung

    Zunächst werden die einzelnen Ungleichungen des Systems

    $\begin{align*} &\text{I}&-2x+y&\le5\\ &\text{II}&4x-4y&>-16 \end{align*}$

    jeweils nach $y$ umgeformt:

    • Die erste Gleichung ist äquivalent zu $y\le2x+5$, die entsprechende Randgerade ist blau gezeichnet,
    • die Zweite kann wie folgt umgeformt werden:
    $\begin{align*} 4x-4y&>-16&|&-4x\\ -4y&>-4x-16&|&:(-4)\\ y&<x+4 \end{align*}$

    Hierbei ist unbedingt zu beachten, dass das Relationszeichen in der letzten Zeile umgekehrt wurde. Warum? Dies muss man tun, wenn mit einer negativen Zahl multipliziert wird oder durch eine negative Zahl dividiert wird. Die hierzu gehörende Randgerade ist rot gezeichnet.

    Nun können die beiden Randgeraden eingezeichnet werden.

    Diese Randgeraden teilen die Koordinatenebene jeweils in Halbebenen:

    • Eine, in der die Lösungen der Ungleichung liegen. Bei der Ersten gehört die Randgerade dazu, bei der Zweiten nicht,
    • sowie die jeweils andere, entgegengesetzte, Halbebene.
    Die zu I gehörende Halbebene mit den Lösungen ist A1 und die zu II ist B2.

    Dort, wo die Halbebenen sich schneiden, ist des Planungsgebiet, also die Menge aller Punkte, die die beiden Ungleichungen gleichzeitig erfüllen. Dieser Bereich ist in dem Bild mit F bezeichnet.

    Man könnte nun auch die Punkte $P(4|4)$, $Q(2|9)$, $R(-2|10)$ und $S(-4|-1)$ in das Koordinatensystem einzeichnen, um herauszufinden, welcher der Punkte das lineare Ungleichungssystem erfüllt.