Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Lineare Ungleichungssysteme – Textaufgaben

Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Bewertung

Ø 3.0 / 9 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
Mathe-Team
Lineare Ungleichungssysteme – Textaufgaben
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Lineare Ungleichungssysteme – Textaufgaben Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Ungleichungssysteme – Textaufgaben kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Ungleichungen und die Lösungsmenge des Ungleichungssystems an.

    Tipps

    Stelle das System der linearen Ungleichungen zu dieser Aufgabenstellung auf.

    Die Geraden, welche du in der Skizze sehen kannst, sind die Randgeraden der beiden Ungleichungen.

    Prüfe jeweils einzelne Punkte in den Bereichen darauf, ob sie die beiden Ungleichungen gleichzeitig erfüllen.

    Lösung

    Diese Aufgabe führt zu einem System von linearen Ungleichungen:

    $\begin{align*} &\text{I}&x+y&>7\\ &\text{II}&x-y&<3. \end{align*}$

    Durch Äquivalenzumformungen kann dieses System umgeformt werden zu

    $\begin{align*} &\text{I}&y&>-x+7\\ &\text{II}&y&>x-3. \end{align*}$

    Wenn man die Relationszeichen durch „$=$“ ersetzt, erhält man Gleichungen. Die dazugehörigen Geraden sind die sogenannten Randgeraden.

    Die blaue Randgerade, $y=-x+7$, gehört zu der ersten Ungleichung und die rote, $y=x-3$, zu der zweiten.

    Die farblich schraffierten Bereiche erfüllen die entsprechende Ungleichung.

    Dort, wo die beiden Schraffierungen sich überschneiden, liegen alle Punkte, die beide Ungleichungen erfüllen. Dies ist der Bereich A.

  • Stelle die beiden linearen Ungleichungen auf.

    Tipps

    Den beiden Zahlen sind bereits die Variablen zugeordnet.

    • Was ist das Doppelte und
    • was das Vierfache einer Zahl?

    Es gilt: Summand + Summand = Summe. Diese Rechenoperation heißt „Addition“.

    Ungleichungen können umgeformt werden wie Gleichungen. Dabei ist zu beachten, dass beim Multiplizieren mit bzw. Dividieren durch negative Zahlen das Relationszeichen ($<$, $\le$, $>$, $\ge$) sich umkehrt.

    Lösung

    Zunächst werden die beiden Aussagen in Terme übersetzt und schließlich in Ungleichungen:

    • das Doppelte einer Zahl $x$ ist $2x$,
    • das Vierfache ist $4x$ und
    • die Summe ist $x+y$.
    Somit führt
    • die erste Aussage zu $2x+y<4$ und
    • die zweite zu $4x+2y>10$.
    Nun können die beiden Ungleichungen so umgeformt werden, dass $y$ auf einer Seite alleine steht:

    $\begin{align*} 2x+y&<4&|&-2x\\ y&<-2x+4 \end{align*}$

    sowie

    $\begin{align*} 4x+2y&>10&|&-4x\\ 2y&>-4x+10&|&:2\\ y&>-2x+5. \end{align*}$

    Die zugehörigen Randgeraden können in ein Koordinatensystem gezeichnet werden. Bei den Ungleichungen fällt auf, dass der Faktor vor dem $x$ beide Male gleich ist. Das bedeutet, dass die Randgeraden parallel verlaufen.

  • Leite das System linearer Ungleichungen her.

    Tipps

    Das Zeichen für „weniger als“ ist „$<$“ und das für „höchstens“ ist „$\le$“.

    Was heißt es, wenn Pauls Schwester und Paul gemeinsam Taschengeld bekommen? Ist das die Summe oder das Produkt?

    Lösung

    Wenn Paul $x~€$ und seine Schwester $y~€$ Taschengeld bekommen, so bekommen sie gemeinsam $x~€ +y~€$. Diese Summe soll geringer sein als $35~€$. Das führt zu der Ungleichung $x+y<35$, welche äquivalent ist zu $y<35-x$.

    Wenn Paul höchstens $5~€$ mehr als seine Schwester bekommen soll, so heißt dies $x \le y+5$. Diese Ungleichung wird nach $y$ umgeformt zu $y\ge x-5$.

    Die Randgeraden kannst du in dem Bild sehen:

    • Dabei gehört die blaue Gerade zu $y=35-x$ und
    • die rote zu $y=x-5$.

  • Prüfe, welche Taschengeldkombinationen das System der Ungleichungen erfüllt.

    Tipps

    Du kannst die Randgeraden in ein Koordinatensystem zeichnen und die entsprechenden Bereiche, in denen die jeweilige Ungleichung erfüllt ist, farblich verschieden markieren.

    Du kannst jeden Punkt in das System der linearen Ungleichungen einsetzen.

    Es müssen beide gleichzeitig erfüllt sein.

    Beachte, dass die Relationen $<$ und $\ge$ sind.

    Lösung

    Graphisch kann ein System linearer Ungleichungen wie folgt gelöst werden:

    • alle Ungleichungen werden nach $y$ umgeformt, dies ist in obigem System bereits geschehen,
    • die Randgeraden werden in ein Koordinatensystem gezeichnet und
    • zu der jeweiligen Randgeraden der Bereich markiert, in welchem die Ungleichung erfüllt ist.
    In dem Bild ist die blaue Randgerade, zu $y=35-x$, sowie die rote, zu $y=x-5$, zu erkennen. Die Bereiche sind in den entsprechenden Farben markiert.

    Die Kombinationen aus Taschengeld für Pauls Schwester sowie für Paul lassen sich als Punkte im Koordinatensystem darstellen. Diese sind in dem Bild zu erkennen. Alle Punkte, die sowohl in dem blau als auch dem rot markierten Bereich liegen, erfüllen das System linearer Ungleichungen. Diese sind

    • $(10|10)$,
    • $(15|15)$ sowie
    • $(5|25)$.
    Der Punkt $(5|30)$ liegt auf der blauen Randgeraden. Da jedoch diese Ungleichung „kleiner“ erfüllt sein muss, liegt der Punkt nicht im Bereich der Lösungen.

  • Beschreibe, warum das lineare Ungleichungssystem keine Lösung besitzt.

    Tipps

    Zeichne die Geraden, die zu den Ungleichungen gehören, in ein Koordinatensystem. Was fällt dir auf?

    Markiere die Bereiche, die die jeweilige Ungleichung erfüllen.

    Der Schnitt dieser Bereiche ist der Bereich, in dem alle Punkte liegen, die das System linearer Ungleichungen erfüllen.

    Lösung

    Die beiden Randgeraden der zwei Ungleichungen

    $\begin{align*} &\text{I}&y&<-2x+4\\ &\text{II}&y&>-2x+5 \end{align*}$

    besitzen die selbe Steigung und sind somit parallel zueinander. Die beiden Halbebenen der Ungleichungen liegen jeweils ober- bzw. unterhalb der Randgeraden, daher können diese sich nicht schneiden.

    Das bedeutet, dass es keine Punkte gibt, die beide Ungleichungen gleichzeitig erfüllen. Somit ist die Lösungsmenge leer.

  • Bestimme die Gleichungen der Randgeraden sowie die dazugehörigen Ungleichungen.

    Tipps

    Allgemein lautet die Gleichung einer Geraden

    $y=m\cdot x+n$.

    Wofür steht $m$ und wofür $n$?

    Wenn du eine Gleichung einer Geraden hast, zum Beispiel $y=3x-4$, dann setze Punkte ein und prüfe, ob diese oberhalb oder unterhalb der Geraden liegen.

    Welches Relationszeichen liegt dann vor?

    Lösung

    Zu einer Ungleichung erhält man die Gleichung der Randgerade, indem man das Relationszeichen durch das Gleichheitszeichen ersetzt. Es gilt:

    • $>$: die Lösungen liegen oberhalb der Randgeraden, die Randgerade gehört nicht dazu.
    • $\ge$: die Lösungen liegen oberhalb der Randgeraden, die Randgerade gehört dazu.
    • $<$: die Lösungen liegen unterhalb der Randgeraden, die Randgerade gehört nicht dazu.
    • $\le$: die Lösungen liegen unterhalb der Randgeraden, die Randgerade gehört dazu.
    Die Ungleichung zu I lautet: $y<-1,5x+18$. Hierzu gehört die blaue Randgerade.

    Die Ungleichung zu II lautet: $y>-x+5$. Hierzu gehört die grüne Randgerade.

    Der Planungsbereich ist der schraffierte Bereich.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

8.156

sofaheld-Level

6.601

vorgefertigte
Vokabeln

7.930

Lernvideos

37.078

Übungen

34.333

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden