Kommutativ- und Assoziativgesetz der Addition

Kommutativ- und Assoziativgesetz der Addition Übung

• Gib das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz der Addition an.

  Tipps

  Das Kommutativgesetz besagt, dass die Summanden bei der Addition vertauscht werden können.

  Das Assoziativgesetz besagt, dass bei mehreren Summanden die Reihenfolge, in welcher Zwischensummen berechnet werden, keine Rolle spielt.

  Beachte, dass Kommutativgesetz und Assoziativgesetz immer nur bei den gleichen Rechenzeichen $+$ und auch $\cdot$ gelten.

  Lösung

  Das Kommutativgesetz besagt, dass die Reihenfolge der Summanden einer Summe vertauscht werden kann. Es gilt also:

  $a+b=b+a$

  Dieses Gesetz gilt auch für die Multiplikation, aber nicht für die Subtraktion und Division.

  Besteht eine Summe aus mehr als zwei Summanden, so besagt das Assoziativgesetz, dass die Summanden beliebig zu Zwischensummen zusammengefasst werden können. Es macht also keinen Unterschied, ob man die Summe von links nach rechts ausrechnet, oder zunächst Zwischensummen weiter rechts im Term ausrechnet.

  Es gilt:

  $(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c$

  Dieses Gesetz gilt auch für die Multiplikation, allerdings nicht für die Subtraktion und Division.

• Ergänze die Gleichungen zum Kommutativgesetz.

  Tipps

  Das Kommutativgesetz besagt, dass die Reihenfolge zweier Summanden vertauschbar ist: $a+b=b+a$.

  Du kannst jeweils das Ergebnis ausrechnen und die Lücke so füllen, dass das gleiche Ergebnis herauskommt.

  Lösung

  Das Kommutativgesetz besagt, dass die Reihenfolge zweier Summanden vertauschbar ist. Es gilt also:

  • $a+b=b+a$

  Mit diesem Gesetz können wir die Summanden wie folgt vertauschen:

  • $17+4=21=4+17$
  • $23+35=58=35+23$
  • $5+4=9=4+5$
  • $2+6=8=6+2$
  • $42+3=3+42$
  • $18+19=19 +18$

• Prüfe die folgenden Aussagen zum Kommutativ- und Assoziativgesetz.

  Tipps

  Bei manchen Aussagen genügt es, ein Gegenbeispiel zu finden.

  Ein Minuszeichen vor einer Klammer dreht in der Klammer die Vorzeichen um:

  $3-(4-5)=3-4+5$.

  Lösung

  Kommutativgesetz

  Das Kommutativgesetz der Addition besagt, dass die Reihenfolge zweier Summanden vertauscht werden darf. Es gilt:

  • $a+b=b+a$

  Diese Aussage gilt auch für mehr als zwei Summanden.

  Das Kommutativgesetz gilt auch für die Multiplikation. Demnach ist:

  • $a\cdot b=b\cdot a$

  Allerdings gilt das Kommutativgesetz nicht für die Subtraktion und Division.

  Assoziativgesetz

  Das Assoziativgesetz der Addition besagt, dass die Addition nicht von links nach rechts durchgeführt werden muss, also gilt:

  • $(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c$

  Dieses Gesetz gilt auch für die Multiplikation:

  • $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)=a\cdot b\cdot c$

  Allerdings gilt es nicht für die Subtraktion und Division.

• Bestimme, ob das Kommutativ- oder Assoziativgesetz verwendet wurde.

  Tipps

  Wenn Summanden vertauscht werden, handelt es sich um das Kommutativgesetz.

  In einigen Rechnungen wurde weder das Kommutativ- noch das Assoziativgesetz verwendet. Diese Rechnungen sollst du nicht markieren.

  Lösung

  Die beiden Gesetze lauten wie folgt:

  • Kommutativgesetz: $~a+b=b+a$.
  • Assoziativgesetz: $~(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c$.

  Sie werden verwendet, um längere Rechnungen geschickter durchzuführen. Grundsätzlich kann bei Rechnungen, in welchen immer nur die Addition vorkommt, immer von links nach rechts gerechnet werden.

  Manchmal ist es geschickter, die einzelnen Summanden zu vertauschen oder Summanden zum Beispiel in der Mitte zu addieren. Wir schauen uns die Rechnungen im Einzelnen an:

  $12+23+8+17=12+8+23+17$

  • Hier wurden der zweite und dritte Summand vertauscht, also das Kommutativgesetz verwendet.

  $12+8+23+17=20+40=60$

  • Der erste und zweite sowie der dritte und vierte Summand werden addiert. Dies ist das Assoziativgesetz.

  $13+25+5=13+30=43$

  • Hier wurde nicht von links nach rechts addiert, sondern erst die Summe der letzten beiden Summanden berechnet, da sich so eine Zehnerzahl ergibt. Dies ist das Assoziativgesetz.

  $13+28+12+7=13+40+7$

  • Es werden zunächst der zweite und dritte Summand addiert. Dies ist das Assoziativgesetz.

  $13+40+7=13+7+40=60$

  • Es werden der zweite und dritte Summand vertauscht, das heißt, das Kommutativgesetz wurde angewendet:

  Bei den übrigen drei Rechnungen handelt es sich um folgende Regeln:

  • $2\cdot(3+4)=2\cdot 7~\rightarrow~$ zuerst die Klammer ausrechnen
  • $2\cdot3+4=6+4~\rightarrow~$ Punkt- vor Strichrechnung
  • $3\cdot(2+3)=6+9~\rightarrow~$ Distributivgesetz

• Nenne das verwendete Rechengesetz.

  Tipps

  Das Kommutativgesetz lautet: $a+b=b+a$.

  Das Assoziativgesetz lautet: $(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c$.

  Lösung

  Die Gesetze sind wie folgt definiert:

  • Kommutativgesetz: $~a+b=b+a$
  • Assoziativgesetz: $~(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c$

  Beim Assoziativgesetz sind ganz rechts die Klammern weggelassen, da es für das Ergebnis keine Rolle spielt, wie die Klammern gesetzt sind. Damit erhalten wir die folgenden Zuordnungen:

  • $(8+9)+1=8+(9+1) ~\rightarrow~$ Assoziativgesetz
  • $42+3=3+42 ~\rightarrow~$ Kommutativgesetz
  • $(2+3)+7=2+(3+7) ~\rightarrow~$ Assoziativgesetz

• Vervollständige die Rechnungen so, dass du mit dem Kommutativ- bzw. Assoziativgesetz Rechenvorteile hast.

  Tipps

  Das Kommutativgesetz lautet: $a+b=b+a$.

  Es ist auch auf mehr als zwei Summanden anwendbar.

  Das Assoziativgesetz lautet: $(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c$.

  Die beiden Gesetze können verwendet werden, um einfacher zu rechnen.

  Manchmal musst du auch nur von rechts nach links rechnen.

  Lösung

  Die beiden Gesetze,

  • das Kommutativgesetz $a+b=b+a$ sowie
  • das Assoziativgesetz $(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c$,

  können Rechnungen erleichtern durch geschicktes Vertauschen von Summanden und Addieren von Summanden zu ganzen Zehnern oder Hundertern.

  Beispiel 1

  Hier wird zunächst das Assoziativgesetz und dann das Kommutativgesetz verwendet. Zuletzt wird von links nach rechts addiert:

  $\begin{array}{lll} 12+27+23+8+4 &=& 12+50+8+4\\ &=& 12+8+50+4\\ &=& 20+50+4\\ &=& 70+4\\ &=& 74 \end{array}$

  Beispiel 2

  $234+45+66+25=234+66+45+25=300+70=370$

  Hier wurden zunächst der zweite und dritte Summand vertauscht (Kommutativgesetz) und dann die Summe des ersten und zweiten sowie dritten und vierten Summanden berechnet (Assoziativgesetz).

  Beispiel 3

  Hier wird das Kommutativgesetz zum Vertauschen des zweiten und dritten Summanden verwendet. Die Summe des ersten und zweiten sowie dritten und vierten Summanden werden nach dem Assoziativgesetz berechnet. Durch Vertauschen der Summanden $400$ und $40$ (Kommutativgesetz) kommt man zu dem vorletzten Schritt. Von da an wird von links nach rechts addiert:

  $\begin{array}{lll} 123+321+237+79+40 &=& 123+237+321+79+40\\ &=& 360+400+40\\ &=& 360+40+400\\ &=& 400+400\\ &=& 800 \end{array}$