30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Grafisches Lösen von linearen Ungleichungssystemen – Übung

Bewertung

Gib eine Bewertung ab!

Die Autor/-innen
Avatar
Mathe-Team
Grafisches Lösen von linearen Ungleichungssystemen – Übung
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Grafisches Lösen von linearen Ungleichungssystemen – Übung

Lineare Ungleichungssysteme lassen sich besonders gut grafisch lösen. Wie das funktioniert, üben wir in diesem Video. Zwei lineare Ungleichungssysteme habe ich vorbereitet. Ziel ist es, die verschiedenen Ungleichungen in ein Koordinatensystem einzuzeichnen. Dadurch ergibt sich ein sogenanntes Planungsgebiet. Wie man ein solches Planungssystem deutet und daraus die Lösungen des linearen Ungleichungssystems ablesen kann, wird hier anschaulich wiederholt. Nun wünsche ich dir viel Spaß und Erfolg beim Üben!

Transkript Grafisches Lösen von linearen Ungleichungssystemen – Übung

Hallo! Toll, dass du mal wieder da bist. Heute werden wir gemeinsam 2 lineare Ungleichungssysteme grafisch lösen. Die wichtigsten Schritte hierfür werden bei den Übungen noch einmal wiederholt.

Beispielaufgabe 1

Zum Aufwärmen beschäftigen wir uns mit einem einfachen Beispiel. Die erste Ungleichung heißt 2x - 2y <= 4. Und die zweite Ungleichung lautet - 3x -y > -3.

Zunächst müssen wir beide Ungleichungen nach y auflösen. Fangen wir mit der ersten Ungleichung an. Zunächst subtrahieren wir auf beiden Seiten 2x und erhalten -2y <= -2x + 4. Nun dividieren wir die Ungleichung durch -2. Achte darauf, dass sich nun das Ungleichheitszeichen umdreht. Wir erhalten nun folgende Ungleichung: y >= x - 2

Nun ist die zweite Ungleichung an der Reihe. Wir addieren zunächst auf beiden Seiten 3x und erhalten -y > 3x -3. Nun dividieren wir die Ungleichung durch -1 und erhalten, wenn wir das Relationszeichen umdrehen folgendes Ergebnis: y < -3x + 3.

Nun zeichnen wir die beiden Randgeraden y = x - 2 und y = -3x +3 in unterschiedlichen Farben in ein Koordinatensystem ein. Schau sie dir mal genauer an. Die erste Gerade ist rot und die zweite ist blau gezeichnet. Alle Punkte, die auf beziehungsweise oberhalb der roten Gerade liegen, erfüllen die erste lineare Ungleichung. Alle Punkte, die unterhalb der blauen Gerade liegen, erfüllen die zweite Ungleichung.

Die Schnittmenge dieser beiden Halbebenen bilden das Planungsgebiet. Dieses Planungsgebiet stellt die Lösung des linearen Ungleichungssystems dar.

Nun können wir Lösungen ablesen. Als Beispiel kommen die Punkte (0/0) und (0,5/1) in Frage. Aber es gibt natürlich noch unendlich andere Lösungen. Und alle liegen im Planungsgebiet.

Wenn man ein lineares Ungleichungssystem lösen kann, das zwei Ungleichungen enthält, so ist dies bestimmt auch mit drei Ungleichungen möglich. Das Verfahren geht genauso, es ist nur etwas arbeitsintensiver. Also machen wir uns ans Werk!

Beispielaufgabe 2

Unsere drei Ungleichungen heißen: 2x > 8 4y < 16 und 2x + 4y > 8

Nun formen wir die drei Ungleichungen wie in den Beispielen zuvor mithilfe äquivalenter Umformungen um und erhalten die folgenden Ergebnisse: x > 4 y < 4 y > -0,5x + 2

Jetzt zeichnen wir die Randgeraden in unser Koordinatensystem ein.

  • Die rote Gerade ist eine Parallele zur y-Achse, die durch den x-Wert 4 verläuft.
  • Die blaue Gerade ist eine Parallel zur x-Achse, die durch den y-Wert 4 verläuft.
  • Die grüne Gerade stellt die lineare Funktion y = -0,5 x + 2 dar.

Nun müssen wir noch die Halbebenen einzeichnen. Also alle Punkte, die rechts von der roten Geraden liegen. Alle Punkte, die unter der blauen Geraden liegen und alle Punkte, die über der grünen Geraden liegen. Hier siehst du nun die drei Halbebenen und kannst nun das Planungsgebiet erkennen. Dies ist die Schnittmenge dieser drei Halbebenen.

Als Beispiele für Lösungen des linearen Ungleichungssystems kommen die Punkte (5/3) und (6/2) in Frage. Aber es gibt natürlich noch unendlich viele andere Lösungen. Und alle liegen im Planungsgebiet.

Schluss

Es gibt natürlich noch komplexere Aufgaben, bei denen es noch mehr Vorrausetzungen für das lineare Ungleichungssystem gibt. Aber alle lassen sich mit diesem Verfahren hier lösen. Ich hoffe, dass du alles verstanden hast und wünsche dir noch einen angenehmen Tag!

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. @Vonwa: Das Relationszeichen ändert sich bei Ungleichungen nur, wenn man durch eine negative Zahl dividiert oder mit einer negativen Zahl multipliziert.
    Ein Beispiel: Wir dividieren bei -2x>8 auf beiden Seiten durch die negative Zahl -2. Das Relationszeichen ändert sich und wir erhalten x8 auf beiden Seiten durch 2, dann ändert sich das Relationszeichen nicht und wir erhalten x>4.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin B., vor etwa 5 Jahren
  2. Ich dachte man muss bei ":" oder * diese Zeichen "> / < "umkehren, aber wieso ändert es dann nicht bei 2x>8 zu x<4?? man rechnet ja ":" oder?

    Von Vonwa, vor etwa 5 Jahren
  3. Ich liebe euch! :D Tolles Video (:

    Von Tanja F., vor mehr als 7 Jahren

Grafisches Lösen von linearen Ungleichungssystemen – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Grafisches Lösen von linearen Ungleichungssystemen – Übung kannst du es wiederholen und üben.
  • Stelle die Gleichungen der Randgeraden für die beiden Ungleichungen auf.

    Tipps

    Die Umformung der Ungleichung erfolgt wie bei Gleichungen durch Äquivalenzumformungen.

    Beachte, dass sich

    • beim Multiplizieren mit einer negativen Zahl und
    • beim Dividieren durch eine negative Zahl
    das Relationszeichen umkehrt.

    Die allgemeine Gleichung einer Geraden lautet $y=mx+n$. Ersetze zum Schluss das Relationszeichen durch $=$.

    Lösung

    Gelöst werden soll das folgende Ungleichungssystem:

    $\begin{align*} &\text{I}&2x-2y&\le 4\\ &\text{II}&-3x-y&> -3 \end{align*}$

    Hierfür werden die Randgeraden benötigt, welche in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden können. Die jeweiligen Lösungen liegen, je nach Relationszeichen, ober- oder unterhalb dieser Randgeraden. Gegebenenfalls gehört die Randgerade dazu. Der Schnitt der Lösungen ist der Planungsbereich.

    Die Randgeraden werden bestimmt, indem jede der Ungleichung nach der Variablen $y$ aufgelöst wird. Dabei ist zu beachten, dass das Dividieren durch eine negative Zahl das Relationszeichen umkehrt:

    $\begin{align*} &\text{I}&2x-2y&\le4&|&-2x\\ &&-2y&\le-2x+4&|&:(-2)\\ &&y&\ge x-2. \end{align*}$

    sowie

    $\begin{align*} &\text{II}&-3x-y&>-3&|&+3x\\ &&-y&>3x-3&|&\cdot (-1)\\ &&y&<-3x+3. \end{align*}$

    Durch Ersetzen des jeweiligen Relationszeichens der Ungleichung durch ein Gleichheitszeichen erhält man die Gleichungen der Randgeraden:

    (I) $y=x-2$

    (II) $y=-3x+3$

  • Benenne den Planungsbereich.

    Tipps

    Forme zunächst alle Ungleichungen um und erstelle die Gleichungen der Randgeraden.

    Die allgemeine Gleichung einer Geraden lautet $y=mx+n$. Dabei ist

    • $m$ die Steigung und
    • $n$ der y-Achsenabschnitt.

    Geraden der Form $y=n$ oder $x=k$ verlaufen parallel zu den Koordinatenachsen.

    Lösung

    Um das lineare Ungleichungssystem zu lösen, müssen erst die Gleichungen der Randgeraden aufgestellt werden:

    $\begin{align*} &\text{I}&2x&>8\\ &\text{II}&4y&<16\\ &\text{III}&2x+4y&>8 \end{align*}$

    $(I)$ ist äquivalent zu $x>4$; die Randgerade lautet $x=4$.

    $(II)$ ist äquivalent zu $y<4$; die Randgerade lautet $y=4$.

    $(III)$ muss zunächst umgeformt werden:

    $\begin{align*} 2x+4y&>8&|&-2x\\ 4y&>-2x+8&|&:4\\ y&>-0,5x+2. \end{align*}$

    Die Gleichung der Randgeraden lautet $y=-0,5x+2$.

    Die Randgeraden sind in dem Bild zu erkennen. Die blaue gehört zu $(I)$, die grüne zu $(II)$ und die rote zu $(III)$.

    • Rechts von der blauen Randgeraden wird $(I)$ gelöst.
    • Unterhalb der grünen wird $(II)$ gelöst.
    • Oberhalb der roten wird $(III)$ gelöst.
    Der Schnitt ist in diesem Bild mit $P$ bezeichnet. Dies ist das Planungsgebiet.

  • Leite die Gleichungen der Randgeraden her und benenne diese in einem Koordinatensystem.

    Tipps

    Forme jede der Ungleichungen so um, dass $y$ auf der linken Seite isoliert steht.

    Die Gleichung der Randgeraden erhältst du, indem du das Relationszeichen in der umgeformten Ungleichung durch ein Gleichheitszeichen ersetzt.

    Die allgemeine Gleichung einer Geraden lautet $y=mx+n$, wobei $m$ die Steigung und $n$ der y-Achsenabschnitt ist.

    Beide Geraden sind am y-Achsenabschnitt eindeutig zu erkennen.

    Lösung

    Für das System linearer Ungleichungen

    $\begin{align*} &\text{I}&-2x-2y&\ge -10\\ &\text{II}&-x+4y&> 4 \end{align*}$

    werden die Gleichungen der Randgeraden gesucht.

    Hierfür wird jede der Gleichungen äquivalent umgeformt, sodass die Variable $y$ isoliert auf der linken Seite der Ungleichung steht. Falls durch eine negative Zahl dividiert wird oder mit einer negativen Zahl multipliziert, so dreht sich das Relationszeichen um:

    $\begin{align*} &\text{I}&-2x-2y&\ge -10&|&+2x\\ &&-2y&\ge2x-10&|&:(-2)\\ &&y&\le -x+5. \end{align*}$

    Die zugehörige Gleichung der Randgeraden lautet: $y=-x+5$. Am y-Achsenabschnitt $5$ ist zu erkennen, dass die entsprechen Gerade die rote ist.

    Analog wird die zweite Ungleichung umgeformt:

    $\begin{align*} &\text{II}&-x+4y&>4&|&+x\\ &&4y&>x+4&|&:4\\ &&y&>0,25x+1. \end{align*}$

    Die zu dieser Ungleichung gehörende Randgerade hat die Gleichung $y=0,25x+1$. Dies ist die blaue Gerade.

  • Ordne die Lösungsbereiche der einzelnen Ungleichungen sowie den Planungsbereich zu.

    Tipps

    Es gilt bei der umgeformten Ungleichung:

    ($>$) Die Lösungen liegen oberhalb der Randgerade; diese gehört also nicht dazu.

    ($\ge$) Die Lösungen liegen oberhalb oder auf der Randgerade; diese gehört also dazu.

    Dies kannst du auf die Relationen $<$ sowie $\le$ übertragen.

    Dort wo beide Ungleichungen gleichzeitig gelöst werden, ist der Planungsbereich.

    Mach dir den jeweiligen Lösungsbereich mit den Buchstaben klar. Der Buchstabe, der in beiden Lösungsbereichen vorkommt, ist der Planungsbereich.

    Lösung

    Die Gleichungen der Randgeraden zu dem System linearer Ungleichungen

    $\begin{align*} &\text{I}&-2x-2y&\ge -10\\ &\text{II}&-x+4y&> 4 \end{align*}$

    sind gegeben durch:

    (I) $y=-x+5$; dies ist die rote Gerade.

    (II) $y=0,25x+1$; dies ist die blaue Gerade.

    • Die Lösungen zu (I) liegen unterhalb oder auf der roten Randgeraden wegen $\ge$ und
    • die zu (II) oberhalb der blauen. Dabei gehört die Randgerade nicht dazu wegen $>$.
    Dort, wo die beiden Bereiche sich schneiden, liegt das Planungsgebiet. Dieses ist in dem oberen Bild mit $L$ gekennzeichnet.

    In nebenstehendem Bild ist der Planungsbereich daran zu erkennen, dass die Markierungen der Lösungsbereiche sich dort schneiden.

  • Gib die wichtigen Schritte zum grafischen Lösen eines linearen Ungleichungssystem an.

    Tipps

    Die Gleichung einer Geraden lautet $y=mx+n$. Alle Punkte, die diese Gleichung erfüllen, liegen auf der Geraden.

    Zeichne die Randgerade zu $y\le 4x+3$. Prüfe, ob die Punkte oberhalb oder unterhalb der Randgeraden diese Ungleichung erfüllen.

    Es gilt $4<6$. Allerdings führt die Multiplikation mit $-3$ zu $-12>-18$.

    Lösung

    Ein System linearer Ungleichungen besteht aus mindestens $2$ linearen Ungleichungen.

    Jede dieser Ungleichungen wird so umgeformt, dass die Variable $y$ auf der linken Seite isoliert steht. Dies geschieht durch Äquivalenzumformungen.

    Vorsicht: Das Multiplizieren mit einer negativen Zahl und das Dividieren durch eine negative Zahl kehrt das Relationszeichen um.

    Additionen oder Subtraktionen haben keinen Einfluss auf das Relationszeichen,

    Die umgeformte Ungleichung führt jeweils zu der Randgeraden, in welcher das Relationszeichen durch ein Gleichheitszeichen ersetzt wird.

    Je nach Relationszeichen liegen folgende Fälle vor:

    ($>$) Alle Punkte oberhalb der Randgeraden erfüllen die Ungleichung. Die Randgerade gehört nicht dazu.

    ($\ge$) Alle Punkte oberhalb oder auf der Randgeraden erfüllen die Ungleichung. Die Randgerade gehört dazu.

    ($<$) Alle Punkte unterhalb der Randgeraden erfüllen die Ungleichung. Die Randgerade gehört nicht dazu.

    ($\le$) Alle Punkte unterhalb oder auf der Randgeraden erfüllen die Ungleichung. Die Randgerade gehört dazu.

  • Ermittle den Planungsbereich des linearen Ungleichungssystems.

    Tipps

    Mach dir die Lage oberhalb oder unterhalb in Abhängigkeit von dem Relationszeichen an Beispielen klar.

    Die grüne Gerade hat die Form $x>k$ oder $x<k$.

    Du kannst das Bild auf ein Blatt Papier übertragen und die entsprechenden Bereiche schraffieren.

    Lösung

    Bei dieser Aufgabe geht es darum, bei gegebenen Randgeraden zu erkennen, welcher Bereich welche Ungleichungen erfüllt. Dies ist manchmal, insbesondere bei mehr als $2$ Ungleichungen recht kompliziert.

    Im Bereich $G$ werden die Ungleichungen (I) und (II) jeweils mit $<$ die beiden anderen mit $>$ erfüllt.

    Der Bereich $A$ enthält alle die Punkte, die alle Ungleichungen mit $>$ erfüllen und der Bereich $V$ alle mit $<$.

    Dies kann man sich zum Beispiel durch Schraffieren der entsprechenden Bereiche klarmachen.

    Im Bereich $T$ gelten die folgenden Relationen:

    • $<$ für die Ungleichungen (I) und (II) sowie
    • $>$ für die Ungleichungen (II) und (IV).

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

10.800

Lernvideos

44.121

Übungen

38.769

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert/-innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden