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Kommutativgesetz und Assoziativgesetz – Geschickt rechnen

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Mathe-Team
Kommutativgesetz und Assoziativgesetz – Geschickt rechnen
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung Kommutativgesetz und Assoziativgesetz – Geschickt rechnen

Wenn Rechenaufgaben länger und komplizierter werden, kann man schnell den Überblick verlieren Es gibt aber zum Glück einige Rechengesetze, die das Rechnen leichter machen. In diesem Video geht es darum, wie man das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz geschickt anwenden kann, um bei mehrfachen Additionen oder Multiplikationen das Rechnen zu vereinfachen. Anton und Bella rechnen zuerst noch vier Beispiel vor. Im zweiten Teil sollst du selbst rechnen. Danach werden die Lösungswege erklärt. Denke daran, das Assoziativgesetz bzw. das Kommutativgesetz in diesen Rechnungen geschickt zu verwenden.

47 Kommentare

47 Kommentare
  1. Habe es MEGA gut verstanden. Endlich. So lange habe ich mit diesen Gesetzen gekämpft! Und jetzt endlich verstanden.

    Von Simadelcastillo, vor etwa 2 Monaten
  2. Sehr gut hilft mir gut

    Von Harmanjot, vor 2 Monaten
  3. 🌟🌟🌟🌟🌟

    Von Fabian Rudigkeit, vor 2 Monaten
  4. Das ist so toll 😊 erklärt worden

    Von Fabian Rudigkeit, vor 2 Monaten
  5. Vielen Dank für euer positives Feedback. Es freut uns zu hören, dass euch das Video so gut gefällt. Viel Spaß weiterhin mit unseren Inhalten.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Diem Thanh Hoang, vor 5 Monaten
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Kommutativgesetz und Assoziativgesetz – Geschickt rechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kommutativgesetz und Assoziativgesetz – Geschickt rechnen kannst du es wiederholen und üben.
  • Ordne die Rechenschritte bei der Berechnung von 176 + 23 + 50 +27.

    Tipps

    Das Kommutativgesetz besagt, dass du in einer Summe die Summanden vertauschen kannst.

    Zum Beispiel:

    5 + 9 = 9 + 5

    Das Assoziativgesetz besagt, dass du in einer Summe die Klammern beliebig setzen oder weglassen kannst. Das macht das Berechnen viel einfacher!

    Zum Beispiel:

    157 + 7 + 3 = 157 + (7 + 3) = 157 + 10 = 167.

    Bei einer Summe ermöglichen dir das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz wie folgt vorzugehen:

    5 + 86 + 9 + 14 = 5 + 9 + (86 + 14) = 5 + 9 + 100 = 14 + 100 = 114.

    Lösung

    Dank des Kommutativgesetzes kannst du Summanden vertauschen. Also kannst du 23 und 50 vertauschen.

    176 + 23 + 50 + 27 = 176 + 50 + 23 + 27

    Das Assoziativgesetz ermöglicht es dir Klammern zu setzen. Hier ist es geschickt 23 und 27 zu addieren. Damit erhältst du:

    176 + 50 + 23 + 27 = 176 + 50 + (23 + 27) = 176 + 50 + 50.

    Du kannst ein weitere Mal Klammern einfügen.

    176 + 50 + 50 = 176 + (50 + 50) = 176 + 100 = 276

    Zum Schluss siehst du, dass 176 + 100 viel einfacher zu berechnen ist, als 176 +23 + 50 + 27 in dieser Reihenfolge.

  • Berechne geschickt mit Hilfe des Assoziativ- und Kommutativgesetzes.

    Tipps

    Das Kommutativgesetz ermöglicht es dir, in einer Multiplikation (oder Addition) die Faktoren (oder Summanden) zu vertauschen.

    Zum Beispiel :

    $4 \cdot 56 \cdot 25 = 56 \cdot 4 \cdot 25 = 56 \cdot 25 \cdot 4 = 25 \cdot 4 \cdot 56$

    Das Assoziativgesetz besagt, dass du bei einer Multiplikation (oder Addition) Klammern beliebig setzen oder weglassen kannst.

    Zum Beispiel:

    $56 \cdot 25 \cdot 4 = 56 \cdot (25 \cdot 4) = (56 \cdot 25)\cdot 4$

    Lösung

    Dank des Kommutativgesetzes, kannst du die Faktoren einer Multiplikation vertauschen. Also kannst du 39 und 2 vertauschen.

    $5 \cdot 39 \cdot 2 = 5 \cdot 2 \cdot 39$

    Das Assoziativgesetz ermöglicht es dir, Klammern zu setzen. Hier ist das aber nicht notwendig, da wir von links nach rechts rechnen.

    $5 \cdot 2 \cdot 39 = 10 \cdot 39$

    Dann erhältst du:

    $10 \cdot 39 = 390$.

  • Gib an, wie man geschickt mit dem Assoziativ- und Kommutativgesetz rechnen kann.

    Tipps

    Das Kommutativgesetz besagt, dass du in einer Addition oder Multiplikation die Summanden bzw. Faktoren vertauschen darfst.

    Zum Beispiel:

    $150 + 31 + 50 = 150 + 50 + 31 = 50 + 31 + 150$

    $3 \cdot 150 \cdot 2 = 3 \cdot 2 \cdot 150 = 150 \cdot 2 \cdot 3$

    Das Assoziativgesetz besagt, dass du in einer Addition oder Multiplikation die Klammern beliebig setzen oder weglassen darfst.

    Zum Beispiel:

    $157 + 7 + 3 = 157 + (7 + 3) = (157 + 7) + 3$

    $56 \cdot 25 \cdot 4 = 56 \cdot (25 \cdot 4) = (56 \cdot 25) \cdot 4$

    Lösung

    In einer Addition darfst du Klammern beliebig setzen (Assoziativgesetz). Also:

    $\begin{align} 125 + 47 + 3 &= 125 + (47 + 3) \\ &= 125 + 50 \\ &= 175 \end{align}$

    In einer Addition darfst du die Summanden vertauschen (Kommutativgesetz).

    $125 + 47 + 75 = 125 + 75 + 47 $

    Dann erhältst du : $125 + 75 + 47 = 200 + 47 = 247$.

    Bei $125 + 47 + 75 + 3$ siehst du, dass die Summen $125 + 75$ und $47 + 3$ einfach zu rechnen sind. In einer Addition darfst du die Summanden vertauschen (Kommutativgesetz) und Klammern beliebig setzen (Assoziativgesetz). Also:

    $\begin{align} 125 + 47 + 75 + 3 &= 125 + 75 + 47 + 3 \\ &= (125 + 75) + (47 + 3) \\ &= 200+ 50 \\ &= 250 \end{align}$

    Bei einer Multiplikation gilt ebenfalls das Kommutativ- und Assoziativgesetz.

    $\begin{align} 4 \cdot 48 \cdot 25 &= 4 \cdot 25 \cdot 48 \\ & =100 \cdot 48 \\ &= 4800 \end{align}$

  • Berechne die Produkte im Kopf.

    Tipps

    Erinnere dich:

    $4 \cdot 250 =1000$ und $8 \cdot 125= 1000$.

    Das Assoziativgesetz besagt, dass du in einer Multiplikation aus mehreren Faktoren die Klammern beliebig setzen oder weglassen kannst.

    Zum Beispiel:

    $56 \cdot 25 \cdot 4 = 56 \cdot (25 \cdot 4) = 56 \cdot 100 = 560$

    Das Kommutativgesetz ermöglicht es dir, in einer Multiplikation die Faktoren zu vertauschen.

    Zum Beispiel :

    $4 \cdot 56 \cdot 25 = 56 \cdot 4 \cdot 25 = 56 \cdot 25 \cdot 4 = 25 \cdot 4 \cdot 56$

    Lösung

    Es gilt $4 \cdot 250 = 1000$. Also kannst du bei $ 4 \cdot 79 \cdot 250$ die $79$ und $250$ vertauschen, indem du das Kommutativgesetz anwendest.

    $\begin{align} 4 \cdot 79 \cdot 250 &=4 \cdot 250 \cdot 79 \\ &= 1000 \cdot 79 \\ &= 79000 \end{align}$

    Bei $ 20 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 4$ hast du mehrere Möglichkeiten:

    Entweder du rechnest $20 \cdot 5$ zuerst und dann $100 \cdot 3 \cdot 4$,

    oder du fängst an, $4 \cdot 5$ zu rechnen und dann $20 \cdot 20 \cdot 3$.

    Die Faktoren darfst du vertauschen, da es eine Multiplikation ist. Hier beginnen wir mit $4 \cdot 5$. Die Ergebnisse sind aber in beiden Fällen die gleichen.

    $\begin{align} 20 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 4 &= 20 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 4 \\ &= 100 \cdot 3 \cdot 4 \end{align}$

    Hier kannst du auch entscheiden, ob du von links nach rechts multiplizierst, oder ob du lieber $3$ mit $4$ multiplizierst und dann $12$ mit $100$. Die Reihenfolge der Berechnung ist beliebig, da du in einer Multiplikation das Assoziativgesetz anwenden kannst.

    $\begin{align} 100 \cdot 3 \cdot 4 &= 100 \cdot (3 \cdot 4) \\ &= 100 \cdot 12 \\ &= 1200 \end{align}$

    Bei $ 8 \cdot 5 \cdot 125$ bemerkst du sofort, dass gilt $8 \cdot 125 = 1000$. Also wendest du das Kommutativgesetz an:

    $\begin{align} 8 \cdot 5 \cdot 125 &= 8 \cdot 125 \cdot 5 \\ &= 1000 \cdot 5 \\ &= 5000 \\ \end{align}$

    Bei $6 \cdot 100 \cdot 5 \cdot 2$ wendest du das Assoziativgesetz an, nachdem du gesehen hast, dass $5 \cdot 2$ einfacher und schneller zu berechnen ist, als direkt von links nach rechts zu rechnen.

    $\begin{align} 6 \cdot 100 \cdot 5 \cdot 2 &= 6 \cdot 100 \cdot (5 \cdot 2) \\ &= 6 \cdot 100 \cdot 10 \\ &= 6 \cdot (100 \cdot 10) \\ &= 6 \cdot 1000 \\ &= 6000 \\ \end{align}$

  • Berechne möglichst geschickt die Summe $72 + 34 + 28$.

    Tipps

    Das Kommutativgesetz besagt, dass du in einer Summe die Summanden vertauschen kannst.

    Zum Beispiel:

    $5 + 9 = 9 + 5$.

    Das Assoziativgesetz besagt, dass du in einer Summe die Klammern beliebig setzen oder weglassen kannst.

    Zum Beispiel:

    $157 + 7 + 3 = 157 + (7 + 3) = 157 + 10 = 167$.

    Bei einer Summe ermöglichen dir das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz wie folgt vorzugehen:

    $5 + 86 + 9 + 14 = 5 + 9 + (86 + 14) = 5 + 9 + 100 = 14 + 100 = 114$.

    Lösung

    $72 + 34 + 28$ ist eine Addition. Dank des Kommutativgesetzes kannst du die Summanden vertauschen. Hier siehst du, dass beim Addieren von $72$ und $28$ die gesamte Berechnung einfacher wird, da $72 + 28 = 100$. Also vertauschst du $72$ und $34$.

    $72 + 34 + 28 = 34 + 72 + 28$

    Das Assoziativgesetz ermöglicht es dir, Klammern zu setzen. Damit erhältst du:

    $34 + 72 + 28 = 34 + (72 + 28) = 34 + 100 = 134$.

  • Entscheide, welche Gleichungen richtig sind.

    Tipps

    Das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz gelten nur für die Multiplikation und die Addition.

    Es gilt: $20:5 \neq 5:20$.

    Wenn in einer Berechnung gleichzeitig Summanden und Faktoren stehen, kannst du nicht immer das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz anwenden. Hier gilt die Regel „Punkt vor Strich“.

    Lösung

    Bei einer Division gilt das Kommutativgesetz nicht, also kannst du die Zahlen nicht vertauschen. Daher: $25 : 2 : 5 \neq 5 : 25 : 2$.

    Also ist auch $ 100 \cdot 4 :3 \neq 100 \cdot 3 :4$.

    Bei der Berechnung $25 \cdot 7 + 4$ gilt die Regel „Punkt vor Strich“. Merke dir gut, dass du das Assoziativ- und das Kommutativgesetz nur bei Summen oder Produkten anwenden kannst.

    $25 \cdot 7 + 4 = 175 +4 = 179$

    und

    $25 \cdot 4 + 7 = 100 + 7 = 107$

    Also $25 \cdot 7 + 4 \neq 25 \cdot 4 + 7 $.

    Bei $5 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 3$ kannst du das Assoziativgesetz anwenden und Klammern beliebig setzen.

    $\begin{align} 5 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 3 &= (5 \cdot 4) \cdot (7 \cdot 3) \\ &= 20 \cdot 21 \\ &= 420 \end{align}$

    Bei $5 + 7 + 25 + 200 + 143$ kannst du die Summanden vertauschen (Kommutativgesetz) und Klammern beliebig setzen (Assoziativgesetz). Also:

    $\begin{align} 5 + 7 + 25 + 200 + 143 &= 5 + 25 + 7 + 143 + 200 \\ &= (5 + 25) + (7 + 143) + 200 \\ &= 30 + 150 + 200 \\ &= 180 +200 \\ &=380 \end{align} $

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