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Hypothesentest – Erklärung

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Hypothesentest – Erklärung
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Hypothesentest – Erklärung

Eine Hypothese ist eine Vermutung. Man vermutet, wie wahrscheinlich ein Ereignis eines Zufallsversuchs ist. Zum Beispiel könnte man vermuten, die Wahrscheinlichkeit für das Würfeln einer 1 sei 1/6. Um diese Hypothese zu testen, kann man mehrmals Würfeln und beobachten, ob die Häufigkeit des Würfelns einer 1 mit der vermuteten Wahrscheinlichkeit übereinstimmt.

Transkript Hypothesentest – Erklärung

Hallo! Was ist ein Hypothesentest? Das ist unsere Frage. Nehmen wir mal ein Beispiel. Das ist ein Knautschwürfel, wir können damit würfeln und die Augenzahl 1 hat eine bestimmte Wahrscheinlichkeit. Ob die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl 1=1/6 ist, können wir testen, indem wir mehrmals würfeln und beobachten, ob die Anzahl der gewürfelten Einsen mit der Wahrscheinlichkeit von 1/6 zusammenpasst. Allgemein braucht man für einen Hypothesentest einen Zufallsversuch. Bei uns ist es das einmalige Würfeln. Dann brauchen wir ein Ereignis E, z. B. das Ereignis "Die 1 wird gewürfelt". Und wir brauchen eine Hypothese, das ist eine Vermutung. Und wir vermuten, das die Wahrscheinlichkeit des Ereignis P(E)=P0 ist. Das nennt sich H0 Hypothese und man schreibt H0:P=P0. Es gibt auch Hypothesen, da vermutet man, das die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis mindestens so groß ist wie P0. Und man schreibt H0:P?P0. Oder man vermutet, dass die Wahrscheinlichkeit höchstens so groß ist wie P0. Und man schreibt H0:P?P0. Wenn wir nun mehrmals würfeln, um festzustellen, ob die Häufigkeit der Einsen, der Wahrscheinlichkeit von 1/6 entspricht, müssen wir uns erst überlegen mit wie vielen Einsen wir rechnen können, falls unsere Vermutung richtig ist. Dabei interessiert uns nur, ob die 1 fällt oder nicht. Wir versuchen also einen Bernoulliversuch mit der Wahrscheinlichkeit P0 für das Ereignis E und der Wahrscheinlichkeit 1-P für das Gegenereignis. Wenn wir mehrmals würfeln, entsteht eine Bernoullikette, die allgemein n Stufen hat. Beim Würfeln würden wir die Anzahl der gewürfelten Einsen zählen und allgemein brauchen wir eine Zufallsgröße, die zählt, wie oft das Ereignis E eintritt. Diese Zufallsgröße ist binomial verteilt. Und rein zufällig habe ich hier mal ein Diagramm einer Binomialverteilung ausgedruckt. Für den Fall, dass wir 60× würfeln und die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 1=1/6 ist. Nun müssen wir uns noch überlegen, bei welchen Anzahlen der gewürfelten Einsen, wir die Hypothese annehmen. Das heißt, wir überlegen uns, was unser Annahmebereich ist. Und damit wissen wir auch, was unser Ablehnbereich ist. Hier beim Würfeln besteht dieser Ablehnbereich aus 2 Teilen. Denn wir würden unsere Hypothese verwerfen, wenn wir besonders wenige Einsen gewürfelt hätten oder auch, wenn wir besonders viele Einsen gewürfelt hätten. Allgemein hat man also immer einen Annahmebereich und einen Ablehnbereich, der eben auch aus 2 Teilen bestehen kann. Man legt diese Grenzen normalerweise fest, indem man sagt, wie viel Wahrscheinlichkeit im Ablehnbereich höchstens sein soll. Und diese Wahrscheinlichkeit ist das Signifikanzniveau ?. Häufig legt man ?=5 % fest, manchmal auch 1 % oder 10 %. Warum das so ist, kann man begründen, das kommt aber in einem anderen Film. Wenn ?=5 % ist, dann bedeutet das, dass die Wahrscheinlichkeit hier höchstens 2,5 % ist und hier ebenfalls höchstens 2,5 %. Woraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit im Annahmebereich mindestens 95 % ist. Für unser Würfelbeispiel bedeutet das, dass wir bei einem mindestens 95 % Annahmebereich die Hypothese annehmen, falls zwischen 4 und 16 Einsen gewürfelt werden. Und das ist auch das, was in vielen Anwendungsaufgaben gefragt ist. Nämlich den Annahmebereich zahlenmäßig genau zu bestimmen. Wenn die Hypothese lautet: Die Wahrscheinlichkeit P für das Ereignis E sei mindestens so groß wie P0, lehnen wir die Hypothese ab, falls das Ereignis nicht so häufig auftritt. Und falls wir vermuten, dass die Wahrscheinlichkeit höchstens so groß ist wie P0, liegt der Ablehnbereich am oberen Ende der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Viel Spaß damit, tschüss.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. P0 ist die Wahrscheinlichkeit für die Nullhypothese

    Von Nine09100 1, vor mehr als 7 Jahren
  2. Super Video. Aber ich versteh nicht was p0 heisst. Bedeutet das, dass man vermutet, dass die Wahrscheinlichkeit 0-mal auftritt?

    Von E Rauschecker, vor mehr als 8 Jahren

Hypothesentest – Erklärung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Hypothesentest – Erklärung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was ein Hypothesentest ist.

    Tipps

    Man spricht von Zufall, wenn man nicht vorhersagen kann, welches Ergebnis bei einem Versuch eintritt.

    Die Menge aller Ergebnisse wird als Ergebnismenge bezeichnet. Jede Teilmenge dieser Ergebnismenge ist ein Ereignis.

    Man könnte zum Beispiel auch behaupten, dass $52 ~\%$ aller Bewohner einer Stadt männlich sind und diese Aussage anhand einer Stichprobe prüfen. Dies ist ein Hypothesentest.

    Lösung

    Was ist ein Hypothesentest?

    Zum Beispiel kann man mit einem Würfel würfeln und beobachten, ob die Wahrscheinlichkeit $p=\frac16$ auch mit der Anzahl der gewürfelten Einsen zusammenpasst.

    Man benötigt

    • einen Zufallsversuch, zum Beispiel das Würfeln,
    • ein Ereignis, in diesem Beispiel $E=\{1\}$, sowie
    • eine Hypothese.
    Eine Hypothese ist eine Behauptung. In diesem Beispiel könnte diese lauten, dass die Wahrscheinlichkeit des Eregnisses gerade $p_0$ ist. Wir schreiben dann:

    $H_0:~p=p_0$,

    die sogenannte Nullhypothese.

  • Bestimme den Annahme- sowie den Ablehnbereich.

    Tipps

    Wenn du in der Binomialverteilung alle zu $k=0$, ..., $k=n$ gehörenden Wahrscheinlichkeiten addierst, erhältst du genau $1$, also $100~\%$.

    Die höchste Wahrscheinlichkeit liegt dort, wo der Erwartungswert ist. Dieser ist in dem Beispiel $\mu=\frac16\cdot 60=10$.

    Links und rechts werden die Wahrscheinlichkeiten immer kleiner.

    Je näher man an $k=0$ oder $k=n$ kommt, umso kleiner werden die Wahrscheinlichkeiten.

    Lösung

    Der rote Bereich ist der Ablehnbereich. Dieser besteht hier aus zwei Teilbereichen:

    • dem Bereich von $k=0$ bis zur linken vertikalen Grenze sowie
    • dem von der rechten vertikalen Grenze bis zu $k=n$.
    Der grüne Bereich ist der Annahmebereich. Dieser liegt zwischen den beiden vertikalen Bereichen.

    Für alle Werte für $k$ in diesem Bereich wird die Hypothese bestätigt, für alle anderen verworfen.

    In dem roten Bereich, dem Ablehnbereich, sollen höchstens $5 ~\%$ (dies ist das sogenannte Signifikanzniveau) Wahrscheinlichkeit liegen.

  • Stelle die zugehörige Nullhypothese auf.

    Tipps

    Es soll eine Nullhypothese aufgestellt werden. Das bedeutet, es soll nachgewiesen werden, dass eine bestimmte Wahrscheinlichkeit angenommen wird.

    Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich nach der Laplace-Regel:

    Die Anzahl der günstigen Ergebnisse wird durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse dividiert.

    Für eine Hypothese benötigt man einen Zufallsversuch, ein Ereignis und eine Hypothese.

    Lösung

    Für eine Hypothese benötigt man einen Zufallsversuch, ein Ereignis und eine Hypothese:

    • Der Zufallsversuch ist das Ziehen einer Kugel aus einer Urne.
    • Das Ereignis lautet: Die gezogene Kugel ist rot, mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit $p_0=\frac2{10}=0,2$. Hierfür dividiert man die Anzahl der vorhandenen roten Kugeln durch die Anzahl aller Kugeln.
    Nun kann die Hypothese aufgestellt werden:

    $H_0:~p=p_0$.

    Es wird also geprüft, ob die vorgegebene Wahrscheinlichkeit tatsächlich vorliegt. Oder, anders ausgedrückt, ob sich tatsächlich zwei rote Kugeln in der Urne befinden.

  • Bestimme den Annahme- sowie den Ablehnbereich.

    Tipps

    Es wird überprüft, dass die Wahrscheinlichkeit gleich $p_0=0,2$ ist.

    Hier siehst du die zugehörige Binomialverteilung.

    Bestimme, von links $k=0$ sowie von rechts $k=10$ ausgehend, die Summe der Wahrscheinlichkeiten, solange diese noch unterhalb der Hälfte des Signifikanzniveaus liegen.

    Beachte, dass bereits $P(X=0)=10,74 ~\%$ beträgt.

    Du musst somit die Wahrscheinlichkeiten von rechts $k=10$ ausgehend summieren, solange diese unterhalb des Signifikanzniveaus liegen.

    Lösung

    Um die Hypothese $H_0:~p=0,2$ anzunehmen, also zu bestätigen, müssten, von $k=0$ ausgehend, alle Häufigkeiten betrachtet werden, bis die entsprechende kumulierte Wahrscheinlichkeit $2,5~\%$, die Hälfte des Signifikanzniveaus überschreitet. Da bereits $P(X=0)=10,74~\%$ ist, gibt es keinen linken Ablehnbereich.

    Somit muss die kumulierte Wahrscheinlichkeit für den rechten Ablehnbereich kleiner als $5 ~\%$ sein. Wenn man die Wahrscheinlichkeiten von $k=5$ bis $k=10$ summiert, erhält man etwa $0,0328=3,28~\%$. Durch Addition der Wahrscheinlichkeit für $k=4$ gelangt man zu $0,1209=12,09~\%$. Dies ist größer als das Signifikanzniveau.

    Damit liegt der Ablehnbereich in dem Intervall $[5;10]$ und der Annahmebereich in dem Intervall $[0;4]$.

  • Gib an, wie Annahme- sowie Ablehnbereich bei weiteren Hypothesen aussehen können.

    Tipps

    Sei die Nullhypothese $H_0:~p=p_0$ gegeben, so liegt der Annahmebereich zwischen den beiden Grenzen. Der Ablehnbereich besteht aus den beiden Bereichen links der linken und rechts der rechten vertikalen Grenze.

    Der Annahmebereich wird bei den beiden obigen Hypothesen größer.

    Bei „höchstens“ liegt der Ablehnbereich am oberen Ende und bei „mindestens“ am unteren Ende.

    Lösung

    Neben der Nullhypothese, dass eine gegebene Wahrscheinlichkeit vorliegt, kann man auch weitere Hypothesen aufstellen.

    Die Hypothese könnte auch lauten, dass die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses höchstens so groß ist wie eine gegebene Wahrscheinlichkeit, also $H_0:~p\le p_0$.

    Der entsprechende Ablehnbereich ist hier gelb markiert: Er befindet sich in dem Bereich von der rechten vertikalen Grenze bis zu $k=n$. Der Annahmebereich liegt dann von $k=0$ bis zu der rechten vertikalen Grenze.

    Ebenso könnte dieses Behauptung mit „mindestens so groß“ aufgestellt werden: $H_0:~p\ge p_0$. Der zugehörige Ablehnbereich ist hier rot markiert: Er befindet sich in dem Bereich von $k=0$ bis zur linken vertikalen Grenze. Der Annahmebereich geht von dieser linken Grenze bis zu $k=n$.

  • Prüfe die folgenden Aussagen.

    Tipps

    Der Erwartungswert einer Binomialverteilung ergibt sich wie folgt:

    $\mu=n\cdot p$.

    Dabei ist $n$ die Länge der Bernoullikette und $p$ die Trefferwahrscheinlichkeit.

    Die Punktwahrscheinlichkeit ist für den Erwartungswert am größten.

    Die vertikalen Grenzen gehören zum Annahmebereich dazu.

    Lösung

    In einem Hypothesentest wird eine Hypothese getestet. Was ist eine Hypothese?

    Eine Hypothese ist eine Vermutung über die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses eines Zufallsversuchs.

    Es wird also geprüft, ob eine Wahrscheinlichkeit gültig ist. Dies geschieht, indem das Experiment einige Male ($n$ mal) durchgeführt wird. So erhält man eine Bernoullikette der Länge $n$. Über kumulierte Wahrscheinlichkeiten werden dann Bereiche bestimmt, innerhalb derer die Hypothese bestätigt (Annahmebereich) oder verworfen (Ablehnbereich) wird.

    In dem nebenstehenden Beispiel ist zu erkennen, dass der Annahmebereich auch durchaus bei $k=0$ starten kann. Dies bedeutet, dass es nicht immer einen linken und einen rechten Ablehnbereich geben muss.

    Da die Summe aller Werte in den Ablehnbereichen nicht größer als das Signifikanzniveau sein darf, bedeutet dies, dass man zunächst links und rechts diese Eigenschaft mit der Hälfte des Signifikanzniveaus prüft.

    Liegt entweder kein linker oder kein rechter Ablehnbereich vor, darf in dem entsprechend vorliegenden Bereich die Summe der Wahrscheinlichkeiten nicht größer als das Signifikanzniveau sein.

    Der Erwartungswert einer Binomialverteilung berechnet sich wie folgt: $\mu=n\cdot p$. Für diesen Wert wird die größte Punktwahrscheinlichkeit angenommen. Damit folgt dann auch, dass durch Addition der „umliegenden“ Wahrscheinlichkeiten die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten irgendwann größer oder gleich $1-\alpha$ ($\alpha$ ist das Signifikanzniveau) wird. Das bedeutet, dass der Erwartungswert immer im Annahmebereich liegt.

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