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Lineare Ungleichungssysteme 06:00 min

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Transkript Lineare Ungleichungssysteme

Du hast bisher lineare Ungleichungen wie 5x + 2 > 13 oder y < -4x +2 kennengelernt. Bei der Planung von Abläufen im Handel oder in der Produktion müssen meistens einige einschränkende Bedingungen gleichzeitig beachtet werden. Das heißt, hier müssen mehrere Ungleichungen erfüllt werden.

Definition und Beispiel 1 für lineare Unlgeichungssysteme

Hierzu ein kleines Beispiel. Eine Gießerei plant den Versand von Motorteilen, die in verschiedenen Kisten mit folgenden Maßen verpackt sind: entweder sind sie für 1,6 Tonnen und 2,7 m³ Volumen oder sind sind für 2 Tonnen und 1,8 m³ Volumen ausgelegt. Der Lastwagen kann höchstens 14 Tonnen laden und hat einen Laderaum von höchstens 20 m³.

Wie sieht nun die Planung des Versandes aus? Wie belädt man den Lastwagen, sodass man möglichst viele Motorenteile liefern kann? Zur Lösung dieses Problems benötigst du zunächst den Grundbegriff des linearen Ungleichungssystems.

Ein lineares Ungleichungssystem besteht aus mindestens 2 Ungleichungen, welche gleichzeitig erfüllt sein müssen. Du hast einen ähnlichen Sachverhalt bestimmt schon bei den linearen Gleichungssystemen gesehen. Du wirst später in weiteren Videos noch sehen, dass man dieses Ungleichungssystem grafisch lösen kann.

Wie erhalten wir nun das lineare Ungleichungssystem? Die angeführten Angaben muss man nun in 2 Ungleichungen überführen, die beide erfüllt sein müssen. Die Anzahl der ersten Kisten erhält die Variable x, die Anzahl der 2.Kisten die Variable y.

Alle Kisten zusammen dürfen höchstens eine Masse von 14 Tonnen haben und ein maximales Volumen von 20 m³. Dies sind die einschränkenden Bedingungen, die erfüllt sein müssen.

Die erste Kiste ist 1,6 Tonnen schwer und die zweite Kiste ist 2,0 Tonnen schwer. Die erste Kiste hat ein Volumen von 2,7 m³, die zweite Kiste ist 1,8 m³ groß. Mit den einschränkenden Bedingungen erhält man nun folgende Ungleichungen.

1,6 x + 2,0 y <= 14 2,7 x + 1,8 y <= 20

Da keine negative Anzahl von Kisten möglich ist, gelten automatisch die einschränkenden Bedingungen: x >= 0 und y >= 0. Diese beziehen wir nicht in unseren späteren Lösungsweg ein,sondern behalten sie in Erinnerung. Ansonsten hätten wir schon ein lineares Ungleichungssystem, das aus 4 Ungleichungen besteht.

Beispiel 2 für lineare Unlgeichungssysteme

Wir wollen uns nun noch ein weiteres Praxisbeispiel anschauen, welches wir mit einem linearen Ungleichungssystem modellieren können.

Lena hat ein Zweirad-Fachgeschäft. Sie will mindestens 6 Fahrräder und mindestens 2 Mofas vorrätig haben. In ihr Lager passen höchstens 15 Zweiräder.

Die Anzahl der Fahrräder gibt die Variable x an, die Anzahl der Mofas die Variable y. Hier gibt es drei einschränkende Bedingungen. Lena will mindestens 6 Fahrräder auf Lager haben. Hieraus folgt: x muss größer oder gleich 6 sein.

Sie will mindestens zwei Mofas da haben. Hieraus folgt: y muss größer oder gleich 2 sein. Zusammen dürfen es höchstens 15 Zweiräder sein. Hieraus folgt: x plus y ist kleiner oder gleich 15. Diese drei Ungleichungen müssen gleichzeitig erfüllt sein.

Beispiel 3 für lineare Unlgeichungssysteme

Ein weiteres Beispiel bezieht sich erneut auf den Bereich “Transport”. Auf einer Baustelle liegen 25 t Bauschutt, die abtransportiert werden sollen. Die Firma hat hierfür zwei Lastwagen. Der erste kann mit 4 t, der zweite mit 7 t beladen werden. Es sollen höchstens 9 Fahrten durchgeführt werden. Welche Möglichkeiten hat die Firma?

Die Variable x stellt die Anzahl der Fahrten des ersten Lastwagens dar. Die Variable y stellt die Anzahl der Fahrten des zweiten Lastwagens dar. Man erhält hier folgendes lineares Ungleichungssystem:

4x + 7 y >= 25 x + y <= 9

Es ist klar, dass hier als Lösungsmöglichkeiten nur natürliche Zahlen in Frage kommen, so dass man auf die einschränkenden Bedingungen x größer gleich 0 und y größer gleich 0 verzichtet werden kann.

Ich hoffe, dass du verstanden hast, was ein lineares Ungleichungssystem ist und wie man es aufstellt. Ich wünsche dir noch einen schönen Tag! Ich würde mich sehr freuen, wenn wir uns bald wieder mal sehen!

2 Kommentare
  1. es wäre gut gewesen wenn du noch ein linerares ungleichungssystem aus rechnen würdest

    Von Marisa M., vor mehr als einem Jahr
  2. Echt gut

    Von Foodcrew, vor fast 2 Jahren

Lineare Ungleichungssysteme Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Ungleichungssysteme kannst du es wiederholen und üben.

  • Stelle das lineare Ungleichungssystem auf.

    Tipps

    Ordne zunächst der Anzahl der Kisten Variablen zu:

    • Kiste A: $x$ und
    • Kiste B: $y$.

    Beachte das maximale Gewicht und Volumen des LKW.

    Die Variablen müssen positiv sein, jedoch werden diese Ungleichungen nicht in das System der Ungleichungen mit einbezogen.

    Lösung

    Zunächst wird der Anzahl der Kisten jeweils eine Variable zugeordnet:

    • Kiste A: $x$ und
    • Kiste B: $y$.
    Das Gesamtgewicht der Kisten A beträgt somit $1,6x$, das Volumen $2,7x$, das Gesamtgewicht der Kisten B $2,0y$ und das Volumen $1,8x$.

    Da der LKW maximal $14~t$ transportieren kann, erhält man die Ungleichung:

    $1,6x+2,0y\le 14$

    und ebenso für das Volumen, welches maximal $20~m^3$ beträgt:

    $2,7x+1,8y\le20$.

    Zusätzlich muss die Anzahl der Kisten positiv sein. Diese Ungleichungen gehen jedoch nicht in das System der Ungleichungen ein.

  • Ergänze die Erklärungen zu linearen Ungleichungssystemen.

    Tipps

    Unter einer Ungleichung versteht man zum Beispiel:

    $x+y<2$.

    Du kennst vielleicht schon solche Systeme von Gleichungen:

    $\begin{align*} x+y&=3\\ x-y&=1. \end{align*}$

    Solche Ungleichungen treten häufig in Produktionsprozessen auf oder bei Transportfragen.

    Lösung

    Was sind lineare Ungleichungssysteme?

    Lineare Ungleichungssysteme bestehen aus mindestens zwei Ungleichungen, welche gleichzeitig erfüllt sein müssen.

    Dieser Zusammenhang ist bereits so ähnlich von linearen Gleichungssystemen bekannt.

    Solche Ungleichungssysteme kommen zum Beispiel

    • bei Transportproblemen,
    • bei Produktion von Gütern,
    • bei begrenztem Lagerraum
    • ...
    vor.

  • Gib an, wie man das lineare Ungleichungssystem aufstellt.

    Tipps

    Wenn eine Anzahl mindesten $7$ sein soll, so sind dies $7$ oder $8$ oder $9$ ...

    Wenn Lena $7$ Fahrräder und $4$ Mofas in ihrem Geschäft hat, so sind dies zusammen $7+4=11$ Zweiräder.

    Es passen nicht mehr als $15$ Zweiräder in das Lager. Führt dies zu einer kleiner-gleich-Beziehung oder zu einer größer-gleich-Beziehung?

    Lösung

    Lena hat ein Zweiradfachgeschäft, in welchem sie

    • mindestens $6$ Fahrräder und
    • mindestens $2$ Mofas
    vorrätig haben möchte.

    Der Lagerplatz ist begrenzt auf maximal $15$ Zweiräder.

    Die Anzahl der Fahrräder sei $x$ und die der Mofas $y$.

    Es gibt drei Ungleichungen:

    • Lena möchte mindestens $6$ Fahrräder; $x\ge 6$;
    • und mindestens $2$ Mofas; $y\ge 2$; vorrätig haben.
    • Da der Lagerplatz begrenzt ist, gilt: $x+y\le15$.

  • Stelle das lineare Ungleichungssystem auf.

    Tipps
    • „mindestens“ entspricht $\le$ und
    • „höchstens“ entspricht $\ge$.

    Zur Orientierung ist eine obere Grenze für $x$ bereits angegeben.

    Der Teppich muss natürlich in das Zimmer passen.

    Lösung

    Das komplette Ungleichungssystem ist hier zu sehen.

    Zu den einzelnen Gleichungen:

    • Der Teppich muss in das Zimmer passen, das bedeutet, dass der Teppich maximal so lang und so breit ist wie das Zimmer $x\le3$ und $y\le5,5$.
    • Der Teppich soll mindestens $1,2~m$ breit sein, das bedeutet $x\ge 2$.
    • Die Differenz von Länge und Breite soll höchstens $2~m$ betragen: $y-x\le 2$.
    • Der Teppich soll mindestens doppelt so lang sein wie breit: $y\ge2x$. Diese Ungleichung kann umgeformt werden zu $-2x+y\ge0$.

  • Entscheide, ob ein lineares Ungleichungssystem vorliegt.

    Tipps

    Es geht bei dieser Aufgabe nicht um die Lösbarkeit des Ungleichungssystems.

    Ein lineares Ungleichungssystem besteht aus mindestens zwei Ungleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen.

    Wenn eine Gleichung vorhanden ist, so kann diese umgeformt und eingesetzt werden.

    Lösung

    Ein System linearer Ungleichungen muss aus

    • mindestens zwei Ungleichungen bestehen,
    • die gleichzeitig erfüllt sein müssen.
    Wenn eine Gleichung vorliegt, so kann diese umgeformt und in der Ungleichung eingesetzt werden.

    Es gibt zwei lineare Ungleichungssysteme. Diese sind:

    • $\begin{align*} 1,6x+y &\le 8\\ x-y& \ge2 \end{align*}$ sowie
    • $\begin{align*} x+y &\le 1,6\\ x& \ge2 \end{align*}$.

  • Leite das lineare Ungleichungssystem her.

    Tipps

    „Mindestens“ bedeutet $\ge$ und „höchstens“ $\le$.

    Wenn Paul Geld für Eis und Stifte ausgibt, so ist die Summe der Einzelbeträge das, was Paul insgesamt ausgegeben hat.

    Da Paul maximal $20~€$ ausgeben möchte, ist dies die obere Grenze der gesamten Ausgaben.

    Lösung

    Zunächst werden der

    • Anzahl der Eiskugeln die Variable $x$ und
    • der der Stifte $y$ zugeordnet.
    Da Paul mindestens $4$ Kugeln Eis kaufen möchte, führt dies zu der Ungleichung $x\ge4$.

    Er braucht mindestens $6$ neue Stifte. Dies führt zu $y\ge 6$.

    Paul hat $20~€$ dabei. Mehr kann er also nicht ausgeben. Dies führt zu der Ungleichung

    $1,2x+1,4y\le20$.

    Dieses lineare Ungleichungssystem besteht also aus drei Ungleichungen:

    $\begin{align*} x&\ge4\\ y&\ge6\\ 1,2x+1,4y&\le20. \end{align*}$