Lineare Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen

Lineare Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen Übung

• Vervollständige den Text zum Einsetzungsverfahren.

  Tipps

  Beim Einsetzungsverfahren ersetzt du eine Variable in einer Gleichung mit einem Term, der diese Variable beschreibt und durch die andere Gleichung erhalten wird.

  Betrachte folgenden Schritt bei der Umstellung einer Gleichung nach der Variablen:

  $\begin{array}{llll} 8x &=& 48 & \vert :8 \end{array}$

  Hier teilst du nun beide Seiten der Gleichung durch $8$ und erhältst: $~x=6$.

  Du gibst einen Punkt im Koordinatensystem wie folgt an: $~(x\vert y)$.

  Lösung

  So kannst du den Text richtig vervollständigen:

  „Die Lösung des linearen Gleichungssystems entspricht dem Schnittpunkt der beiden Geraden, also dem Zeitpunkt, an dem sich Björn und Waldemar begegnen. Dieser Schnittpunkt kann rechnerisch mit dem Einsetzungsverfahren, auch Substitutionsverfahren genannt, bestimmt werden.“

  • Das Gleichungssystem heißt linear, da wir nur lineare Funktionen, also Geraden betrachten.

  „Damit wir das Einsetzungsverfahren anwenden können, muss eine Gleichung nach einer der Variablen aufgelöst sein. Die Lösung des linearen Gleichungssystems muss dann für alle Gleichungen des Systems gelten.“

  • Welche der Gleichungen nach welcher Variable aufgelöst wird, spielt dabei keine Rolle.

  „In unserem Fall sind beide Gleichungen nach $y$ aufgelöst, daher können wir das Verfahren gleich anwenden, indem wir die zweite in die erste Gleichung einsetzen. Wir erhalten dann:

  $\begin{array}{llll} 20x &=&15x + 40 & \vert -15x \\ 5x &=& 40 & \vert :5 \end{array}$

  Damit erhält man: $x =8$“

  • Dieses Ergebnis erhältst du, indem du zuerst von beiden Seiten $15x$ subtrahierst und anschließend durch $5$ teilst.

  „Setzen wir diesen Wert in der zweiten Gleichung für $x$ ein, erhalten wir:

  $y =20\cdot 8=160$.“

  • Da $x=8$ gilt, erhalten wir durch Einsetzen $y=20\cdot 8=160$.

  „Somit ist die Lösung unseres linearen Gleichungssystems der Punkt $(8\ \vert\ 160)$ und genau der Punkt, an dem sich Björn und Waldemar begegnen.“

  • Die Lösung eines linearen Gleichungssystems ist der Schnittpunkt der gegebenen Geraden.

• Gib die richtige Reihenfolge der Rechenschritte an.

  Tipps

  Zuerst muss eine Gleichung nach einer der Variablen umgestellt werden.

  Um die zweite Variable zu berechnen, muss der Wert für die erste Variable eingesetzt werden.

  Lösung

  In dieser Reihenfolge löst Waldemar das lineare Gleichungssystem:

  • Waldemar stellt die erste Gleichung nach $x$ um und erhält $x=5y-3$. Damit man das Einsetzungsverfahren anwenden kann, muss eine der Gleichungen nach einer Variablen umgestellt sein.

  • Nun setzt er den Term für $x$ in die zweite Gleichung ein und erhält:

  $\begin{array}{llllll} && -8(5y-3)+3y &=& 24 & \\ && -37y+24 &=& 24 & \vert -24 \\ && -37y &=& 0 & \vert :(-37) \\ && y &=& 0 & \end{array}$

  • Den errechneten $y$-Wert setzt er nun in die erste Gleichung ein. Er erhält:

  $\begin{array}{lllll} && x-5\cdot 0 &=& -3 \\ && x &=& -3 \end{array}$

  • Um zu überprüfen, ob die berechneten Werte stimmen, setzt Waldemar beide Werte in die zweite Gleichung ein. Er erhält:

  $\begin{array}{lllll} && -8\cdot (-3)+3\cdot 0 &=& 24 \\ && 24+0 &=& 24 \\ && 24 &=& 24 \end{array}$

  • Somit ist die Lösung des linearen Gleichungssystems der Punkt $(-3\ \vert\ 0)$. Wenn man einen Punkt in einem Koordinatensystem angeben möchte, so gibt man zuerst den $x$- und dann den $y$-Wert an: $~(x\ \vert\ y)$.

• Ordne den linearen Gleichungssystemen die passenden Lösungen zu.

  Tipps

  Stelle zuerst eine der Gleichungen nach einer Variablen um. Zum Beispiel kannst du die Gleichung $x + y = 4$ nach $x$ oder $y$ umstellen. Stellst du sie nach $x$ um, so erhältst du:

  • $x=4-y$.

  Setze nun den Term für die Variable, also zum Beispiel $x=4-y$, in die jeweils andere Gleichung ein.

  Durch das Einsetzen erhältst du eine Gleichung mit nur einer Variablen. Stelle diese nach der Variablen um. So erhältst du einen Wert für die Variable, welchen du in eine der Gleichungen einsetzen und den Wert für die andere Variable bestimmen kannst. Die Lösung gibst du dann wie folgt an:

  • $(x\ \vert\ y)$.

  Lösung

  In allen nachfolgenden Rechnungen werden diese Schritte abgearbeitet:

  1. Umstellen: Eine Gleichung wird nach einer der Variablen umgestellt.
  2. Einsetzen: Das Ergebnis für die Variable wird in die zweite Gleichung, also die Gleichung, die noch nicht verwendet wurde, eingesetzt.
  3. Ausrechnen: Wir erhalten nun einen Wert für die Variable. Dieser Wert wird in die andere Gleichung eingesetzt, um den Wert für die zweite Variable zu berechnen.

  Gleichungssystem $1$

  $\begin{array}{crcll} \text{I} & x-y &=& 3 \\ \text{II} & x-2y &=& 1 \end{array}$

  $1$) Umstellen: Wir stellen die erste Gleichung nach $x$ um und erhalten $\text{x}=3+\text{y}$.

  $2$) Einsetzen: Wir setzen nun $x$ in die zweite Gleichung ein. Wir erhalten dann:

  $\begin{array}{llll} 3+y-2y &=& 1& \\ 3-y &=& 1& \vert -3 \\ -y &=& -2 & \vert \cdot (-1) \\ y &=& 2 & \end{array}$

  $3$) Ausrechnen: Wir setzen den errechneten $y$-Wert in die erste Gleichung ein. Wir erhalten $x=5$. Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist somit der Punkt $(5\ \vert\ 2)$.

  Gleichungssystem $2$

  $\begin{array}{crcll} \text{I} & x+2y &=& 8 \\ \text{II} & x+y &=& 6 \end{array}$

  $1$) Umstellen: Wir stellen die erste Gleichung nach $x$ um und erhalten $x=8-2y$.

  $2$) Einsetzen: Wir setzen $x$ in die zweite Gleichung ein und erhalten:

  $\begin{array}{llll} 8-2y+y &=& 6 & \\ 8-y &=& 6 & \vert -8 \\ -y &=& -2 & \vert \cdot (-1) \\ y &=& 2 & \end{array}$

  $3$) Ausrechnen: Wir setzen den $y$-Wert in die erste Gleichung ein und erhalten:

  $\begin{array}{llll} x+4 &=& 8 & \vert -4 \\ x &=& 4 & \end{array}$

  Das Ergebnis des linearen Gleichungssystems ist der Punkt $(4\ \vert\ 2)$.

  Gleichungssystem $3$

  $\begin{array}{crcll} \text{I} & 2x+y &=&16 \\ \text{II} & 5y-3 &=& x \end{array}$

  $1$) Umstellen: Die zweite Gleichung ist bereits nach $x$ umgestellt.

  $2$) Einsetzen: Wir setzen $x$ in die erste Gleichung ein und erhalten:

  $\begin{array}{llll} 2(5y-3)+y &=& 16 & \\ 10y-6+y &=& 16 & \\ 11y-6 &=& 16 & \vert +6 \\ 11y &=& 22 & \vert :11 \\ y &=& 2 & \end{array}$

  $3$) Ausrechnen: Wir setzen nun den errechneten $y$-Wert in die zweite Gleichung ein und erhalten:

  $\begin{array}{lll} x &=& 5\cdot{2}-3 \\ x &=& 10-3 \\ x &=& 7 \end{array}$

  Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems ist daher $(7\ \vert\ 2)$.

  Gleichungssystem $4$

  $\begin{array}{crcll} \text{I} & 2x-3 &=& y \\ \text{II} & 3x &=& y+9 \end{array}$

  $1$) Umstellen: Die erste Gleichung ist bereits nach $y$ umgestellt.

  $2$) Einsetzen: Wir setzen $y$ in die zweite Gleichung ein und erhalten:

  $\begin{array}{llll} 3x &=& 2x-3+9 & \vert -2x \\ x &=& 6 & \end{array}$

  $3$) Ausrechnen: Wir setzen den errechneten $x$-Wert in die erste Gleichung ein und erhalten $2\cdot{6}-3=9=y$.

  Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist somit $(6\ \vert\ 9)$.

• Ermittle die fehlenden Werte.

  Tipps

  Löse die Gleichungssysteme, indem du zunächst eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen umstellst und diesen Term in die jeweils andere Gleichung einsetzt.

  Kennst du den Wert für einen der beiden Variablen eines Gleichungssystems, so setzt du diesen in eine der beiden Gleichungen ein, um den Wert für die andere Variable zu berechnen.

  Lösung

  Rosas Münzen

  Wir berechnen zuerst, wie viele Münzen Rosa bekommt. Hierzu betrachten wir das folgende lineare Gleichungssystem:

  $\begin{array}{clcr} \text{I} & x+2y &=& 10 \\ \text{II} & x+y &=& 8 \end{array}$

  Dieses lösen wir nun mithilfe des Einsetzungsverfahrens. Wir stellen hierzu die erste Gleichung nach $x$ um und erhalten:

  $x = 10-2y$.

  Nun setzen wir $x$ in die zweite Gleichung ein:

  $\begin{array}{rcll} 10-2y + y &=& 8 & \\ 10-y &=& 8 & \vert -10 \\ -y &=& -2 & \vert \cdot (-1) \\ y &=& 2 & \end{array}$

  Setzen wir nun $y$ in die erste Gleichung ein, so erhalten wir:

  $\begin{array}{rcll} x + 4 &=& 10 \vert -4 \\ x &=& 6 & \end{array}$

  Rosa erhält also $6$ mal $1$€ Münzen und $2$ mal $2$€ Münzen.

  Jonas' Münzen

  Nun berechnen wir, welche Münzen Jonas bekommt. Hierzu betrachten wir das folgende lineare Gleichungssystem:

  $\begin{array}{clcr} \text{I} & a+2b &=& 8 \\ \text{II} & a+b &=& 6 \end{array}$

  Nun müssen wir noch die Lösung berechnen. Wir stellen zuerst die erste Gleichung nach $x$ um und erhalten:

  $a=8-2b$.

  Nun setzen wir diesen Term in die zweite Gleichung ein und erhalten:

  $\begin{array}{rcll} 8-2b+b &=& 6 & \\ 8-b &=& 6 & \vert -8 \\ -b &=& -2 & \vert \cdot (-1) \\ b &=& 2 & \end{array}$

  Setzen wir $b$ nun in die erste Gleichung ein, so erhalten wir

  $\begin{array}{rcll} a+2\cdot 2 &=& 8 & \\ a+4 &=& 8 & \vert -4 \\ a &=& 4 & \\ \end{array}$

  Jonas bekommt also $4$ mal $1$€ Münzen und $2$ mal $2$€ Münzen.

• Gib die richtige Reihenfolge der Schritte an.

  Tipps

  Stelle zuerst eine der Gleichungen nach einer der beiden Variablen um, zum Beispiel $x$.

  Kennst du bereits einen Wert für eine der beiden Variablen, so kannst du diesen in eine der beiden Gleichungen einsetzen, um den Wert für die andere Variable zu erhalten.

  Lösung

  Möchtest du ein lineares Gleichungssystem lösen, so kannst du hierfür unterschiedliche Verfahren nutzen. Eines dieser Verfahren ist das Einsetzungsverfahren. Löst du ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten $x$ und $y$ mithilfe des Einsetzungsverfahrens, so gehst du wie folgt vor:

  1. Du stellst eine der Gleichungen nach einer Variablen, hier nach $x$, um.
  2. Nun setzt du den Term für diese Variable, hier $x$, in die noch nicht verwendete Gleichung ein.
  3. Durch Lösen der Gleichung erhältst du nun einen Wert für die andere Variable, hier $y$.
  4. Den berechneten Wert für die Variable, hier $y$-Wert, setzt du nun in eine der Gleichungen ein.
  5. Durch Lösen der Gleichung erhältst du nun den Wert für die zweite Variable, hier $x$.
  6. Um die Probe zu machen, setzt du nun die berechneten Werte in eine der Gleichungen ein.

• Ermittle die Lösung des linearen Gleichungssystems.

  Tipps

  Zuerst musst du das lineare Gleichungssystem aufstellen. Lege hierzu Variablen für die Anzahl der Fische und Hähnchenschenkel fest.

  Die erste Gleichung erhältst du, indem du die Anzahl der Portionen benutzt.

  Die zweite Gleichung erhältst du, indem du die einzelnen Preise und die Gesamtausgabe verwendest.

  Lösung

  Wir stellen zuerst das lineare Gleichungssystem auf. Die erste Gleichung erhalten wir mit dem Wissen, dass die Summe der Anzahlen von Fischen und Hähnchenschenkeln $12$ ergibt. Die erste Gleichung lautet also:

  $\text{I}\quad x + y = 12$.

  Die zweite Gleichung erhalten wir, indem wir die Preise und die Gesamtsumme verwenden. Wir legen nun fest, dass die Variable $x$ für die Anzahl der Fische und die Variable $y$ für die Anzahl der Hähnchenschenkel steht. Damit erhalten wir folgende zweite Gleichung des gesuchten linearen Gleichungssystems:

  $\text{II}\quad x\cdot 0,99 + y\cdot 1,19 = 12,68$.

  Wir müssen also das folgende lineare Gleichungssystem lösen:

  $\begin{array}{crcl} \text{I} & x + y &=& 12 \\ \text{II} & x\cdot 0,99 + y\cdot 1,19 &=& 12,68 \end{array}$

  Wir stellen nun die erste Gleichung nach $x$ um und erhalten $x=12-y$. Nun setzen wir den so erhaltenen Term für $x$ in die zweite Gleichung ein. Es folgt:

  $\begin{array}{rcll} 0,99\cdot \left(12- y\right) + y\cdot 1,19 &=&12,68 & \\ 11,88 - 0,99\cdot y + 1,19\cdot y &=&12,68 & \\ 11,88 +0,2\cdot y &=&12,68 & \vert -11,88 \\ 0,2\cdot y &=& 0,8 & \vert :0,2 \\ y &=& 4 & \end{array}$

  Setzen wir $y=4$ nun in die nach $x$ umgestellte Gleichung ein, erhalten wir folgenden Wert für $x$:

  $x=12-4=8$.

  Waldemar kauft also $8$ Fische und $4$ Hähnchenschenkel.