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Gleichsetzungsverfahren – Aufgabe 2

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Gleichsetzungsverfahren – Aufgabe 2
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Gleichsetzungsverfahren – Aufgabe 2

Im Video wird die Anwendung des Gleichsystzungsverfahren an einer Aufgabe geübt. Gegeben ist das lineare Gleichungssystem 2x-y=5 und 4-1=x. Wir können beide Gleichungen nach y umstellen und dann die jeweils andere Seite der Gleichungen untereinander gleichsetzen. Dann entsteht eine lineare Gleichung, die wir wie gewohnt lösen können, das sie nur noch die Variable x enthält. Den gefundenen Wert für x können wir dann in eine der gegebenen Gleichungen einsetzen, um den Wert für y zu finden, der die Gleichungen erfüllt.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. sehr gut ...wie immer

    Von sea shepherd p., vor fast 2 Jahren
  2. Komischer typ

    Von Ndigui, vor mehr als 4 Jahren

Gleichsetzungsverfahren – Aufgabe 2 Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gleichsetzungsverfahren – Aufgabe 2 kannst du es wiederholen und üben.
  • Schildere, wie beide Gleichungen nach $y$ umgestellt werden können.

    Tipps

    Beachte, dass die Addition und Subtraktion sowie Multiplikation und Division auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden müssen.

    Führe jeweils die Umkehraufgabe durch:

    • Die Umkehraufgabe zur Addition ist die Subtraktion und umgekehrt.
    • Die Umkehraufgabe zur Multiplikation ist die Division und umgekehrt.

    Wenn vor $y$ noch ein Faktor steht, musst du durch diesen dividieren.

    Lösung

    Sowohl die obere als auch die untere Gleichung sollen nach $y$ umgeformt werden.

    In der Oberen musst du $2x$ subtrahieren und in der Unteren $1$ addieren:

    $\left|\begin{array}{rcl} -y&=&-2x+5\\ 4y&=&x+1 \end{array}\right|$

    Noch steht in beiden Gleichungen $y$ nicht alleine. Die obere Gleichung muss noch mit $-1$ multipliziert werden und die untere durch $4$ dividiert. Wichtig ist, dass du diese Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchführen musst:

    $\left|\begin{array}{rcl} y&=&2x-5\\ y&=&\frac14x+\frac14 \end{array}\right|$

    Du siehst, in beiden Gleichungen steht $y$ nun auf der linken Seite alleine. Das bedeutet, dass die jeweils rechten Seiten übereinstimmen müssen. Dies führt zu dieser Gleichung:

    $2x-5=\frac14x+\frac14$.

  • Gib die Lösungsmenge des Gleichungssystems an.

    Tipps

    Bringe die Unbekannten auf die eine Seite und die bekannten Größen auf die andere.

    Ziel ist es, dass die Unbekannte schließlich auf einer Seite alleine steht. Dann kannst du die Lösung ablesen.

    Beachte, dass es nicht genügt, nur die „Lösung“ für $x$ zu finden. Gesucht ist nämlich ein Lösungspaar $(x|y)$, welches beide Gleichungen erfüllt.

    Lösung

    Dieses Gleichungssystem führt durch Umformung nach $y$ zu dieser Gleichung:

    $2x-5=\frac14 x+\frac14$.

    Diese wird nun nach $x$ umgeformt. Dies siehst du hier:

    $\begin{array}{lrclll} &2x-5&=&\frac14x+\frac14&|&-\frac 14x\\ \Leftrightarrow&\frac74x-5&=&\frac14&|&+5\\ \Leftrightarrow&\frac74x&=&\frac{21}4&|&:\frac74\\ \Leftrightarrow&x&=&3 \end{array}$

    Dies ist die Lösung für $x$. Um die Lösung für $y$ zu finden, wird $x=3$ in eine der beiden Gleichungen eingesetzt, zum Beispiel in die untere:

    $4y-1=3$.

    Addiere noch $1$, so erhältst du $4y=4$. Dividiere dann noch durch $4$. Dies führt zu $y=1$.

    Die Lösungsmenge des Gleichungssystem ist somit $\mathbb{L}=\{(3|1)\}$.

    Wir führen abschließend noch eine Probe durch:

    • $2\cdot 3-1=6-1=5$ ✓
    • $4\cdot 1-1=4-1=3$ ✓
  • Wende das Gleichsetzungsverfahren an, um das Gleichungssystem zu lösen.

    Tipps

    In der resultierenden Gleichung kommt nur noch $y$ vor. Bringe alle Terme mit diesem $y$ auf die eine Seite der Gleichung und alle bekannten Größen auf die andere Seite.

    Führe immer jede Rechnung auf beiden Seiten der Gleichung durch.

    Schaue dir hierfür ein Beispiel an:

    $\begin{array}{lrclll} &3x&=&12&|&:3\\ \Leftrightarrow&\frac{3x}3&=&\frac{12}3&|&\text{T}\\ \Leftrightarrow&x&=&4 \end{array}$

    „$\text{T}$“ steht für Termumformung.

    Beachte, dass in dem Gleichungssystem zwei Unbekannte $x$ und $y$ vorkommen. Das bedeutet, dass das Lösungspaar $(x|y)$ beide Gleichungen erfüllen muss.

    Lösung

    Hier siehst du ein Gleichungssystem, welches bereits so umgeformt ist, dass jeweils auf der linken Seite die Unbekannte $x$ alleine steht.

    Das bedeutet, dass auch die jeweils rechten Seiten übereinstimmen müssen: $y+5=-2y-1$.

    Diese Gleichung wird so umgeformt, dass die Unbekannte $y$ schließlich alleine steht.

    $\begin{array}{lrclll} &y+5&=&-2y-1&|&+2y\\ \Leftrightarrow&3y+5&=&-1&|&-5\\ \Leftrightarrow&3y&=&-6&|&:3\\ \Leftrightarrow&y&=&-2 \end{array}$

    Nun kannst du die Lösung für $y=-2$ ablesen. Es bleibt noch die Lösung für $x$. Hierfür setzt du $y=-2$ in die obere oder die untere der beiden Gleichungen ein. (Es ist tatsächlich egal, in welche der beiden Gleichungen du $y$ einsetzt. Du erhältst jedes Mal den gleichen Wert für $x$.)

    $x=-2+5=3$

    Damit ist das Lösungspaar gefunden und die Lösungsmenge kann angegeben werden: $\mathbb{L}=\{(3|-2)\}$.

  • Ermittle die Lösung des Gleichungssystems mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens.

    Tipps

    In der oberen Gleichung musst du $3y$ subtrahieren und anschließend durch $-2$ dividieren. In der unteren Gleichung subtrahierst du $y$ und multiplizierst mit $-1$.

    In der resultierenden Gleichung kommt nur noch $y$ vor. Forme diese Gleichung so um, dass $y$ alleine steht.

    Lösung

    In dem Gleichungssystem

    $\left|\begin{array}{rcl} 3y-2x&=&8\\ y-x&=&2 \end{array}\right|$

    wird in der oberen Zeile $3y$ subtrahiert und in der unteren $y$.

    $\left|\begin{array}{rcl} -2x&=&-3y+8\\ -x&=&-y+2 \end{array}\right|$

    Dividiere nun die obere Gleichung durch $-2$ und multipliziere die untere mit $-1$.

    $\left|\begin{array}{rcl} x&=&\frac32y-4\\ x&=&y-2 \end{array}\right|$

    Damit erhältst du die folgende Gleichung, in welcher nur noch $y$ vorkommt:

    $\frac32y-4=y-2$.

    Subtrahiere auf beiden Seiten $y$ und addiere $4$. So erhältst du $\frac12y=2$. Multipliziere nun mit $2$. Dies führt zu $y=4$.

    Die Lösung $y=4$ kannst du zum Beispiel in die obere der beiden Gleichungen einsetzen. So erhältst du $3\cdot 4-2x=8$, also $12-2x=8$. Subtrahiere $12$ und dividiere anschließend durch $-2$. So kommst du zu $x=2$.

    Damit kannst du nun die Lösungsmenge des Gleichungssystems angeben: $\mathbb{L}=\{(2|4)\}$.

  • Beschreibe, wie du beim Gleichsetzungsverfahren vorgehst, um ein Gleichungssystem mit zwei Variablen $x$ und $y$ zu lösen.

    Tipps

    Schaue dir dieses Gleichungssystem an:

    $\left|\begin{array}{rcl} 3x-y&=&2\\ x+y&=&2 \end{array}\right|$

    Die beiden linken Seiten ergeben $2$, sodass wir diese gleichsetzen können. Dann ist $3x-y=x+y$ eine Gleichung mit zwei Unbekannten. Es gibt unendlich viele Lösungen dieser Gleichung.

    Das Gleichungssystem hat jedoch eine eindeutige Lösung: $(1|1)$.

    In diesem Gleichungssystem stimmen die linken Seiten überein:

    $\left|\begin{array}{rcl} x&=&y+5\\ x&=&-2y-1 \end{array}\right|$

    Dann müssen auch die rechten Seiten übereinstimmen.

    Das Gleichsetzungsverfahren führt bei dem Gleichungssystem

    $\left|\begin{array}{rcl} x&=&y+5\\ x&=&-2y-1 \end{array}\right|$

    zu der Gleichung $y+5=-2y-1$, in welcher nur noch $y$ vorkommt.

    Lösung

    Das Gleichsetzungsverfahren ist ein Lösungsverfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen.

    Was ist ein lineares Gleichungssystem? Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei (oder mehr) Gleichungen und ebenso vielen Unbekannten.

    Zunächst einmal formst du beide Gleichungen entweder nach $x$ oder nach $y$ um. Das bedeutet, dass in beiden Gleichungen jeweils auf einer Seite das Gleiche, nämlich $x$ oder $y$, steht. Dann müssen auch die jeweils anderen Seiten übereinstimmen.

    Dies führt zu einer Gleichung, in welcher nur noch die Unbekannte vorkommt, nach welcher nicht umgestellt wurde.

    Übrigens kannst du die Gleichungen auch so umformen, dass ein Vielfaches von $x$ oder $y$ auf der einen Seite steht. Dann sparst du dir das Dividieren.

  • Bestimme die Zahl der roten und der grünen Kugeln.

    Tipps

    Forme beide Gleichungen nach $y$ um. So ersparst du dir das Rechnen mit Brüchen.

    $x$ ist kleiner als $y$.

    Die zu lösende Gleichung mit der Unbekannten $x$ lautet:

    $x+3=2x-9$.

    Lösung

    Zunächst einmal wird dieses Gleichungssystem so umgeformt, dass jeweils die Unbekannte $y$ auf einer Seite alleine steht.

    Addiere in der oberen Gleichung $5$ und subtrahiere in der unteren $2x$.

    $\left|\begin{array}{rcl} 3x+9&=&3y\\ -y&=&-2x+9 \end{array}\right|$

    Dividiere nun die obere Gleichung durch $3$ und multipliziere die untere mit $-1$.

    $\left|\begin{array}{rcl} x+3&=&y\\ y&=&2x-9 \end{array}\right|$

    Da die rechte Seite der oberen und die linke der unteren Gleichung übereinstimmen, müssen die jeweils anderen Gleichungen auch übereinstimmen: $x+3=2x-9$.

    • Subtrahiere $x$. So erhältst du die Gleichung $3=x-9$.
    • Addiere nun $9$. Damit kannst du die Lösung ablesen: $x=12$.
    Setze dieses $x$ zum Beispiel in die untere Gleichung ein, um $y$ zu berechnen: $2\cdot 12-y=9$.

    $\begin{array}{lrclll} &24-y&=&9&|&-24\\ \Leftrightarrow&-y&=&-15&|&\cdot(-1)\\ \Leftrightarrow&y&=&15 \end{array}$

    Es gibt also zwölf ($12$) rote Kugeln und fünfzehn ($15$) grüne in der Urne.

    Viel Freude mit dem tollen Mathebuch.

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