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Gleichsetzungsverfahren – Aufgabe 4

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Gleichsetzungsverfahren – Aufgabe 4
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Gleichsetzungsverfahren – Aufgabe 4

In diesem Video lösen wir zur Übung des Gleichsetzungsverfahren ein lineares Gleichungssystem, das aus folgenden Gleichengen besteht: y+1=2x y=x+3 Da eine der beiden Ausgangsgleichungen schon nach y umgestellt ist, bietet es sich an, auch die andere Gleichung nach y umzustellen. Man kann zwar auch beide Gleichungen nach x umstellen und dann das Gleichsetzungsverfahren anwenden, aber in der Mathematik - wie auch in vielen anderen Bereichen des Lebens - gilt: Wenn man sich die Sache einfach machen kann, dann mach man das auch.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. sehr gut ...wie immer.

    Von sea shepherd p., vor mehr als einem Jahr
  2. vielen dank

    Von Mattern Maksim, vor mehr als einem Jahr

Gleichsetzungsverfahren – Aufgabe 4 Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gleichsetzungsverfahren – Aufgabe 4 kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib das nach $y$ umgestellte Gleichungssystem und die sich ergebende Gleichung an.

    Tipps

    Du musst nur die obere der beiden Gleichungen umformen.

    Verwende hierfür die Umkehraufgabe. Die Umkehraufgabe zur Addition ist die Subtraktion und umgekehrt.

    Schaue dir ein Beispiel für eine solche Umformung an.

    $\begin{array}{lrclll} &y+3&=&3x-1&|&-3\\ \Leftrightarrow&y&=&3x-4 \end{array}$

    Lösung

    Natürlich kannst du dir in jedem Gleichungssystem aussuchen, zu welcher Unbekannten du die Gleichungen umstellst.

    Oft ist aber ein Weg geschickter als der andere.

    Hier steht $y$ bereits alleine. Deshalb formst du auch die obere Gleichung nach $y$ um. Hierfür subtrahierst du $1$ auf beiden Seiten.

    $\left|\begin{array}{rcl} y&=&2x-1\\ y&=&x+3 \end{array}\right|$

    Nun stimmen die linken Seiten der beiden Gleichungen überein. Das bedeutet, dass du nun auch die beiden rechten Seiten gleichsetzen darfst. Deshalb heißt das Verfahren auch Gleichsetzungsverfahren. So erhältst du eine Gleichung, welche nur noch von $x$ abhängt.

    $2x-1=x+3$

  • Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.

    Tipps

    Beachte, dass ein Lösungspaar $(x|y)$ gesucht ist. Links steht der Wert für $x$ und rechts der für $y$.

    Schaue dir ein Beispiel zur Lösung einer Gleichung an.

    $\begin{array}{lrclll} &2x+3&=&5&|&-3\\ \Leftrightarrow&2x&=&2&|&:2\\ \Leftrightarrow&x&=&1 \end{array}$

    In der letzten Gleichung kannst du die Lösung $x=1$ ablesen.

    Hier siehst du ein Beispiel, wie eine bekannte Lösung eingesetzt werden kann, um die andere Lösung zu erhalten:

    • Sei $x=2$.
    • Sei $x+y=5$.
    Dann folgt $2+y=5$. Subtraktion von $2$ führt zu $y=3$.

    Die Lösungsmenge ist dann $\mathbb{L}=\{(2|3)\}$.

    Lösung

    Auf dem Bild siehst du ein Gleichungssystem. Durch Umformen nach $y$ erhältst du folgendes Gleichungssystem:

    $\left|\begin{array}{rcl} y&=&2x-1\\ y&=&x+3 \end{array}\right|$

    Da die beiden linken Seiten gleich sind, müssen auch die rechten Seiten gleich sein. Es folgt also die Gleichung $2x-1=x+3$, in welcher nur noch $x$ vorkommt. Forme diese Gleichung nun nach $x$ um.

    $\begin{array}{lrclll} &2x-1&=&x+3&|&-x\\ \Leftrightarrow&x-1&=&3&|&+1\\ \Leftrightarrow&x&=&4 \end{array}$

    Nun kannst du die Lösung für $x=4$ ablesen. Es fehlt noch die Lösung für $y$. Hierfür setzt du $x=4$ in einer der beiden Ausgangsgleichungen ein. Wir setzen hier zum Beispiel in die untere, $y=x+3$, ein und erhalten $y=4+3=7$.

    Die Lösungsmenge des Gleichungssystem ist somit $\mathbb{L}=\{(4|7)\}$.

    Wir führen abschließend noch eine Probe durch.

    • $7+1=8=2\cdot 4$ ✓
    • $7=4+3$ ✓
  • Prüfe die Gleichheit der Lösungen für $x$ und $y$.

    Tipps

    Du formst nach einer der beiden Unbekannten um, indem du Umkehraufgaben anwendest.

    Bei der Umformung nach $y$ musst du bei der oberen Gleichung $3$ subtrahieren.

    Wenn du nach $x$ umformst, musst du

    • in der oberen Gleichung durch $3$ dividieren und
    • in der unteren Gleichung $5$ addieren.
    Lösung

    Ist es egal, nach welcher der beiden Unbekannten umgeformt wird? Oder hängt die Lösungsmenge von der Umformung ab?

    Es ist tatsächlich egal, nach welcher der Unbekannten du umformst. Dennoch ist es ratsam, sich erst einmal die Gleichungen anzuschauen. Vielleicht steht eine der Unbekannte bereits in einer der Gleichungen alleine. Dann musst du noch die andere Gleichung nach dieser Unbekannten umformen.

    Hinweis: Auch wenn das nicht der Fall ist, gibt es oft geschickte und nicht so geschickte Wege.

    Umformung nach $y$

    In diesem Gleichungssystem steht in der unteren Gleichung $y$ bereits alleine. Subtrahiere in der oberen Gleichung $3$. Dann erhältst du das folgende Gleichungssystem:

    $\left|\begin{array}{rcl} y&=&3x-3\\ y&=&x-5 \end{array}\right|$

    Gleichsetzen der beiden rechten Seiten führt zu der Gleichung $3x-3=x-5$, in welcher nur noch $x$ vorkommt.

    • Subtrahiere $x$. So erhältst du $2x-3=-5$.
    • Addiere $3$ und du erhältst $2x=-2$.
    • Zuletzt dividierst du durch $2$ und erhältst $x=-1$.
    Setze nun diesen Wert für $x$ in der unteren Gleichung ein: $y=-1-5=-6$. Die Lösungsmenge ist damit $\mathbb{L}=\{(-1|-6)\}$.

    Hinweis: Du kannst den Wert für $x$ auch in der oberen Gleichung einsetzen. Auch hier gilt: Oft ist ein Weg geschickter, es sind aber beide möglich.

    Umformung nach $x$

    Nun schauen wir uns einmal an, was passiert, wenn nach $x$ umgeformt wird. Dieser Weg ist sicher nicht ratsam, weil er umständlicher ist.

    Dividiere die obere der beiden Gleichungen durch $3$ und addiere in der unteren $5$.

    $\left|\begin{array}{rcl} \frac13y+1&=&x\\ y+5&=&x \end{array}\right|$

    Du musst also die Gleichung $\frac13y+1=y+5$ lösen.

    $\begin{array}{lrclll} &\frac13y+1&=&y+5&|&-y\\ \Leftrightarrow&-\frac23 y+1&=&5&|&-1\\ \Leftrightarrow&-\frac23y&=&4&|&:\left(-\frac23\right)\\ \Leftrightarrow&y&=&-6 \end{array}$

    Damit ergibt sich durch Einsetzen in die untere Gleichung $-6=x-5$. Addition von $5$ führt zu $x=-1$. Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{(-1|-6)\}$.

    Du siehst, die Lösungsmenge ändert sich nicht. Du wirst jedoch zustimmen, dass die Variante der Umformung nach $x$ umfangreicher ist.

  • Wende das Gleichsetzungsverfahren an, um das Gleichungssystem zu lösen.

    Tipps

    In beiden Gleichungen taucht $2x$ auf der einen Seite auf. Welche Rechnung lässt $2x$ in der oberen Gleichung alleine stehen?

    Hier siehst du, wie du eine Gleichung mit einer Unbekannten umformen kannst.

    $\begin{array}{lrclll} &2x&=&4&|&:2\\ \Leftrightarrow&\frac{2x}2&=&\frac{4}2&|&\text{T}\\ \Leftrightarrow&x&=&2 \end{array}$

    „$\text{T}$“ steht für Termumformung.

    Sobald du den Wert für eine Variable gefunden hast, setzt du diesen in eine der Ausgangsgleichungen ein. So erhältst du die andere Variable.

    Sei beispielsweise $x=3$ schon ausgerechnet und du hast $y+x = 4$. Dann ergibt sich durch Einsetzen $y + 3 = 4 \Leftrightarrow y = 1$.

    Lösung

    In diesem Gleichungssystem steht in der unteren Gleichung $2x$ alleine. Egal, ob du nach $x$ oder $y$ umformst, du würdest mit Brüchen weiter rechnen müssen.

    Du musst nicht unbedingt nach einer der beiden Unbekannten umformen. Du kannst auch nach einem Vielfachen einer Unbekannten umformen. Dadurch vermeidest du das Rechnen mit Brüchen.

    Subtrahiere in der oberen Gleichung $3$. Du erhältst:

    $\left|\begin{array}{rcl} 2x&=&y-4\\ 2x&=&3y \end{array}\right|$

    Dieses Mal steht jeweils auf der linken Seite $2x$. Das bedeutet, dass die jeweils rechten Seiten auch übereinstimmen müssen. Diese werden nun gleichgesetzt: $y-4=3y$.

    $\begin{array}{lrclll} &y-4&=&3y&|&-y\\ \Leftrightarrow&-4&=&2y&|&:2\\ \Leftrightarrow&-2&=&y \end{array}$

    Nun kannst du die Lösung für $y=-2$ ablesen. Es bleibt noch die Lösung für $x$. Hierfür setzt du $y=-2$ in die untere der beiden Ausgangsgleichungen ein. (Es ist tatsächlich egal, in welche der beiden Gleichungen du $y$ einsetzt. Du erhältst jedes Mal den gleichen Wert für $x$.)

    Einsetzen führt zu $2x=3\cdot (-2)=-6$.

    Dividiere nun noch durch $2$. Dies führt zu $x=-3$.

    Damit ist das Lösungspaar gefunden und die Lösungsmenge kann angegeben werden:

    $\mathbb{L}=\{(-3|-2)\}$.

  • Gib die Variable an, nach der das Gleichungssystem geschickt umgestellt wird.

    Tipps

    Als geschickter bezeichnet man Umstellungen, die weniger Rechenschritte benötigen.

    Schaue dir eine mögliche Umformung für das obige Gleichungssystem an:

    $\left|\begin{array}{rcl} y&=&2x-1\\ y&=&x+3 \end{array}\right|$

    Für diese Umformung war nur ein Rechenschritt notwendig. Hätten wir uns dafür entschieden, beide Gleichungen nach $x$ umzustellen, hätte das mehr Arbeit gemacht.

    Lösung

    Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei (oder mehr) Gleichungen mit verschiedenen Unbekannten. Gesucht sind Werte für diese Unbekannte, so dass alle Gleichungen erfüllt sind.

    Es gibt verschiedene Lösungsverfahren. Das Gleichsetzungsverfahren ist eines davon.

    Dabei wird jede der Gleichungen nach einer der Unbekannten (hier $x$ oder $y$) umgeformt.

    Wenn dann auf jeweils einer Seite die gleiche Unbekannte steht, müssen die entsprechenden anderen Seiten übereinstimmen. So erhält man eine Gleichung, welche nur noch von einer Unbekannten abhängt.

    Oft ist die Umformung zu einer Variable geschickter als die zu der anderen. Hier siehst du in der zweiten Gleichung, dass $y$ bereits alleine steht. Also ist es geschickter, die obere Gleichung ebenfalls zu $y$ umzuformen.

    Zusatz: Du könntest bei diesem Gleichungssystem auch beide Gleichungen so umformen, dass $x$ auf jeweils einer Seite der Gleichungen steht. Am Ende wirst du dieselben Werte für $x$ und $y$ erhalten, musst dafür aber mehr Rechenschritte machen.

  • Ermittle die Anzahl der Jungen und Mädchen in der Klasse.

    Tipps

    Stelle zunächst das Gleichungssystem auf:

    • „Zusammen“ bedeutet, dass du die Anzahlen addieren musst.
    • Das „Doppelte“ entspricht $2\cdot ...$ und das „Dreifache“ $3\cdot ...$.

    Hier siehst du das Gleichungssystem:

    $\left|\begin{array}{rcl} x+y&=&32\\ 2x-3y+8&=&2 \end{array}\right|$

    Wenn du beide Gleichungen nach $2x$ umformst, erhältst du die folgenden Gleichung, in welcher nur noch $y$ vorkommt:

    $64-2y=3y-6$

    Denke daran, die gefundene Lösung für $y$ in einer der beiden Gleichungen des Gleichungssystems einzusetzen, um die Lösung für $x$ zu erhalten.

    Lösung

    Hier siehst du das zu der obigen Textaufgabe gehörende Gleichungssystem:

    • „Zusammen“ bedeutet, dass du die Anzahlen addieren musst: $x+y=32$
    • Das Doppelte der Anzahl der Mädchen entspricht $2x$.
    • Das Dreifache der Anzahl der Jungen entspricht $3y$.
    • Also führt die zweite Aussage zu der Gleichung $2x-3y+8=2$.
    Subtrahiere in der oberen Gleichung $y$. In der unteren addierst du $3y$ und subtrahierst $8$.

    $\left|\begin{array}{rcl} x&=&32-y\\ 2x&=&3y-6 \end{array}\right|$

    Nun kannst du entweder die obere Gleichung mit $2$ multiplizieren oder die untere durch $2$ dividieren. Um das Rechnen mit Brüchen zu vermeiden, wählen wir die erste Variante.

    $\left|\begin{array}{rcl} 2x&=&64-2y\\ 2x&=&3y-6 \end{array}\right|$

    Nun stimmen die jeweils linken Seiten überein. Du kannst also die rechten Seiten gleichsetzen: $64-2y=3y-6$.

    Forme nun diese Gleichung nach $y$ um.

    $\begin{array}{lrclll} &64-2y&=&3y-6&|&+2y\\ \Leftrightarrow&64&=&5y-6&|&+6\\ \Leftrightarrow&70&=&5y&|&:5\\ \Leftrightarrow&14&=&y \end{array}$

    Setze nun diese Lösung für $y$ in die obere der beiden Ausgangsgleichungen ein. Du kannst auch in die untere Gleichung einsetzen. Das wäre in diesem Fall aber komplizierter. Du kommst also auf folgende Gleichung:

    $x+14=32$.

    Subtrahiere zuletzt $14$. So erhältst du $x=32-14=18$.

    Es gibt also $18$ Mädchen und $14$ Jungen in der Klasse.

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