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Gleichsetzungsverfahren – Aufgabe 3

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik

Gleichsetzungsverfahren – Aufgabe 3

lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Gleichsetzungsverfahren – Aufgabe 3

In diesem Übungsvideo zum Gleichsetzungsverfahren lösen wir das lineare Gleichungssystem, das aus folgenden Gleichungen besteht: x-2=1+2y 2+x+y=2 Wir stellen beide Seiten nach y um und setzen die Seiten der Gleichungen, die kein y enthalten, untereinander gleich. Dadurch entsteht eine lineare Gleichung die wir wie gewohnt lösen können. Den gefundenen Wert für x setzen wir in eine der Ausgangsgleichungen ein und finden so den Wert für y, der die beiden Gleichungen erfüllt. Nachdem wir die Probe gemacht haben, können wir die Lösungsmenge hinschreiben.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. sehr gut ...wie immer.

    Von sea shepherd p., vor etwa einem Jahr
  2. echt gut :)

    Von Manosch A., vor etwa 2 Jahren

Gleichsetzungsverfahren – Aufgabe 3 Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gleichsetzungsverfahren – Aufgabe 3 kannst du es wiederholen und üben.
  • Schildere, wie du beide Gleichungen nach $y$ umstellst.

    Tipps

    Beachte: Wenn du eine Äquivalenzumformung durchführst, musst du diese (außer bei Termumformungen) auf beiden Seiten der Gleichung durchführen.

    Unter Äquivalenzumformungen verstehen wir folgende Operationen:

    • Termumformungen,
    • Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Termen auf beiden Seiten der Gleichung,
    • Multiplikation mit einer Zahl oder einem Term ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung und
    • Division durch eine Zahl oder einen Term ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung.

    Am Ende steht in beiden Gleichungen die Unbekannte $y$ isoliert auf einer Seite.

    Lösung

    Sowohl die obere als auch die untere Gleichung soll nach $y$ umgeformt werden.

    Lass uns mit der oberen Gleichung $x-2=1+2y$ beginnen.

    • Subtrahiere $1$. Dies führt zu der Gleichung $x-3=2y$.
    • Damit $y$ isoliert steht, musst du jetzt durch $2$ dividieren. So erhältst du $\frac x2-\frac32=y$.
    Nun formen wir die untere Gleichung $2+x+y=2$ um.

    • Subtrahiere zunächst $2$. Du erhältst $x-y=0$.
    • Dann subtrahiere $x$. So kommst du zu der Gleichung $y=-x$.
    Nun stimmt bei beiden Gleichungen eine Seite (nämlich $y$) überein. Deshalb müssen auch die jeweils anderen Seiten übereinstimmen.

    $\frac x 2-\frac32=-x$

  • Gib die Lösungsmenge des Gleichungssystems an.

    Tipps

    Nach dem Gleichsetzungsverfahren hängt die Gleichung nur noch von $x$ ab. Forme diese Gleichung nach $x$ um.

    Beachte, dass die Lösung des Gleichungssystems ein Lösungspaar ist.

    Führe eine Probe durch. Nur so kannst du dir sicher sein, dass du richtig gerechnet hast.

    Lösung

    Die Gleichung $\frac x2-\frac32=-x$ wird nach $x$ umgeformt. Dies siehst du hier:

    $\begin{array}{lrclll} &\frac x2-\frac32&=&-x&|&-\frac x2\\ \Leftrightarrow&-\frac32&=&-\frac32x&|&:\left(-\frac32\right)\\ \Leftrightarrow&1&=&x \end{array}$

    Dies ist die Lösung für $x$. Es fehlt noch die Lösung für $y$, denn wir suchen ja ein Lösungspaar. Hierfür setzt du $x=1$ in eine der beiden Gleichungen ein, zum Beispiel in die obere $x-2=1+2y$.

    • $1-2=1+2y$, also $-1=1+2y$.
    • Subtrahiere $1$. Dies führt zu $-2=2y$.
    • Dividiere nun durch $2$ und du erhältst $-1=y$.
    Die Lösungsmenge des Gleichungssystem ist somit $\mathbb{L}=\{(1|-1)\}$.

    Wir führen abschließend noch eine Probe durch:

    • $1-2=-1=1+2\cdot(-1)$ ✓
    • $2+1+(-1)=2+0=2$ ✓
  • Ermittle die Lösung des Gleichungssystems mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens.

    Tipps

    Du kannst jede der beiden Gleichung durch eine Äquivalenzumformung in die Form $y=...$ bringen.

    Führe eine Probe mit dem Lösungspaar durch.

    Lösung

    Wir wollen das hier abgebildete Gleichungssystem mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens lösen.

    Subtraktion von $x$ in der oberen und $2x$ in der unteren Gleichung führt zu:

    $\left|\begin{array}{rcl} y&=&-x+3\\ y&=&-2x+1 \end{array}\right|$

    Da die jeweils linken Seiten nun gleich (nämlich $y$) sind, müssen auch die rechten Seiten gleich sein. Dies führt zu der Gleichung $-x+3=-2x+1$, in welcher nur die Unbekannte $x$ vorkommt.

    Diese Gleichung wird nun nach $x$ gelöst.

    $\begin{array}{lrclll} &-x+3&=&-2x+1&|&+2x\\ \Leftrightarrow&x+3&=&1&|&-3\\ \Leftrightarrow&x&=&-2 \end{array}$

    Dieser Wert für $x$ kann nun zum Beispiel in die obere Gleichung $x+y=3$ eingesetzt werden: $-2+y=3$. Addition von $2$ führt zu $y=5$.

    Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist damit $\mathbb{L}=\{(-2|5)\}$.

    Um deine Rechnung zu kontrollieren, kannst du eine Probe durchführen.

    • $-2+5=3$ ✓
    • $2\cdot(-2)+5=-4+5=1$ ✓
  • Wende das Gleichsetzungsverfahren an, um das Gleichungssystem zu lösen.

    Tipps

    In der oberen Gleichung musst du sowohl $1$ als auch $y$ subtrahieren.

    In der unteren Gleichung dividierst du durch $2$.

    Wenn in einer Gleichung nur noch eine Unbekannte vorkommt, bringe die Unbekannten auf die eine und die bekannten Größen auf die andere Seite. Dies nennt man Isolieren der Variablen.

    In der unteren Gleichung kommt auf beiden Seiten $4$ heraus.

    Lösung

    Wir wollen dieses Gleichungssystem näher untersuchen:

    $\left|\begin{array}{rcl} 1 + x + y &=& 3\\ 2x &=& 4 - 8y \end{array}\right|$

    In der oberen Gleichung wird sowohl $1$ als auch $y$ subtrahiert und in der unteren Gleichung wird durch $2$ dividiert. Dies führt zu einem „neuen“ Gleichungssystem.

    $\left|\begin{array}{rcl} x &=&-y+2\\ x &=& -4y+2 \end{array}\right|$

    Wie du siehst, steht auf der jeweils linken Seite $x$ nun isoliert. Das bedeutet, dass die rechten Seiten übereinstimmen müssen. Wir können also die Gleichung $-y+2=-4y+2$ aufstellen und diese nach $y$ lösen.

    • Addiere auf beiden Seiten $4y$.
    • Subtrahiere $2$. So erhältst du $5y=0$.
    • Division durch $5$ führt zu $y=0$.
    Dieses $y=0$ kannst du zum Beispiel in die untere der beiden Gleichungen einsetzen. Dies führt zu $2x=4-8\cdot 0=4$. Division durch $2$ führt zu $x=2$.

    Damit kannst du nun die Lösungsmenge des Gleichungssystems angeben: $\mathbb{L}=\{(2|0)\}$.

  • Beschreibe, wie du mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens ein Gleichungssystem mit zwei Variablen $x$ und $y$ löst.

    Tipps

    Schaue dir ein Beispiel an:

    $\left|\begin{array}{rcl} x+y&=&3\\ 2x+y&=&1 \end{array}\right|$

    Die erste Gleichung ist äquivalent zu $y=-x+3$ und die zweite Gleichung ist äquivalent zu $y=-2x+1$.

    Da die jeweils linken Seiten übereinstimmen, muss dies auch für die beiden rechten Seiten gelten.

    Hier siehst du ein anderes Beispiel:

    $\left|\begin{array}{rcl} x&=&y-3\\ x&=&3y-1 \end{array}\right|$

    Es muss also $y-3=3y-1$ gelten.

    Du solltest allerdings nicht so umformen, dass auf beiden Seite eine konstante Zahl isoliert steht.

    $\left|\begin{array}{rcl} x+y&=&3\\ 2x+y&=&1 \end{array}\right|$

    Die zweite Gleichung ist äquivalent zu $6x+3y=3$ und damit muss gelten:

    $x+y=6x+3y$

    Nun hast du zwar nur noch eine Gleichung, allerdings zwei Unbekannte. Das hilft uns nicht weiter.

    Lösung

    Das Gleichsetzungsverfahren ist ein Lösungsverfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen.

    Was ist ein lineares Gleichungssystem? Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei (oder mehr) Gleichungen und ebenso vielen Unbekannten.

    Beim Gleichsetzungsverfahren werden entweder beide Gleichungen nach $x$ umgeformt oder nach $y$. Das bedeutet, dass auf jeweils einer Seite der beiden Gleichungen entweder $x$ oder $y$ isoliert steht.

    Dann müssen auch die jeweiligen anderen Seiten übereinstimmen.

    Übrigens kannst du die Gleichungen auch so umformen, dass ein Vielfaches von $x$ oder $y$ auf der einen Seite steht. Dann sparst du dir das Dividieren.

  • Prüfe, wie viele Hündinnen und wie viele Rüden sich in dem Rudel befinden.

    Tipps

    Du kannst die obere der beiden Gleichungen nach $x$ umformen und erhältst dann $x=\frac32y-\frac12$.

    Forme dann auch die untere der beiden Gleichungen nach $x$ um:

    $x=\frac75 y$.

    Du könntest auch die obere Gleichung so umformen, dass auf der einen Seite $10x$ steht. Dann steht auf der anderen $15y-5$.

    Forme entsprechend die untere Gleichung so um, dass auf der einen Seite $10x$ steht. Dann steht auf der anderen Seite $14y$.

    Löse die Gleichung $15y-5=14y$.

    Lösung

    Wenn du beide Gleichungen nach $x$ umformst, erhältst du Gleichungen, in welchen Brüche vorkommen. Dies vermeidest du, indem du nicht nach $x$, sondern nach $10x$ umformst.

    Woher kommt der Faktor $10$? $10$ ist das kleinste gemeinsame Vielfache von $2$ und $5$, den Faktoren vor $x$ in den beiden Gleichungen.

    So erhältst du

    $\left|\begin{array}{rcl} 10x&=&15y-5\\ 10x&=&14y \end{array}\right|$

    Damit muss $15y-5=14y$ gelten:

    • Subtrahiere $14y$ und
    • addiere $5$.
    • Dies führt zu $y=5$.
    Das bedeutet, dass die Anzahl der Rüden $5$ ist.

    Setze $y=5$ in die obere Gleichung ein: $2x+1=3\cdot 5=15$.

    • Subtrahiere $1$. Dies führt zu der Gleichung $2x=14$.
    • Dividiere nun durch $2$. So erhältst du $x=7$.
    Nun wissen wir, dass sich in dem Rudel sieben ($7$) Hündinnen und fünf ($5$) Rüden befinden.

    Kein Wunder also, dass Caro die Rasselbande nicht mehr zählen kann. Das wird schon ein ziemliches Durcheinander sein.

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