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Lineare Gleichungssysteme lösen – Einsetzungsverfahren 04:25 min

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Transkript Lineare Gleichungssysteme lösen – Einsetzungsverfahren

Kitty Katzenklo mag wie eine ganz normale Nachbarin wirken. Wären da nicht die vielen Katzen. Frag nicht, wie viele genau. Das weiß nicht einmal Kitty selbst. Bald wird eine Katzenshow mit sensationellen Preisen stattfinden. Kitty will mit möglichst vielen Katzen teilnehmen. Sie weiß, dass ihre Kurzhaarkatzen schöner sind als ihre Langhaarkatzen, also will sie siebenmal mehr Kurzhaar- als Langhaarkatzen präsentieren. Aber hier ist das Problem. Kittys Budget ist begrenzt und der Katzenschönheitssalon um die Ecke ist nicht billig. Er verlangt 18 € für Kurzhaarkatzen und 36 € für Langhaarkatzen. Kittys Budget beträgt 1944 €. Sie will wissen, wie viele Kurz- und Langhaarkatzen sie zum Friseur bringen kann. Wir helfen ihr mittels eines linearen Gleichungssystems. Die Variable x steht dabei für die Anzahl der Kurzhaarkatzen, y für die Anzahl der Langhaarkatzen. Wir können zwei Gleichungen aufstellen. Das Styling für Kurzhaarkatzen kostet 18 €, also steht 18x für die Kosten aller kurzhaarigen Katzen, die sie mitbringt. Für Langhaarkatzen beträgt der Preis 36 €. Dies lässt sich mit 36y ausdrücken. Zusammen ergibt es die Gesamtkosten, um die Katzen für die Show frisieren zu lassen, das Budget von 1944 €. Mit der zweiten Gleichung drücken wir aus, dass sie siebenmal mehr Kurzhaar- als Langhaarkatzen mitnehmen will. Das bedeutet, dass x die Anzahl der Kurzhaarkatzen siebenmal der Anzahl der Langhaarkatzen entspricht. Sieh dir die zweite Gleichung genauer an. Sie drückt aus, dass x dem Wert von 7y entspricht. Wir können also x in der ersten Gleichung durch 7y ersetzen. Warum machen wir das? Ganz klar, so haben wir nur eine Variable und können nach y auflösen. Da links zwei gleichartige Terme stehen, fassen wir sie zusammen. 18×7y = 126y. 126y + 36y = 162 y. Das ergibt 162y = 1944. Wenn wir durch 162 dividieren, ergibt das y = 12. Kitty kann also 12 Langhaarkatzen frisieren lassen. Und wie viele Kurzhaarkatzen? Dafür setzen wir 12 in die zweite Gleichung ein, um x zu berechnen. x = 7y. x = 7×12 oder 84. Also kann Kitty 12 Langhaarkatzen und 84 Kurzhaarkatzen mitbringen. Wir machen die Probe. Unsere Ergebnisse sind dann korrekt, wenn beide Gleichungen wahr sind. Das heißt, wenn wir 12 und 84 für y und x einsetzen und dann vereinfachen, sollte derselbe Wert auf beiden Seiten der Gleichung stehen. Los geht es. Das Multiplizieren ergibt 1512 + 432 also 1944. Das entspricht dem Wert auf der rechten Seite. Also erfüllen unsere Ergebnisse die Gleichung. In der zweiten Gleichung sehen wir, dass 84 gleich 7 mal 12 ist. Auch hier stimmen unsere Ergebnisse. Kitty kann tatsächlich 12 Lang- und 84 Kurzhaarkatzen zur Show bringen. Zusammen ergibt das 96 Katzen, die geschniegelt und gestriegelt werden müssen. Bei der großen Menge werden alle gleichzeitig geföhnt. Danach geht es mit den herausgeputzten Katzen zur Show. Arme Kitty, ein wichtiges Detail hat sie übersehen. Der Wettbewerb ist nur für Sphynx-Katzen, Katzen ohne Fell. Aber wie es aussieht, hat Kitty bereits eine Idee.

10 Kommentare
  1. Oh holly ... Infires man.
    Was ist da am Ende mit dem Katzen passiert?!

    Von Xmina Xp, vor 10 Tagen
  2. Mega gut erklärt das ende war legendär ich dachte erst so das man jetzt noch ausrechnen muss was das dann kostet aber nein sie macht es sich einfacher...…..

    Von Carlotta K, vor 14 Tagen
  3. gut erklärt aber das ende xD ......

    Von Simone Schillo, vor etwa 2 Monaten
  4. Bestes Ende xD

    Von Christa R., vor 3 Monaten
  5. ACh du Akcke das Ende..HAHAHAHAH
    Aber Gutes Video

    Von Ricky1012, vor 3 Monaten
  1. Das Ende war verstörend... hätte man anders gestalten können. Sonst ein sehr hilfreiches Video, wurde meiner Meinung nach gut erklärt.

    Von Milea S., vor 7 Monaten
  2. team digital ist das beste tutoren team auf ganz sofatutor

    Von J.Kamali, vor 10 Monaten
  3. Ich finde die Stelle als sie die Katzen geschärt hat ziemlich Brutal.

    Von Itslearning Nutzer 2535 56071, vor 10 Monaten
  4. Die Katzen tun mir echt leid. Ziemlich brutal das Ende

    Von Itslearning Nutzer 2535 56056, vor 10 Monaten
  5. Das ist das Beste Video was ich derzeit auf Sofatutor gesehen habe.
    Persönlich würde ich ein bisschen weniger Effekte einfügen (Ton Effekte) , aber sonst war alles SUPER!

    Von Jannis K., vor mehr als einem Jahr
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Lineare Gleichungssysteme lösen – Einsetzungsverfahren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Gleichungssysteme lösen – Einsetzungsverfahren kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib das gesuchte lineare Gleichungssystem an.

    Tipps

    Die Gesamtkosten für das Frisieren von Kurz- und Langhaarkatzen errechnen sich wie folgt:

    Gesamtkosten Kurzhaarkatzen $+$ Gesamtkosten Langhaarkatzen.

    Die Gesamtkosten für die jeweilige Katzenart erhältst du auf diese Weise:

    Gesamtkosten Kurzhaarkatzen

    Anzahl Kurzhaarkatzen $\cdot$ Preis für Kurzhaarkatzen

    Gesamtkosten Langhaarkatzen

    Anzahl Langhaarkatzen $\cdot$ Preis für Langhaarkatzen

    Außerdem gilt, dass die Anzahl der Kurzhaarkatzen dem Siebenfachen der Anzahl der Langhaarkatzen entspricht.

    Lösung

    Folgende Angaben sind uns bekannt:

    • $\mathbf{7}$-Mal mehr Kurzhaar- als Langhaarkatzen
    • Das Budget von Kitty: $\mathbf{1944\ €}$
    • Friseurpreis Kurzhaarkatze: $\mathbf{18\ €}$
    • Friseurpreis Langhaarkatze: $\mathbf{36\ €}$
    Außerdem nehmen wir Folgendes an:

    • $x$ ist die Anzahl der Kurzhaarkatzen.
    • $y$ ist die Anzahl der Langhaarkatzen.
    Aus der ersten Angabe resultiert die erste lineare Gleichung:

    • $x=7y$.
    Für die Gesamtkosten von $1944\ €$, die Kitty tragen muss, gilt:

    Gesamtkosten $=$ Gesamtkosten Kurzhaarkatzen $+$ Gesamtkosten Langhaarkatzen.

    Die Gesamtkosten für die jeweilige Katzenart erhalten wir mit:

    Gesamtkosten Kurzhaarkatzen $=$ Anzahl Kurzhaarkatzen $\cdot$ Preis für Kurzhaarkatzen;

    Gesamtkosten Langhaarkatzen $=$ Anzahl Langhaarkatzen $\cdot$ Preis für Langhaarkatzen.

    Daraus resultiert die zweite Gleichung des gesuchten linearen Gleichungssystems:

    • $18x+36y=1944$.
  • Beschreibe die Vorgehensweise beim Einsetzungsverfahren für das vorgegebene lineare Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.

    Tipps

    Den ersten Schritt beim Lösen eines linearen Gleichungssystems mittels Einsetzungsverfahren kannst du dem folgenden Beispiel entnehmen. Gegeben sei:

    $ \left|\begin{array}{rcl} x+y &=& 3 \\ 2x &=& 4y \end{array}\right| $

    Zunächst erfolgt das Umstellen der zweiten Gleichung nach $x$:

    $x=2y$.

    Die Gleichung $x=2y$ wird in die erste Gleichung eingesetzt und diese nach $y$ umgestellt.

    Lösung

    Wenn ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten gegeben ist, so kann das Einsetzungsverfahren zum Lösen des Gleichungssystems angewendet werden. Die Vorgehensweise dabei ist wie folgt:

    1. Eine der beiden linearen Gleichungen nach einer der Variablen umstellen.
    2. Das Umstellen liefert den Term für diese Variable, welcher in die andere Gleichung eingesetzt wird.
    3. Die resultierende lineare Gleichung nach der jeweiligen enthaltenen Variablen auflösen.
    4. Die Lösung in eine der beiden linearen Ausgangsgleichungen einsetzen und die jeweils andere Variable berechnen.
    Anschließend kann die Probe durchgeführt werden. Dafür werden die Variablen mit den berechneten Werte ersetzt und überprüft, ob auf beiden Seiten der Gleichungen derselbe Wert steht.

    Die Vorgehensweise üben wir nun an dem gegebenen Beispiel:

    $ \left|\begin{array}{rcl} x+y &=& 6 \\ x-y&=& 0 \\ \end{array}\right| $

    Schritt 1: Wir stellen die erste Gleichung nach der Variablen $x$ um.

    $x=6-y$

    Schritt 2: Wir setzen den resultierenden Term für die Variable $x$ in die zweite Gleichung ein.

    $6-y-y=0$

    Schritt 3: Es resultiert eine lineare Gleichung, in der nur noch die Variable $y$ enthalten ist. Diese stellen wir nach der Variablen $y$ um.

    $ \begin{array}{rcrl} 6-y-y &=& 0 && \\ 6-2y &=& 0 && \vert -6 \\ -2y &=& -6 && \vert :(-2) \\ y &=& 3 && \end{array} $

    Schritt 4: Die Lösung für die Variable $y$ setzen wir in die erste Ausgangsgleichung ein und berechnen die Variable $x$.

    $ \begin{array}{rcrl} x+3 &=& 6 && \vert -3 \\ x &=& 3 && \end{array} $

    Schritt 5: Zuletzt überprüfen wir noch unsere Ergebnisse. Wir setzen $x=3$ und $y=3$ in beide Ausgangsgleichungen ein.

    • $3+3 = 6 $
    • $3-3=0$
  • Berechne die Unbekannten des gegebenen linearen Gleichungssystems.

    Tipps

    Um das Einsetzungsverfahren anzuwenden, benötigst du eine Gleichung, in der eine der Variablen isoliert ist. Diese Gleichung hat dann die Form $x = ...$ bzw. $y = ...$.

    Die Variablen können natürlich auch anders benannt sein.

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    $ \left|\begin{matrix} 2x+3y &=& 7 \\ x &=& 2y \end{matrix}\right| $.

    Da $x$ in der zweiten Gleichung bereits isoliert ist, setzen wir diese in die erste Gleichung ein. Man erhält die Gleichung:

    $2\cdot 2y+3y=7$.

    Mit dieser Gleichung kann man nun $y$ ausrechnen.

    Sobald eine der beiden Variablen berechnet wurde, kann diese in eine der Gleichungen eingesetzt und die zweite Variable bestimmt werden.

    Lösung

    Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem:

    $ \left|\begin{matrix} 18x+36y &=& 1944 \\ x &=& 7y \end{matrix}\right| $.

    Da $x$ in der zweiten Gleichung bereits isoliert ist, setzen wir diese in die erste Gleichung ein. Dies liefert eine lineare Gleichung, in der die Variable $x$ eliminiert ist. In dieser werden gleichartige Terme auf beiden Seiten der Gleichung zusammengefasst und die Gleichung nach $y$ aufgelöst:

    $ \begin{array}{llld} 18\cdot 7y+36y &=& 1944 & \\ 126y+36y &=& 1944 & \\ 162y &=& 1944 & \vert :162 \\ y &=& 12 \end{array} $

    Die Lösung für $y$ wird in eine der beiden Gleichungen eingesetzt und die Variable $x$ berechnet. Wir wählen die zweite Gleichung und erhalten:

    $ \begin{array}{lll} x &=& 7\cdot 12 \\ x &=& 84 \end{array} $

    Um die Richtigkeit unserer Lösung zu überprüfen, setzen wir die Lösung in beide Gleichungen ein. Erst, wenn beide Gleichungen erfüllt sind, handelt es sich um die Lösung des linearen Gleichungssystems. Die Probe liefert folgende Rechnung für die erste Gleichung:

    $ \begin{array}{lll} 18\cdot 84+36\cdot 12 &=& 1944 \\ 1512+432 &=& 1944 \\ 1944 &=& 1944 \end{array} $

    Die zweite Gleichung liefert:

    $ \begin{array}{lll} 84 &=& 7\cdot 12 \\ 84 &=& 84 \end{array} $

  • Ermittle die Lösung des gegebenen Gleichungssystems mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens.

    Tipps

    Vereinfache zunächst beide Gleichungen so weit wie möglich. Nutze dann das Einsetzungsverfahren. Stelle dafür eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen um und setze den resultierenden Term in die andere Gleichung ein.

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    $ \left| \begin{matrix} x^2+2x+y &=& x^2+x+2 \\ x &=& y \end{matrix} \right| $

    Wir vereinfachen die erste Gleichung:

    $ \begin{array}{llll} x^2+2x+y &=& x^2+x+2 &\vert -x^2 \\ 2x+y &=& x+2 &\vert -x \\ x+y &=& 2 & \end{array} $

    Nun kann die Gleichung $x=y$ in die vereinfachte Gleichung eingesetzt und die Variable $y$ berechnet werden. Anschließend wird die Lösung für die Variable $y$ in die Gleichung $x=y$ eingesetzt und die Variable $x$ berechnet.

    Lösung

    Es ist das folgende Gleichungssystem gegeben:

    $ \left| \begin{matrix} 2x\cdot (x+2)+y &=& 2x^2+5x-2(y+1) \\ 5x-3y &=& 4(y+4)+2 \end{matrix} \right| $

    Auf den ersten Blick könnte man vermuten, dass es sich bei der ersten Gleichung um eine quadratische Gleichung handelt. Allerdings lässt sich die Gleichung vereinfachen. Nach der Vereinfachung erkennt man, dass es sich hierbei um eine lineare Gleichung handelt. Lass uns die erste Gleichung gemeinsam vereinfachen:

    $ \begin{array}{rcll} 2x\cdot (x+2)+y &=& 2x^2+5x-2(y+1) & \\ 2x^2+4x+y &=& 2x^2+5x-2y-2 & \vert -2x^2 \\ 4x+y &=& 5x-2y-2 & \vert -5x \\ -x+y &=& -2y-2 & \vert +2y \\ -x+3y &=& -2 & \end{array} $

    Außerdem vereinfachen wir die zweite Gleichung, um beurteilen zu können, welche der beiden Gleichungen sich für das Einsetzungsverfahren besser eignet. Wir erhalten:

    $ \begin{array}{rcll} 5x-3y &=& 4(y+4)+2 & \\ 5x-3y &=& 4y+16+2 & \\ 5x-3y &=& 4y+18 & -4y \\ 5x-7y &=& 18 & \end{array} $

    Wir erkennen, dass sich die erste Gleichung einfacher nach einer Variablen umstellen lässt als die zweite. Wir teilen die erste Gleichung durch $-1$ und stellen sie nach der Variablen $x$ um:

    $ \begin{array}{rcll} -x+3y &=& -2 & \vert :(-1) \\ x-3y &=& 2 & \vert +3y \\ x &=& 3y+2 & \end{array} $

    Diesen Term setzen wir nun in unsere zweite Gleichung ein:

    $ \begin{array}{rcll} 5\cdot (3y+2)-7y &=& 18 & \\ 15y+10-7y &=& 18 & \\ 8y+10 &=& 18 & \vert -10 \\ 8y &=& 8 & \vert :8 \\ y &=& 1 \end{array} $

    Nun setzen wir $y=1$ in die nach $x$ umgestellte Gleichung ein:

    $ \begin{array}{rcll} x &=& 3\cdot 1+2 & \\ x &=& 5 & \end{array} $

  • Ermittle das gesuchte lineare Gleichungssystem und bestimme die Unbekannten mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens.

    Tipps

    Das $n$-Fache einer Zahl $x$ wird mathematisch wie folgt beschrieben:

    $n\cdot x$.

    Demnach gilt beispielsweise für das $5$-Fache einer Zahl $x$:

    $5\cdot x$.

    Wenn wir der Variablen, die das aktuelle Alter einer Person angibt, die Bezeichnung $x$ geben, so ist diese Person in fünf Jahren $x+5$ Jahre alt.

    Nutze zum Lösen des Gleichungssystem das Einsetzungsverfahren. Stelle hierfür eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen um und setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein.

    Lösung

    Folgende Angaben sind uns bekannt:

    Heute

    • aktuelles Alter von Lena: $x$
    • aktuelles Alter von Lenas Mutter: $y$
    • Lenas Mutter ist heute viermal so alt wie Lena: $4x$
    In vier Jahren

    • Lenas Alter in vier Jahren: $x+4$
    • Das Alter von Lenas Mutter in vier Jahren: $y+4$
    • Lenas Mutter wird dann dreimal so alt sein wie Lena in vier Jahren: $3(x+4)$
    Mit diesen Angaben können wir nun unsere beiden linearen Gleichungen aufstellen:

    $ \left|\begin{matrix} 4x &=& y \\ 3(x+4) &=& y+4 \end{matrix}\right| $

    Wir nehmen nun die erste Gleichung und setzen $y=4x$ in die zweite Gleichung für die Variable $y$ ein. Somit erhalten wir:

    $ \begin{array}{llll} 3(x+4) &=& 4x+4 & \\ 3x+12 &=& 4x+4 & \vert -3x\\ 12 &=& x+4 & \vert -4 \\ 8 &=& x \end{array} $

    Den berechneten Wert für $x$ setzen wir nun in die erste Gleichung ein, um die Variable $y$ zu ermitteln. An dieser Stelle kann auch die zweite Gleichung verwendet werden.

    $ \begin{array}{lll} 4\cdot 8 &=& y \\ 32 &=& y \end{array} $

    Demnach ist Lena heute $8$ und ihre Mutter $32$ Jahre alt.

  • Bestimme die Unbekannten der gegebenen linearen Gleichungssysteme mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens.

    Tipps

    Stelle zunächst eine der beiden linearen Gleichungen so um, dass eine Variable isoliert ist.

    Setze anschließend den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein und bestimme die in der Gleichung enthaltene Unbekannte.

    Verwende das Distributivgesetz, um die gegebenen Gleichungen zu vereinfachen. Das Distributivgesetz lautet:

    $c(a+b)=ca+cb$.

    Lösung

    Das Vorgehen in dieser Aufgabe wird am ersten Beispiel verdeutlicht. Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten:

    $ \left| \begin{matrix} x+13 &=& 7y \\ 5x+y &=& 2y+37 \end{matrix} \right| $

    Um dieses Gleichungssystem mittels Einsetzungsverfahren zu lösen, muss zunächst eine der beiden Gleichungen so umgeformt werden, dass eine Variable isoliert ist. Da die Variable $x$ in der ersten Gleichung bereits ohne Vorfaktor auftaucht, wählen wir diese Gleichung und formen sie um. Wir erhalten:

    $ \begin{array}{llll} x+13 &=& 7y & \vert -13 \\ x &=& 7y -13 & \end{array} $

    Den Term, den wir für die Variable $x$ erhalten haben, setzen wir nun in die zweite Gleichung ein.

    $ \begin{array}{llll} 5(7y -13)+y &=& 2y+37 & \\ 35y-65+y &=& 2y+37 & \\ 36y-65 &=& 2y+37 & \vert -2y \\ 34y-65 &=& 37 & \vert +65 \\ 34y &=& 102 & \vert :34\\ y &=& 3 \end{array} $

    Die Lösung für die Variable $y$ setzen wir nun in die erste der beiden Ausgangsgleichungen ein.

    $ \begin{array}{lll} x &=& 7\cdot 3-13 \\ x &=& 8 & \end{array} $

    Somit erhalten wir folgende Lösungen:

    • $x=8$ und
    • $y=3$.