Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Kleinstes gemeinsames Vielfaches Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zum Bestimmen von kleinsten gemeinsamen Vielfachen.

  Tipps

  Die Vielfachen einer Zahl werden durch Multiplikation mit allen existierenden natürlichen Zahlen bestimmt.

  Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier natürlicher Zahlen befindet sich zwischen der größeren Zahl und dem Produkt beider Zahlen.

  Beispiel: $\text{kgV}(25, 78)$ Das kleinste gemeinsame Vielfache ist eine Zahl zwischen $78$ und $25 \cdot 78$.

  Wir führen eine Primfaktorzerlegung durch:

  $25 = 5 \cdot 5 \\ 78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$.

  Anschließend multiplizieren wir alle vorkommenden Primfaktoren ($5 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 13$), woraus sich ergibt, dass das kleinste gemeinsame Vielfache von $25$ und $78$ dem Produkt der beiden Zahlen entspricht.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Die meisten Zahlen haben unendlich viele Vielfache. Es gibt jedoch auch von 0 verschiedene Zahlen, die nur eine endliche Anzahl an Vielfachen haben.“

  • Die Vielfache einer Zahl werden durch Multiplikation mit allen existierenden natürlichen Zahlen bestimmt. Da es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, hat jede Zahl auch unendlich viele Vielfache. Die Null ist in diesem Fall gesondert zu betrachten. Sie hat mathematisch gesehen ebenfalls unendlich viele Vielfache, da die Multiplikation mit null aber immer null ergibt, sind die Vielfache der Null alle null.

  „Das kleinste gemeinsame Vielfache kannst du immer durch Multiplikation der beiden Zahlen bestimmen.“

  • Das Produkt zweier Zahlen gibt die Obergrenze des kleinsten gemeinsamen Vielfachen an. Es ist jedoch nicht zwangsläufig das kleinste gemeinsame Vielfache.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Vielfache kannst du mit der Mengenschreibweise notieren.“

  • Da Vielfache eine Menge an Zahlen sind, kannst du hier die Mengennotation verwenden.

  „Um gemeinsame Vielfache von Zahlen zu bestimmen, kannst du die Vielfachen jeder Zahl aufschreiben und überprüfen, ob die beiden Zahlen gemeinsame Vielfache haben.“

  „Um das kleinste gemeinsame Vielfache zweier großer Zahlen zu bestimmen, kannst du eine Primfaktorzerlegung durchführen.“

  • Dies sind zwei Verfahren zum Bestimmen von kleinsten gemeinsamen Vielfachen.

• Beschreibe die Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen.

  Tipps

  Du kannst zum Beispiel prüfen, ob $36$ ein Vielfaches von $6$ ist, indem du $36$ durch $6$ teilst. Bekommst du eine natürliche Zahl als Ergebnis, ist es ein Vielfaches.

  Primfaktoren einer Zahl sind Primzahlen, die miteinander multipliziert diese Zahl ergeben.

  Primzahlen sind die Zahlen, die nur durch sich selbst und $1$ teilbar sind.

  Lösung

  So kannst du den Text vervollständigen:

  „(...)

  $V_9=\{9,18, 27,36, 45,54,...\}$“

  • Bei dieser Vorgehensweise schreiben wir nur die Vielfache einer der beiden Zahlen auf.

  „Danach überlegen wir der Reihe nach, ob diese Vielfache auch Vielfache von $6$ sind.

  $9$ ist kein Vielfaches von $6$.

  $18$ ist ein Vielfaches von $6$, denn:

  $6 \cdot 3=18$.“

  • Im Anschluss beginnen wir bei der kleinsten Zahl der Reihe und überlegen, ob sie ein Vielfaches der anderen Zahl (hier $6$) ist. Dazu teilen wir die Zahl der Reihe durch die andere Zahl und prüfen, ob eine ganze Zahl herauskommt.

  „Also gilt:

  $\text{kgV}(6,9)=18$.“

  „Als Nächstes wollen wir das kleinste gemeinsame Vielfache von $36$ und $75$ bestimmen. Dazu führen wir eine Primfaktorzerlegung durch. Für $36$ erhalten wir:

  $36=2\cdot 2\cdot 3 \cdot 3$.

  Für $75$ ergibt sich:

  $75=3\cdot 5 \cdot 5$.“

  • Primfaktoren einer Zahl sind Primzahlen, die miteinander multipliziert diese Zahl ergeben. Primzahlen sind die Zahlen, die nur durch sich selbst und $1$ teilbar sind.

  „Anschließend multiplizieren wir die Primfaktoren miteinander. Hier werden jedoch nicht alle Faktoren multipliziert. Es ergibt sich:

  $2\cdot 2 \cdot 3\cdot 3\cdot 5 \cdot 5$.“

  • Bei Faktoren, die in beiden Zahlen vorkommen, multiplizieren wir nur die größere Anzahl an Faktoren. Hier kommt der Faktor $3$ in beiden Zahlen vor. In $36$ steckt er zweimal, in $75$ nur einmal. Deshalb multiplizieren wir hier zweimal mit $3$.

  “Damit erhalten wir als kleinstes gemeinsames Vielfaches:

  $\text{kgV}(36,75)=900$.“

• Ermittle die kleinsten gemeinsamen Vielfache.

  Tipps

  Du kannst das kleinste gemeinsame Vielfache zum Beispiel durch Primfaktorzerlegung bestimmen. Dabei teilst du die Zahl in Faktoren auf, die Primzahlen sind. Primzahlen sind die Zahlen größer als $1$, die nur durch sich selbst und $1$ teilbar sind.

  Für $4$ und $14$ kannst du so in Primfaktoren zerlegen:

  $4=2 \cdot2$ und $14=7 \cdot 2$.

  Für das $\text{kgV}$ multiplizierst du alle Primfaktoren, wobei du die Primfaktoren, die in beiden Zahlen vorkommen, nicht doppelt multiplizierst.

  Lösung

  Hier bestimmen wir den kleinsten gemeinsamen Nenner durch Primfaktorzerlegung. Dabei teilen wir die Zahl in Faktoren auf, die Primzahlen sind. Primzahlen sind die Zahlen, die nur durch sich selbst und $1$ teilbar sind.

  Nach der Zerlegung multiplizieren wir die Faktoren miteinander. Bei Faktoren, die in beiden Zahlen vorkommen, multiplizieren wir nur die größere Anzahl an Faktoren.

  Für die ersten beiden Zahlen erhalten wir:

  $4=2\cdot 2$ und $5$ ist bereits eine Primzahl. Also ergibt sich:

  • $\text{kgV}(4,5)=2\cdot 2 \cdot 5=20$.

  Für $10$ und $5$ ergibt sich:

  $10=5\cdot 2$ und $5$ ist bereits eine Primzahl. Also ist:

  • $\text{kgV}(10,5)=5\cdot 2=10$.

  Für $10$ und $12$ erhalten wir:

  $10=2 \cdot 5$ und $12=3 \cdot 2 \cdot 2$. Der Faktor $2$ kommt in beiden Primfaktorzerlegungen vor. Allerdings multiplizieren wir bei Faktoren, die in beiden Zahlen vorkommen, nur die größere Anzahl an Faktoren. In $12$ steckt der Faktor $2$ zweimal, in $10$ nur einmal. Deshalb multiplizieren wir hier zweimal mit $2$.

  • $\text{kgV}(10,12)=5\cdot 2 \cdot 2 \cdot 3=60$

  Für $5$ und $8$ erhalten wir:

  $\text{kgV}(5,8)=5\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=40 $.

• Entscheide, ob dies die kleinsten gemeinsamen Vielfache sind.

  Tipps

  Bei der Primfaktorzerlegung der Zahlen $10$ und $12$ kommt ein Faktor in beiden Zahlen vor.

  $10=2\cdot5$ und $12=6\cdot 2$

  Dieser wird bei der Rechnung nur einmal multipliziert,

  also $ \text{kgV}(10, 12) =60$.

  Lösung

  Zerlege die Zahlen in ihre Primfaktoren und multipliziere diese anschließend. Bei Faktoren, die in beiden Zahlen vorkommen, multiplizieren wir nur die größere Anzahl an Faktoren. Bei $10$ und $14$ kommt beispielsweise der Faktor $2$ in beiden Zerlegungen vor. In $10$ steckt er einmal und in $14$ ebenfalls einmal. Deshalb multiplizieren wir hier einmal mit $2$.

  Diese Rechnungen sind falsch:

  „$\text{kgV}(8, 9) = 80$“.

  • Die Primfaktorzerlegung ergibt: $8=2\cdot 2 \cdot 2$ und $9=3\cdot 3$. Damit erhalten wir: $\text{kgV}(8, 9) = 2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\cdot 3= 72$.

  „$ \text{kgV}(10, 14) =140$“

  • Hier erhalten wir: $10=2\cdot5$ und $14=7\cdot 2$. Damit erhalten wir: $\text{kgV}(10, 14) = 2\cdot 5 \cdot 7= 70$.

  Diese Rechnungen sind richtig:

  „$ \text{kgV}(6, 7) =3 \cdot 2 \cdot 7= 42$“

  „$\text{kgV}(12, 20) = 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 60$“

  „$\text{kgV}(13, 15) = 13 \cdot 5 \cdot 3= 195$“

• Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache.

  Tipps

  Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu bestimmen, müssen wir hier die Vielfachenmengen zunächst aufschreiben.

  Die Vielfachen einer Zahl bestimmst du, indem du nacheinander mit allen natürlichen Zahlen multiplizierst. Die Vielfachenmenge der $4$ sieht zum Beispiel so aus:

  $\text{V}_4=\{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...\}$.

  Lösung

  So kannst du den Text vervollständigen:

  „Zuerst bestimmen wir die Vielfache von $2$. Diese lauten:

  $\text{V}_2=\{2, 4, 6, 8, 10,12,...\}$.

  Die Vielfache von $3$ lauten:

  $\text{V}_3=\{3, 6, 9, 12, 15,18,...\}$.“

  • Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu bestimmen, müssen wir hier die Vielfachenmengen zunächst aufschreiben.

  „Die Zahlen $6$ und $12$ kommen in beiden Zahlenreihen vor. Also schreiben wir:

  $\text{kgV}(2,3)=6$.“

  • Anschließend überlegen wir, welche Zahlen in beiden Reihen vorkommen und wählen die kleinste dieser Zahlen aus. Sie ist das kleinste gemeinsame Vielfache.

• Entscheide, ob du den ggT oder das kgV zur Lösung der Textaufgabe benötigst.

  Tipps

  Gibt es keinen Primfaktor, der beide Zahlen teilt, ist der $\text{ggT}=1$.

  Gibt es nur einen Primfaktor, der beide Zahlen teilt, entspricht der $\text{ggT}$ genau diesem.

  Gibt es mindestens zwei Primfaktoren, die beide Zahlen teilen, ist der $\text{ggT}$ das Produkt aller dieser.

  Hier ein Beispiel für die Berechnung von $\text{ggT}(115,322)$.

  $115=23\cdot 5$

  $322=23\cdot 7 \cdot 2$

  Damit ist $\text{ggT}(115,322)=23$.

  Das kleinste gemeinsame Vielfache ($\text{kgV}$) benutzt du, wenn du etwas vervielfältigen musst.

  Den größten gemeinsamen Teiler ($\text{ggT}$) benutzt du, wenn du etwas aufteilen möchtest.

  Lösung

  Aufgabenteil 1

  Für die Kistenstapel in Maries Zimmer müssen wir das $\text{kgV}(8,54)$ berechnen.

  Die Primfaktorzerlegungen sehen wie folgt aus:

  $8=2\cdot 2\cdot 2$ und

  $54=3\cdot 3\cdot 3\cdot 2$.

  Damit ist das $\text{kgV}(8,54)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3=216$.

  Die Stapel haben also das erste Mal bei $216~ \text{cm}= 2,16~\text{m}$ die gleiche Höhe. Da dies kleiner ist als $2,35~\text{m}$, kann Marie die Türme so stapeln.

  Aufgabenteil 2

  Für Lukas Bastelprojekt müssen wir den größten gemeinsamen Teiler von $187~ \text{cm}$ und $272~ \text{cm}$ bestimmen, also kurz $\text{ggT}(187,272)$. Auch hier schauen wir uns die Primfaktorzerlegung an:

  $187=17\cdot 11$ und

  $272=17\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2$.

  Daher ist der $\text{ggT}(187,272)=17$ und die Stoffbahnen sind jeweils $17~ \text{cm}$ lang.

  Aufgabenteil 3

  Für die Busse benötigen wir erneut das kleinste gemeinsame Vielfache. Diesmal müssen wir das $\text{kgV}$ der beiden Zeitabstände berechnen. Dafür betrachten wir zunächst die Primfaktorzerlegung:

  $7 = 7$ und

  $20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$.

  $\text{kgV}(7,20)= 7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 140$

  Nach $140~\text{min} ~\hat{=}~2 ~\text{h}~20~\text{min}$ fahren sie also wieder zum gleichen Zeitpunkt los.

  Das ist um $7:48 ~\text{Uhr}$.