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Lineare Ungleichungssysteme – Textaufgaben

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Mathe-Team
Lineare Ungleichungssysteme – Textaufgaben
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Lineare Ungleichungssysteme – Textaufgaben

In diesem Video wirst du zwei Textaufgaben zu linearen Ungleichungssystemen lösen. Dabei wirst du zunächst die linearen Gleichungssysteme aufstellen und diese mit Hilfe von Randgeraden grafisch lösen. Hierfür werden wir Halbebenen und Planungsgebiete benötigen. Was bedeutet es für die Lösungsmenge des linearen Ungleichungssystems, wenn die Randgeraden parallel zueinander verlaufen? Finde es heraus. Viel Spaß!

Transkript Lineare Ungleichungssysteme – Textaufgaben

Hallo, toll, dass du mal wieder hier bist.

Lineare Ungleichungssysteme: Textaufgabe 1

Die Summe zweier natürlichen Zahlen soll größer als 7 sein. Die Differenz dieser beiden Zahlen soll kleiner als 3 sein. Diese Aufgabe klingt zunächst ziemlich schwer. Aber mit Hilfe eines linearen Ungleichungssystems kannst du diese Aufgabe sicher schnell grafisch lösen.

Zunächst müssen wir aus der Textaufgabe ein lineares Ungleichungssystem aufstellen. Die erste Ungleichung lautet x + y > 7 und die zweite Ungleichung heißt x - y < 3. Diese beiden Ungleichungen müssen wir nun nach y umstellen. Dies geht bei diesen beiden Ungleichungen sehr schnell und führt zu folgenden Ergebnissen.

Wenn wir bei der ersten Ungleichung 1x subtrahieren, so erhalten wir y > -x + 7. Bei der zweiten Ungleichung müssen wir zunächst y addieren und dann 3 subtrahieren und erhalten y > x -3.

Nun müssen wir die beiden Randgeraden y = - x + 7 und y = x -3 in ein Koordinatensystem einzeichnen. Achte dabei auf die unterschiedlichen Farben. Die erste Randgerade ist blau und die zweite Randgerade ist rot eingezeichnet.

Oberhalb der beiden Geraden befinden sich die beiden Halbebenen, die die jeweilige Lösungen der einzelnen linearen Ungleichung darstellen. Die Schnittmenge dieser Halbebenen ist das Planungsgebiet, das die Lösung des linearen Ungleichungssystems darstellt. Es ist in der Grafik lila gezeichnet.

Nun können wir die Lösungen ablesen. Natürlich gibt es hier auch wieder unendlich viele Lösungen, obwohl es sich hier ja um natürliche Zahlen handelt. Zwei Lösungsmöglichkeiten sind die Wertepaare drei fünf und fünf drei.

Lineare Ungleichungssysteme: Textaufgabe 2

Wir wollen nun noch eine zweite Textaufgabe lösen. Das Doppelte der ersten Zahl addiert zur zweiten Zahl ist kleiner als 4.Wenn man die Summe aus dem Vierfachen der ersten Zahl und dem Doppelten der zweiten Zahl bildet, dann erhält man mehr als 10. Wie lauten die beiden Zahlen?

Wir stellen zuerst wieder die beiden Ungleichungen auf. Die erste Ungleichung heißt 2x + y < 4. Die zweite Ungleichung lautet 4x + 2y > 10. Diese beiden Ungleichungen müssen wir nun nach y umstellen. Wir stellen zunächst die erste Ungleichung um. Wir subtrahieren beide Seiten der Ungleichungen mit -2x und erhalten y < 4 - 2x beziehungsweise y < -2x+4.

Die zweite Ungleichung lösen wir nach y auf, indem wir zuerst beide Seiten der Ungleichung mit 4x subtrahieren. Wir erhalten 2y>10-4x. Im Anschluss teilen wir beide Seiten durch 2 und erhalten y> 5-2x beziehungsweise y > -2x+5.

Nun müssen wir die beiden Randgeraden y gleich -2x +4 sowie y gleich -2x +5 in das Koordinatensystem einzeichnen. Diese sind hier in unterschiedlichen Farben dargestellt. Wie du siehst, verlaufen beide Randgeraden parallel. Ob dies eine Auswirkung auf unsere Lösung hat, werden wir gleich sehen, wenn wir die Halbebenen einzeichnen. Sie verlaufen über der roten beziehungsweise unter der blauen Randgeraden.

Und was fällt dir auf? Es gibt überhaupt keine Schnittmenge, das heißt es gibt kein Planungsgebiet und daher auch keine Lösung!!! Damit hättest du bestimmt nicht gerechnet. Bis jetzt hatten wir schließlich nur lineare Ungleichungssysteme, die unendlich viele Lösungen hatten.

Die Ursache hierfür ist, dass die beiden Geraden parallel verlaufen und sich die Halbebenen einmal über der Randgerade und einmal unter der Randgerade befinden.

Schluss

Ich hoffe, dass dich diese Tatsache nicht allzu sehr überrascht hat! Aber auch einen solchen Sonderfall solltest du einmal gesehen haben. Ich denke, dass du in Zukunft Textaufgaben zu linearen Ungleichungssystemen sicher grafisch lösen kannst! Ich wünsche dir noch einen erlebnisreichen Tag! Tschüß!

Lineare Ungleichungssysteme – Textaufgaben Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Ungleichungssysteme – Textaufgaben kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Ungleichungen und die Lösungsmenge des Ungleichungssystems an.

    Tipps

    Stelle das System der linearen Ungleichungen zu dieser Aufgabenstellung auf.

    Die Geraden, welche du in der Skizze sehen kannst, sind die Randgeraden der beiden Ungleichungen.

    Prüfe jeweils einzelne Punkte in den Bereichen darauf, ob sie die beiden Ungleichungen gleichzeitig erfüllen.

    Lösung

    Diese Aufgabe führt zu einem System von linearen Ungleichungen:

    $\begin{align*} &\text{I}&x+y&>7\\ &\text{II}&x-y&<3. \end{align*}$

    Durch Äquivalenzumformungen kann dieses System umgeformt werden zu

    $\begin{align*} &\text{I}&y&>-x+7\\ &\text{II}&y&>x-3. \end{align*}$

    Wenn man die Relationszeichen durch „$=$“ ersetzt, erhält man Gleichungen. Die dazugehörigen Geraden sind die sogenannten Randgeraden.

    Die blaue Randgerade, $y=-x+7$, gehört zu der ersten Ungleichung und die rote, $y=x-3$, zu der zweiten.

    Die farblich schraffierten Bereiche erfüllen die entsprechende Ungleichung.

    Dort, wo die beiden Schraffierungen sich überschneiden, liegen alle Punkte, die beide Ungleichungen erfüllen. Dies ist der Bereich A.

  • Stelle die beiden linearen Ungleichungen auf.

    Tipps

    Den beiden Zahlen sind bereits die Variablen zugeordnet.

    • Was ist das Doppelte und
    • was das Vierfache einer Zahl?

    Es gilt: Summand + Summand = Summe. Diese Rechenoperation heißt „Addition“.

    Ungleichungen können umgeformt werden wie Gleichungen. Dabei ist zu beachten, dass beim Multiplizieren mit bzw. Dividieren durch negative Zahlen das Relationszeichen ($<$, $\le$, $>$, $\ge$) sich umkehrt.

    Lösung

    Zunächst werden die beiden Aussagen in Terme übersetzt und schließlich in Ungleichungen:

    • das Doppelte einer Zahl $x$ ist $2x$,
    • das Vierfache ist $4x$ und
    • die Summe ist $x+y$.
    Somit führt
    • die erste Aussage zu $2x+y<4$ und
    • die zweite zu $4x+2y>10$.
    Nun können die beiden Ungleichungen so umgeformt werden, dass $y$ auf einer Seite alleine steht:

    $\begin{align*} 2x+y&<4&|&-2x\\ y&<-2x+4 \end{align*}$

    sowie

    $\begin{align*} 4x+2y&>10&|&-4x\\ 2y&>-4x+10&|&:2\\ y&>-2x+5. \end{align*}$

    Die zugehörigen Randgeraden können in ein Koordinatensystem gezeichnet werden. Bei den Ungleichungen fällt auf, dass der Faktor vor dem $x$ beide Male gleich ist. Das bedeutet, dass die Randgeraden parallel verlaufen.

  • Leite das System linearer Ungleichungen her.

    Tipps

    Das Zeichen für „weniger als“ ist „$<$“ und das für „höchstens“ ist „$\le$“.

    Was heißt es, wenn Pauls Schwester und Paul gemeinsam Taschengeld bekommen? Ist das die Summe oder das Produkt?

    Lösung

    Wenn Paul $x~€$ und seine Schwester $y~€$ Taschengeld bekommen, so bekommen sie gemeinsam $x~€ +y~€$. Diese Summe soll geringer sein als $35~€$. Das führt zu der Ungleichung $x+y<35$, welche äquivalent ist zu $y<35-x$.

    Wenn Paul höchstens $5~€$ mehr als seine Schwester bekommen soll, so heißt dies $x \le y+5$. Diese Ungleichung wird nach $y$ umgeformt zu $y\ge x-5$.

    Die Randgeraden kannst du in dem Bild sehen:

    • Dabei gehört die blaue Gerade zu $y=35-x$ und
    • die rote zu $y=x-5$.

  • Prüfe, welche Taschengeldkombinationen das System der Ungleichungen erfüllt.

    Tipps

    Du kannst die Randgeraden in ein Koordinatensystem zeichnen und die entsprechenden Bereiche, in denen die jeweilige Ungleichung erfüllt ist, farblich verschieden markieren.

    Du kannst jeden Punkt in das System der linearen Ungleichungen einsetzen.

    Es müssen beide gleichzeitig erfüllt sein.

    Beachte, dass die Relationen $<$ und $\ge$ sind.

    Lösung

    Graphisch kann ein System linearer Ungleichungen wie folgt gelöst werden:

    • alle Ungleichungen werden nach $y$ umgeformt, dies ist in obigem System bereits geschehen,
    • die Randgeraden werden in ein Koordinatensystem gezeichnet und
    • zu der jeweiligen Randgeraden der Bereich markiert, in welchem die Ungleichung erfüllt ist.
    In dem Bild ist die blaue Randgerade, zu $y=35-x$, sowie die rote, zu $y=x-5$, zu erkennen. Die Bereiche sind in den entsprechenden Farben markiert.

    Die Kombinationen aus Taschengeld für Pauls Schwester sowie für Paul lassen sich als Punkte im Koordinatensystem darstellen. Diese sind in dem Bild zu erkennen. Alle Punkte, die sowohl in dem blau als auch dem rot markierten Bereich liegen, erfüllen das System linearer Ungleichungen. Diese sind

    • $(10|10)$,
    • $(15|15)$ sowie
    • $(5|25)$.
    Der Punkt $(5|30)$ liegt auf der blauen Randgeraden. Da jedoch diese Ungleichung „kleiner“ erfüllt sein muss, liegt der Punkt nicht im Bereich der Lösungen.

  • Beschreibe, warum das lineare Ungleichungssystem keine Lösung besitzt.

    Tipps

    Zeichne die Geraden, die zu den Ungleichungen gehören, in ein Koordinatensystem. Was fällt dir auf?

    Markiere die Bereiche, die die jeweilige Ungleichung erfüllen.

    Der Schnitt dieser Bereiche ist der Bereich, in dem alle Punkte liegen, die das System linearer Ungleichungen erfüllen.

    Lösung

    Die beiden Randgeraden der zwei Ungleichungen

    $\begin{align*} &\text{I}&y&<-2x+4\\ &\text{II}&y&>-2x+5 \end{align*}$

    besitzen die selbe Steigung und sind somit parallel zueinander. Die beiden Halbebenen der Ungleichungen liegen jeweils ober- bzw. unterhalb der Randgeraden, daher können diese sich nicht schneiden.

    Das bedeutet, dass es keine Punkte gibt, die beide Ungleichungen gleichzeitig erfüllen. Somit ist die Lösungsmenge leer.

  • Bestimme die Gleichungen der Randgeraden sowie die dazugehörigen Ungleichungen.

    Tipps

    Allgemein lautet die Gleichung einer Geraden

    $y=m\cdot x+n$.

    Wofür steht $m$ und wofür $n$?

    Wenn du eine Gleichung einer Geraden hast, zum Beispiel $y=3x-4$, dann setze Punkte ein und prüfe, ob diese oberhalb oder unterhalb der Geraden liegen.

    Welches Relationszeichen liegt dann vor?

    Lösung

    Zu einer Ungleichung erhält man die Gleichung der Randgerade, indem man das Relationszeichen durch das Gleichheitszeichen ersetzt. Es gilt:

    • $>$: die Lösungen liegen oberhalb der Randgeraden, die Randgerade gehört nicht dazu.
    • $\ge$: die Lösungen liegen oberhalb der Randgeraden, die Randgerade gehört dazu.
    • $<$: die Lösungen liegen unterhalb der Randgeraden, die Randgerade gehört nicht dazu.
    • $\le$: die Lösungen liegen unterhalb der Randgeraden, die Randgerade gehört dazu.
    Die Ungleichung zu I lautet: $y<-1,5x+18$. Hierzu gehört die blaue Randgerade.

    Die Ungleichung zu II lautet: $y>-x+5$. Hierzu gehört die grüne Randgerade.

    Der Planungsbereich ist der schraffierte Bereich.

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