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Kommutativgesetz und Assoziativgesetz (2)

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Martin Wabnik
Kommutativgesetz und Assoziativgesetz (2)
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Kommutativgesetz und Assoziativgesetz (2)

In dem folgenden Video wird dir am Anfang eine kurze Wiederholung zum Assoziativ- und Kommutativgesetz der Addition und Multiplikation dargeboten. Zudem lernst du in dem Video ein neues Rechengesetz mit dem Namen „ Distributivgesetz “ kennen. Im deutschsprachigen Raum spricht man auch häufig vom „ Verteilungsgesetz “. Das Distributivgesetz ist im Grunde ein Gesetz zum Ausmultiplizieren von Klammern. Du wirst schnell merken, dass es sich beim Distributivgesetz um ein schwieriges Rechengesetz handelt, aber keine Sorge! Wir erklären dir anhand von Beispielen das Rechengesetz Schritt für Schritt!

Transkript Kommutativgesetz und Assoziativgesetz (2)

Hallo! Du kennst das Kommutativgesetz. Es lautet: a+b=b+a. Und du kennst auch das Assoziativgesetz. Das lese ich jetzt nicht alles vor, du siehst es ja hier. Und wenn man es genau nimmt, müsste man sagen: Das ist das Kommutativgesetz der Addition und das ist hier das Assoziativgesetz der Addition, denn es gibt beide Gesetze auch für die Multiplikation. Rein zufällig habe ich die hier mal Liegen. Das ist das Kommutativgesetz für die Multiplikation. Es lautet einfach: a×b=b×a. Und das Assoziativgesetz für die Multiplikation ist hier. Es lautet (a×b)×c=a×(b×c)=a×b×c. Und auch diese Gesetze, diese Formeln, funktionieren wie die Formeln der Addition. Du kannst für die Variablen, also hier für diese Buchstaben, Zahlen einsetzen. Hier, für dieses und dieses a zum Beispiel jeweils die 7. Du kannst auch andere Zahlen nehmen. Es müssen nur gleiche Variablen auch gleiche Zahlen bekommen. Für die beiden b möchte ich jetzt jeweils die 9 einsetzen. Und dann entsteht eine richtige Gleichung, nämlich:7×9=63. 9×7 ist auch 63. Die Gleichung ist richtig. Du kannst hier alle möglichen Zahlen einsetzen für a oder für b. Immer entsteht eine richtige Gleichung. Das Gleiche möchte ich auch noch einmal zeigen beim Assoziativgesetz der Multiplikation. Und zwar können wir einsetzen für a können wir die 2 einsetzen, für b die 3, für c die 8. Warum nicht? Für c die 8, haben wir gesagt, für b die 3, für a die 2. Für b die 3, für c die 8 und für a die 2. Jeweils das a hat die 2, das b hat jeweils die 3 und das c jeweils die 8. Wie muss man jetzt hier rechnen? Das zeige ich eben, wie das geht, in welcher Reihenfolge. Es ist so wie bei dem Assoziativgesetz der Addition auch. Hier rechnet man zunächst die Klammer aus. Es gilt ja, erst Klammern ausrechnen und dann alles andere. Wir rechnen:2×3. Das ist 6. Und rechnen danach:6×8. Das ist 48. Und wir können aber auch das Ganze so ausrechnen: Wir rechnen zunächst 3×8. 3×8=24. Und 2×24 bedeutet ja nichts anderes als 24+24. Und das ist auch 48. Und so sehen wir, dass zunächst mal hier diese Gleichung richtig ist. Dann sagt man sich: Na ja, wenn es sowieso egal ist, wo man die Klammern hinsetzt, dann kann man sie auch gleich weglassen. Wir rechnen einfach: 2×3×8. Und es kommt auch 48 heraus. Dann ändert sich am Ergebnis nichts, wenn man die Klammern einfach weglässt. Das ist unter anderem der Grund dafür, warum es dieses Assoziativgesetz gibt, weil man nämlich die Klammern weglassen kann. Übrigens: Mit dem Kommutativgesetz zusammen folgt aus diesen Gesetzen, dass man Faktoren beliebig vertauschen kann innerhalb eines Produktes. Oder auch, dass man Summanden vertauschen kann. Das folgt dann aus den beiden Gesetzen. Also nicht nur vertauschen, sondern dass man sie in beliebiger Reihenfolge anordnen kann. Da kommt später noch einiges zu. Möchte ich jetzt hier nicht weiter vertiefen. Aber jetzt habe ich hier Platz für eine neue Sache, und zwar für ein Gesetz, das "das Distributivgesetz" heißt. Distributivgesetz deshalb, weil es einen lateinischen Begriff gibt, der so ähnlich lautet und der heißt "verteilen". Deshalb heißt es auch "Verteilungsgesetz". Und das geht so: a×(b+c)=a×b+a×c. Das ist das Distributivgesetz oder auch Verteilungsgesetz. Hier kommen jetzt die Addition und die Multiplikation vor. Es gibt hier noch eine Sache anzumerken, zu diesem Distributivgesetz: Das gibt es nämlich in verschiedenen Versionen. Und zwar gibt es auch: a×(b-c)=a×b-a×c. Es gibt auch noch weitere Versionen davon, nämlich kann die Klammer auch als erstes stehen. Dann könnte man zum Beispiel schreiben: (a+b)×c=a×c+b×c. Und auch das gibt es mit einem Minuszeichen, nämlich: (a-b)×c=a×c-b×c. Damit nicht genug. Es gibt noch die Version hier, dass man da ein Geteiltzeichen hinschreiben kann. Das geht allerdings nicht, wenn man dieses hier verwendet. Dann kann man kein Geteiltzeichen hinschreiben. Deshalb lasse ich das auch ganz weg mit dem Geteiltzeichen. Manche Lehrer verwenden es, manche nicht. Ich habe mich hier entschieden, es nicht zu verwenden. Das ist ein bisschen Geschmackssache, ob man das macht oder nicht. An dem Gesetz selber ändert sich nichts. Später, wenn du die Zahlen besser kennenlernst und wenn du noch mehr Zahlen kennenlernst, wirst du auch feststellen, dass das gar nicht nötig ist.  Es gibt hier noch etwas zu zu sagen, nämlich: Vielleicht sieht es jetzt für dich ein bisschen kompliziert aus, weil es ja quasi gleich 4 Gesetze sind. Aber das kann man auch ein bisschen vereinfachen, nämlich mit einer solchen Schablone. Hier ist sie. Das ist quasi eine Formelschablone und die kann man auch drehen und wenden und vertauschen und sonst was machen. Das möchte ich kurz mal vormachen. Ich fange mal hier mit der unteren Version an. Dann haben wir erst eine Klammer und dann a-b und das ist dann a×c-b×c. Und da kann ich jetzt einfach hier die Buchstaben einsetzen. Auf grün kommt das c hin und auf pink oder lila das a und das b sitzt hier auf gelb. Dann habe ich genau diese Version, die hier steht. Ich kann aber auch ein Pluszeichen hier hinschreiben, dann ist das auch richtig. Die c sind verkehrt herum. So, jetzt ist es aber richtig. Was aber auch möglich ist: Man kann diese Schablone hier umdrehen - übrigens, wenn du auch so eine haben willst, brauchst du nicht selber malen, kannst du dir herunterladen, die ist auf meiner Homepage. Mathematikwerkstatt heißt die Homepage. Da kannst du das einfach herunterladen und für dich verwenden und ausdrucken. Auch das ist möglich, wenn ich jetzt a, b und c einsetze. A, b, c, dann haben wir hier a×(b+c)=a×b+a×c. Wo ist das a geblieben? Das a ist hier, so a×c, da ist es. Dann haben wir hier wieder die obere Version. Und wenn ich jetzt hier das Pluszeichen zu einem Minuszeichen werden lasse, dann gibt es diese Version hier auch. Du kannst aber auch einfach hier Zahlen einsetzen, das Gleiche wie bei den anderen Gesetzen auch. Du kannst zum Beispiel einfach hier für grün die 2 einsetzen, für gelb die 3 und für pink die 4. Warum nicht? Hier ein Pluszeichen vielleicht. Dann muss hier auf grün auch die 2 hin, auf gelb die 3, ein Pluszeichen haben wir hier, auf grün die 2 und auf pink die 4. Auch dann entsteht eine richtige Gleichung. Hierzwischen ist jetzt so ein Gleichheitszeichen. Dann steht hier nämlich: wir müssen zuerst rechnen 3+4, das ist 7. Und 2×7=14. Ebenso gilt:2×3=6. Dann rechnen wir hier weiter, es geht ja Punktrechnung vor Strichrechnung. 2×4=8. Und 6+8=14. Das heißt, bei beiden Termen kommt das gleiche Ergebnis heraus und das ist das Distributivgesetz. Das leistet das Distributivgesetz. Du kannst irgendwelche Zahlen einsetzen, es ist immer richtig. Es kommt immer das Richtige heraus. Das ist quasi der König der Formeln, der Gesetze. Das wird noch häufig vorkommen. Viel Spaß damit. Bis bald. Tschüss.

24 Kommentare

24 Kommentare
  1. Aber sonst Perfekt Mr. Wabnik

    Von Rimuru T., vor 9 Monaten
  2. Es war ein bisschen unverständlich erklärt was man da tun soll

    Von Rimuru T., vor 9 Monaten
  3. Die 5

    Von Rimuru T., vor 9 Monaten
  4. Hallo Aiden Lincon B., kannst du genauer sagen, was dir an der Übung nicht gefallen hat? Wir freuen uns immer über Verbesserungsvorschläge.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Albrecht Kröner, vor 9 Monaten
  5. Aber gutes Video

    Von Rimuru T., vor 9 Monaten
Mehr Kommentare

Kommutativgesetz und Assoziativgesetz (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kommutativgesetz und Assoziativgesetz (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zum Distributivgesetz.

    Tipps

    Du kannst jede Gesetz mit konkreten Zahlen nachprüfen.

    Die Gesetze für $a\cdot(b+c)$ und $a\cdot(b-c)$ unterscheiden sich nur dadurch, dass $+$ durch $-$ ersetzt wird.

    Lösung

    Das Distributivgesetz lautet:

    $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

    Hier kommen sowohl die Multiplikation als auch die Addition vor.

    Es gibt verschiedene Versionen des Distributivgesetzes:

    • $a\cdot(b-c)=a\cdot b-a\cdot c$
    • $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$
    • $(a-b)\cdot c=a\cdot c-b\cdot c$.

  • Vervollständige die Gleichungen, sodass das Kommutativ-, Assoziativ- bzw. Distributivgesetz richtig angewendet wird.

    Tipps

    Das Kommutativgesetz der Multiplikation besagt, dass die Reihenfolge von Faktoren vertauscht werden kann:

    $a\cdot b=b\cdot a$.

    Das Assoziativgesetz der Multiplikation lautet:

    $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)=a\cdot b \cdot c$.

    Das Distributivgesetz lautet:

    • $a\cdot (b±c)=a\cdot b±a\cdot c$ oder
    • $(a±b)\cdot c=a\cdot c±b\cdot c$.

    Lösung

    Das Kommutativgesetz der Multiplikation lautet $a\cdot b=b\cdot a$.

    Somit ist $7\cdot 9=63=9\cdot 7$.

    Das Assoziativgesetz der Multiplikation lautet: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)=a\cdot b \cdot c$.

    Somit ist $(2\cdot3)\cdot8=2\cdot(3\cdot8)=2\cdot3\cdot8=48$.

    Das Distributivgesetz für die obige Aufgabe lautet $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

    Somit ist $2\cdot(3+4)=14=2\cdot3+2\cdot 4$.

  • Prüfe die folgenden Aussagen zu den Rechengesetzen.

    Tipps

    Wenn eine Aussage nicht stimmt, genügt ein Gegenbeispiel.

    Das Minuszeichen vor einer Klammer kehrt in der Klammer die Vorzeichen um.

    Prüfe, ob du auf $(2+3):4$ bzw. $2:(3+4)$ das Distributivgesetz anwenden kannst.

    Lösung

    Das Kommutativgesetz der Multiplikation besagt, dass die Reihenfolge zweier Faktoren vertauscht werden darf:

    $a\cdot b=b\cdot a$.

    Diese Aussage gilt auch für mehr als zwei Faktoren.

    Das Kommutativgesetz gilt auch für die Addition

    $a+ b=b+ a$,

    allerdings nicht für die Subtraktion und Division.

    Das Assoziativgesetz der Multiplikation besagt, dass die Multiplikation nicht von links nach rechts durchgeführt werden muss:

    $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)=a\cdot b\cdot c$.

    Dieses Gesetz gilt auch für die Addition

    $(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c$,

    allerdings nicht für die Subtraktion und Division.

    Das Distributivgesetz verbindet die Multiplikation und Addition und kann in unterschiedlichen Versionen formuliert werden:

    • $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$
    • $a\cdot(b-c)=a\cdot b-a\cdot c$
    • $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$
    • $(a-b)\cdot c=a\cdot c-b\cdot c$
    Man kann dieses Gesetz auch für die Division erklären, jedoch nur für die dritte und vierte Fassung:
    • $(a+b): c=a:c+b: c$
    • $(a-b):c=a: c-b: c$.

  • Ordne die Rechnung dem zugehörigen Gesetz zu.

    Tipps

    Die Zuordnung ist jeweils eindeutig. Du musst keine Ergebnisse berechnen.

    Wenn Faktoren vertauscht werden, liegt das Kommutativgesetz vor.

    Wenn sowohl die Addition als auch die Multiplikation vorkommen, liegt das Distributivgesetz vor.

    Das Assoziativgesetz lautet $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)=a\cdot b\cdot c$.

    Lösung

    Die Rechengesetze:

    • das Kommutativgesetz $a\cdot b=b\cdot a$,
    • das Assoziativgesetz $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)=a\cdot b\cdot c$ sowie
    • das Distributivgesetz $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$
    können wir auch für konkrete Zahlen anwenden:
    • $7\cdot 3=21=3\cdot 7$ gilt nach dem Kommutativgesetz.
    • $7\cdot 3\cdot 4=84=3\cdot 7\cdot 4$ gilt nach dem Kommutativgesetz.
    • $(7\cdot 3)\cdot 4=21\cdot 4=84=7\cdot 12=7\cdot (3\cdot 4)$ gilt nach dem Assoziativgesetz.
    • $(7+ 3)\cdot 4=10\cdot 4= 40= 28+12=7\cdot 4+3\cdot 4$ gilt nach dem Distributivgesetz.
    • $7\cdot (3+ 4)=7\cdot 7=49= 21+28=7\cdot 3+ 7\cdot 4$ gilt nach dem Distributivgesetz.
    • $(7\cdot 5)\cdot 2=35\cdot 2=70=7\cdot 10=7\cdot (5\cdot 2)$ gilt nach dem Assoziativgesetz.
    Diese Rechengesetze werden oft verwendet, um längere Rechnungen geschickter durchzuführen. Grundsätzlich kann bei Rechnungen ohne Klammern, in welchen immer nur die Multiplikation oder Addition vorkommen, immer von links nach rechts gerechnet werden. Manchmal ist es geschickter, die einzelnen Faktoren zu vertauschen oder Produkte zum Beispiel in der Mitte zu berechnen.

  • Gib das Kommutativgesetz und Assoziativgesetz der Multiplikation an.

    Tipps

    Das Kommutativgesetz besagt, dass die Faktoren eines Produktes vertauscht werden können.

    Das Assoziativgesetz besagt, dass bei mehreren Faktoren die Reihenfolge, in welcher Zwischenprodukte berechnet werden, keine Rolle spielt.

    Beachte, dass die Gesetze immer nur bei den gleichen Rechenzeichen $\cdot$ und auch $+$ gelten.

    Lösung

    Das Kommutativgesetz besagt, dass die Reihenfolge der Faktoren eines Produktes vertauscht werden kann:

    $a\cdot b=b\cdot a$.

    Dieses Gesetz gilt auch für die Addition, aber nicht für die Subtraktion und Division.

    Das Assoziativgesetz besagt, dass in einem Produkt, welches aus mehr als zwei Faktoren besteht,

    • zuerst das Produkt von links nach rechts berechnet werden kann
    • oder auch Zwischenprodukte weiter rechts berechnet werden können.
    In Formeln kannst du $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)=a\cdot b\cdot c$ schreiben.

    Dieses Gesetz gilt auch für die Addition, allerdings nicht für die Subtraktion und Division.

  • Werte den Term aus, in dem du geschickt die Rechengesetze anwendest.

    Tipps

    Ordne die Terme geschickt oder fasse geschickt zusammen.

    Du kannst

    • das Kommutativgesetz $a\cdot b=b\cdot a$,
    • das Assoziativgesetz $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)=a\cdot b\cdot c$ oder
    • das Distributivgesetz $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$
    anwenden.

    Lösung

    Die Rechengesetze

    • das Kommutativgesetz $a\cdot b=b\cdot a$,
    • das Assoziativgesetz $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)=a\cdot b\cdot c$ sowie
    • das Distributivgesetz $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$
    werden verwendet, um längere Rechnungen geschickter durchzuführen:
    • $123:5+77:5=(123+77):5=200:5=40$ nutzt das Distributivgesetz.
    • $2\cdot 23\cdot 5=2\cdot 5\cdot 23=10\cdot23=230$ nutzt das Kommutativgesetz.
    • $2\cdot3\cdot 4\cdot 5=2\cdot 3\cdot 20=2\cdot 60=120$ nutzt das Assoziativgesetz.

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