Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz
Lerne mathematische Rechengesetze anhand von Beispielen! Entdecke, wie du mit Klammern im Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz umgehst und verbessere dein Geschick im Rechnen. Neugierig geworden? Finde mehr in dem folgenden Text heraus!
- Rechengesetze in der Mathematik
- Kommutativgesetz
- Assoziativgesetz
- Distributivgesetz
- Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz – Beispiel
- Übersicht – Geschickt rechnen mit Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz
- Geschickt Addieren und Multiplizieren mit Assoziativ- und Kommutativgesetz
- Kopfrechnen mit dem Distributivgesetz
- Häufig gestellte Fragen zum Thema Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz
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Kommutativgesetz und Vertauschungsgesetz
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Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz
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Klammerregeln – Grundrechenarten
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Kommutativgesetz und Assoziativgesetz – geschickt rechnen
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Dezimalbrüche – Assoziativgesetz und Kommutativgesetz nutzen (Übung)
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Dezimalbrüche – Assoziativgesetz und Kommutativgesetz nutzen
Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz Übung
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Bestimme die korrekten Aussagen zu Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz.
TippsDie Reihenfolge der Zahlen bei einer Addition ist nicht relevant.
Es gilt zum Beispiel:
$\begin{array}{ll} 6+3&=3+6 \\ 9&=9 \end{array}$
Hier wurde das Distributivgesetz angewandt:
$3 \cdot (4-2)=3 \cdot 4 + 3 \cdot (-2)= 12-6=6$
LösungDiese Aussagen sind falsch:
- „Das Kommutativgesetz der Addition besagt, dass man die Summanden bei einer Addition durch andere, beliebige Zahlen austauschen kann.“
$\begin{array}{ll} 5+2&=2+5 \\ 7&=7 \end{array}$
- „Das Distributivgesetz gilt nicht für eine Subtraktion oder Division in der Klammer.“
$5 \cdot (6-3)=5 \cdot 6 - 5 \cdot 3= 30-15=15$
Ebenso könntest du rechnen:
$5 \cdot (6-3)=5 \cdot 3= 15$
$~$
Diese Aussagen sind richtig:
- „Das Kommutativgesetz gilt nicht für die Subtraktion und Division.“
- „Bei einer reinen Multiplikation können Klammern beliebig gesetzt werden.“
$\begin{array}{ll} 5 \cdot (2 \cdot 3)&=(2 \cdot 5) \cdot 3\\ 5 \cdot 6&=10 \cdot 3\\ 30&= 30 \end{array}$
- „Das Assoziativgesetz gilt nur für Addition und Multiplikation.“
-
Beschreibe die Verwendung des Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetzes.
TippsDas Kommutativgesetz gilt nicht für Subtraktion und Division.
Da:
$6-3=3$
aber:
$3-6=-3$
So funktioniert das Distributivgesetz, wenn eine Summe in der Klammer steht:
$(8+3)\cdot 2 = 8\cdot 2 + 3\cdot 2 =16+6=22$
Das Assoziativgesetz kann nicht bei der Division angewandt werden, da zum Beispiel:
$(36:6):3=6:3=2$
aber:
$36:(6:3)=36:2=18$
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Das Kommutativgesetz gilt für die Addition und Multiplikation. Es besagt, dass du die Reihenfolge der Summanden oder Faktoren vertauschen darfst. Also ist:
$6+3=3+6$ und
$6 \cdot 3=3 \cdot 6$“
- Achtung: Das gilt nicht für die Subtraktion und Division!
$(6+3)+2=6+(3+2)=6+3+2$ und:
$(6 \cdot 3) \cdot 2=6 \cdot( 3 \cdot 2)=6 \cdot 3 \cdot 2$“
- Beachte, dass dies nicht für Mischformen gilt. Kommen also zum Beispiel Multiplikation und Addition in einem Ausdruck gemeinsam vor, kannst du hier die Klammern nicht beliebig setzen.
$(8-2)\cdot 2 = 8\cdot 2-2\cdot 2=16-4=12$“
- Diesen Vorgang nennt man auch ausmultiplizieren.
-
Wende die Gesetze an.
TippsDie gelernten Gesetze können dir helfen zu erkennen, welche mathematischen Ausdrücke gleich sind. Mit dem Assoziativgesetz weißt du zum Beispiel, dass:
- $1+(3+4)=(1+3)+4=8$
LösungDu kannst die Rechnungen zuordnen, indem du gelernten Gesetze anwendest.
Hier kannst du das Assoziativgesetz anwenden (Klammern beliebig setzen):
- $2+(4+2)=(2+4)+2=8$
- $(2\cdot 2) \cdot 3=2\cdot (2 \cdot 3)=12$
- $2 \cdot (7-3)=2 \cdot 7- 3 \cdot 2=8$
- $2 \cdot (9-2)=2 \cdot 9-2 \cdot 2=14$
- $8+1+3=1+8+3=12$
- $7 \cdot 2=2\cdot 7=14$
-
Ermittle die Ergebnisse der Rechnungen.
TippsVerändere die Reihenfolge von Summanden, um deine Rechnung zu erleichtern.
LösungDu kannst die Rechnungen lösen, indem du sie mit den gelernten Gesetzen vereinfachst und anschließend berechnest.
In fast allen Rechnungen werden Klammern weggelassen (Assoziativgesetz), die Reihenfolge von Summanden vertauscht (Kommutativgesetz) und Faktoren vor einer Klammer einzeln mit den Ausdrücken in der Klammer multipliziert (Distributivgesetz). Rechts siehst du, welches Gesetz angewendet wurde. So erhältst du:
$\begin{array}{llr} 1 \cdot 2 + (3+6)-3+ 2 \cdot (6-3)&= 2+3+6-3+2 \cdot (6-3) &\| ~ \text{Assoziativgesetz} \\ &= 2+3+6-3+12-6 &\| ~ \text{Distributivgesetz}\\ &= 2+12+3-3+6-6 &\| ~ \text{Kommutativgesetz}\\ &=14 & \end{array}$
$\begin{array}{llr} 3 \cdot (2-3) + (3+9)+ 1 \cdot 2 \cdot 3&= 6-9+(3+9)+6&\| ~ \text{Distributivgesetz}\\ &= 6-9+3+9+6&\| ~ \text{Assoziativgesetz}\\ &= 6+6+9-9+3&\| ~ \text{Kommutativgesetz}\\ &=15 \end{array}$
$\begin{array}{llr} (6 \cdot 5) \cdot 3+1+9 -3 \cdot (3+5) &= 6 \cdot 5 \cdot 3+1+9-3 \cdot (3+5)&\| ~ \text{Assoziativgesetz}\\ &= 6 \cdot 5 \cdot 3+1+9-9-15&\| ~ \text{Distributivgesetz}\\ &= 90-15+1&\| ~ \text{Kommutativgesetz}\\ &=76 \end{array}$
$\begin{array}{llr} (1+2)+7+7 \cdot (3-1)&=1+2+7+7 \cdot (3-1) &\| ~ \text{Assoziativgesetz}\\ &=1+2+7+21-7 &\| ~ \text{Distributivgesetz}\\ &=1+21+2+7-7&\| ~ \text{Kommutativgesetz} \\ &=24 \end{array}$
-
Gib an, welches Gesetz angewandt werden kann.
TippsDas Kommutativgesetz gilt für die Addition und Multiplikation. Kommen diese Rechenarten alleine vor, kannst du die Reihenfolge der Summanden oder Faktoren vertauschen.
$\begin{array}{ccc} 1+2+3 &=& 1+3+2 \\ 6 &=& 6 \\ \\ \end{array}$
$\begin{array}{ccc} 2+1+3 &=& 2+3+1 \\ 6 &=& 6 \\ \\ \end{array}$
$\begin{array}{ccc} 3+1+2 &=& 3+2+1\\ 6 &=& 6 \end{array}$
Das Assoziativgesetz gilt ebenfalls für die Addition und Multiplikation. Wenn diese Rechenarten allein vorkommen, darfst du Klammern beliebig setzen oder weglassen.
$\begin{array}{ccccc} 1 \cdot (2 \cdot 3) &=& (1 \cdot 2) \cdot 3 &=& 1 \cdot 2 \cdot 3 \\ 1 \cdot 6 &=& 2 \cdot 3 &=& 2 \cdot 3 \\ 6 &=& 6 &=& 6 \end{array}$
LösungDas Kommutativgesetz gilt für die Addition und Multiplikation. Kommen diese Rechenarten alleine vor, kannst du die Reihenfolge der Summanden oder Faktoren vertauschen. Dieses Gesetz wurde hier angewandt:
- $63 \cdot 7 =7 \cdot 63$
- $6 \cdot 3 \cdot 2 =2 \cdot 3 \cdot 6$
- $73+(12+7)=73+12+7$
- $6+(3+2)=(6+3)+2$
- $3 \cdot (5-2)=3 \cdot 5 + 3 \cdot (-2)$
- $7 \cdot (60+3)=7 \cdot 60 + 7 \cdot 3$
- $6-3=3-6$
- $6 : 3=3 : 6$
-
Erschließe, wo die Gesetze richtig angewandt wurden.
TippsMit den drei Gesetzen kannst du die Rechnungen vereinfachen und lösen. Allerdings ist es nicht immer sinnvoll die Gesetze anzuwenden. Überlege dir, welcher Rechenweg am effizientesten ist.
LösungMit den drei Gesetzen kannst du die Rechnungen vereinfachen und lösen. Allerdings ist es nicht immer sinnvoll, die Gesetze anzuwenden. Überlege dir, welcher Rechenweg am effizientesten ist. Dann erhältst du, dass diese Rechnungen falsch sind:
- $13-9+(15+5)+3 \cdot (3-5) = 16$
$\begin{array}{llr} 13-9+(15+5)+3 \cdot (3-5) &=13-9+15+5+3 \cdot (3-5)&\| ~ \text{Assoziativgesetz} \\ &=13-9+15+5+9 -15 &\| ~ \text{Distributivgesetz} \\ &=13+5+15-15+9-9 &\| ~ \text{Kommutativgesetz} \\ &=18\\ \end{array}$
- $(8 \cdot 2 ) \cdot 5 + 82 + 7 + 18 + 7 \cdot (10-1)=240$
$\begin{array}{llr} (8 \cdot 2 ) \cdot 5 + 82 + 7 + 18 + 7 \cdot (10-1) &=8 \cdot 2 \cdot 5+ 82 + 7 + 18 +7 \cdot (10-1)&\| ~ \text{Assoziativgesetz} \\ &=8 \cdot 2 \cdot 5+ 82 + 7 + 18 +70-7 &\| ~ \text{Distributivgesetz} \\ &=8 \cdot 10+ 82 +18 + 7-7 +70 &\| ~ \text{Kommutativgesetz} \\ &=80+100+70\\ &=250\\ \end{array}$
Diese Rechnungen wurden korrekt gelöst:
$\begin{array}{ll} 100-90+(3 \cdot 2) \cdot 5 + 10 \cdot (15-10)&= 100-90+3 \cdot 2 \cdot 5 + 150-100\\ &= 100-100+150-90+3 \cdot 10 \\ &=150- 90+30 \\ &=90 \end{array}$
$\begin{array}{ll} 3 \cdot 3 \cdot 4 + 9 \cdot ( 4-2) + (18 + 1) +12&= 36 + 36-18 + 18 + 1 +12\\ &= 36 + 36+12+ 18-18 + 1 \\ &= 36 + 36+12 + 1 \\ &=85 \end{array}$
$\begin{array}{ll} 5 \cdot 3 \cdot 2 - 3 \cdot 5 \cdot 2 + 100 -10 + 9 \cdot (12 -22)&=5 \cdot 2\cdot 3 - 5 \cdot 2 \cdot 3 + 100 -10 + 9 \cdot (-10)\\ &=100-10-90\\ &=0 \end{array}$
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