Gleichsetzungsverfahren – Aufgabe 1

Gleichsetzungsverfahren – Aufgabe 1 Übung

• Bestimme das umgeformte Gleichungssystem und die daraus resultierende Gleichung.

  Tipps

  Bei Gleichungen darfst du sogenannte Äquivalenzumformungen machen. Das heißt, dass du beispielsweise auf beiden Seiten einer Gleichung denselben Term subtrahieren darfst.

  $\begin{array}{crclll} & x + 2 & = & y - 2 & \vert & -2\\ \Leftrightarrow & x & = & y - 4 \end{array}$

  Die untere Gleichung kann durch Subtraktion von $2$ auf beiden Seiten umgeformt werden.

  Wenn du eine Gleichung der Form $x = 2y$ hast, darfst du in allen anderen Gleichungen des Gleichungssystems $x$ durch $2y$ ersetzen.

  Lösung

  Es ist tatsächlich egal, nach welcher der beiden Unbekannten $x$ oder $y$ du die Gleichungen umformst. Du kommst insgesamt auf dieselbe Lösung.

  In dieser Aufgabe formen wir die Gleichungen nach $x$ um.

  Addiere in der oberen Gleichung $2$ auf beiden Seiten. In der unteren Gleichung subtrahieren wir $2$ sowie $y$ auf beiden Seiten. Das ergibt insgesamt:

  $\left|\begin{array}{rcl} x&=&3+2y\\ x&=&-y \end{array}\right|$

  In nächsten Schritt setzt man nun die beiden rechten Seiten gleich, da die linken Seiten bereits übereinstimmen.

  Darum heißt dieses Verfahren auch Gleichsetzungsverfahren.

  So erhältst du eine Gleichung, welche nur noch von $y$ abhängt:

  $3+2y=-y$

• Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems.

  Tipps

  Beachte, dass ein Lösungspaar $(x|y)$ gesucht ist. Links steht der Wert für $x$ und rechts der für $y$.

  Schaue dir ein Beispiel zur Lösung einer Gleichung an.

  $\begin{array}{lrclll} &x+2&=&2x-1&|&-2x\\ \Leftrightarrow&-x+2&=&-1&|&-2\\ \Leftrightarrow&-x&=&-3&|&\cdot (-1)\\ \Leftrightarrow&x&=&3 \end{array}$

  In der letzten Gleichung kannst du die Lösung $x=3$ ablesen.

  Hier siehst du ein Beispiel, wie eine bereits bekannte Lösung genutzt wird, um die andere Variable zu berechnen. Wir haben zum Beispiel $x=3$ schon ausgerechnet und die Gleichung $x+y=5$ gegeben.

  Dann ist $3+y=5$.

  Subtraktion von $3$ führt zu $y=2$.

  Die Lösungsmenge ist dann $\mathbb{L}=\{(3|2)\}$.

  Lösung

  Du siehst auf der rechten Seite ein Gleichungssystem. Wenn du dieses nach $x$ umformst, erhältst du folgendes Gleichungssystem:

  $\left|\begin{array}{rcl} x&=&3+2y\\ x&=&-y \end{array}\right|$

  Da beide linken Seiten in diesem $x$ sind, folgt daraus die Gleichung $3+2y=-y$, in welcher nur noch $y$ vorkommt. Forme diese Gleichung nun nach $y$ um:

  $\begin{array}{lrclll} &3+2y&=&-y&|&-2y\\ \Leftrightarrow&3&=&-3y&|&:(-3)\\ \Leftrightarrow&-1&=&y \end{array}$

  Nun kannst du die Lösung für $y=-1$ ablesen. Es fehlt noch die Lösung für $x$. Hierfür setzt du $y=-1$ in eine der beiden Gleichungen, zum Beispiel in die obere, ein. Diese lautet $x-2=1+2y$. Es folgt:

  $x-2=1+2\cdot(-1)=-1$

  Addiere $2$, so erhältst du $x=1$.

  Die Lösungsmenge des Gleichungssystem ist somit $\mathbb{L}=\{(1|-1)\}$.

  Wir führen abschließend noch eine Probe durch, indem wir $x=1$ und $y=-1$ in die beiden Ausgangsgleichungen einsetzen.

  • $1-2=-1=1+2\cdot(-1)$ ✓
  • $2+1-1=2+0=2$ ✓

• Ordne jedem Gleichungssystem das umgeformte Gleichungssystem zu.

  Tipps

  Du formst nach einer der Unbekannten um, indem du Umkehraufgaben durchführst. Schaue dir hierfür ein Beispiel an.

  $x+y=4$ kann auf verschiedene Weisen umgeformt werden:

  • Durch Subtraktion von $x$ zu $y=4-x$.
  • Durch Subtraktion von $y$ zu $x=4-y$.

  Orientiere dich zunächst daran, nach welcher Unbekannten die Gleichung umgeformt wurde.

  Lösung

  Einer der wesentlichen Punkte des Gleichsetzungsverfahrens ist das Umformen der Gleichungen nach einer der Unbekannten.

  Dies soll hier nun an vier ähnlichen Beispielen geübt werden. Dabei wird jeweils zweimal nach $x$ und zweimal nach $y$ umgestellt.

  1. Gleichungssystem - Umstellen nach $x$

  $\left|\begin{array}{rcl} x-2&=&2-2y\\ x+y&=&3 \end{array}\right|$

  Addiere in der oberen Gleichung $2$ und subtrahiere in der unteren $y$:

  $\left|\begin{array}{rcl} x&=&4-2y\\ x&=&3-y \end{array}\right|$

  2. Gleichungssystem - Umstellen nach $y$

  $\left|\begin{array}{rcl} x-2&=&1-2y\\ x+y&=&4 \end{array}\right|$

  Subtrahiere in der oberen Gleichung $1$ und dividiere dann durch $-2$. Subtrahiere in der unteren Gleichung $x$:

  $\left|\begin{array}{rcl} -\frac12x+\frac32&=&y\\ y&=&4-x \end{array}\right|$

  3. Gleichungssystem - Umstellen nach $y$

  $\left|\begin{array}{rcl} x+2&=&2-2y\\ x+y&=&3 \end{array}\right|$

  Subtrahiere in der oberen Zeile $2$ und dividiere durch $-2$. Subtrahiere in der unteren Zeile $x$:

  $\left|\begin{array}{rcl} -\frac12x&=&y\\ y&=&3-x \end{array}\right|$

  4. Gleichungssystem - Umstellen nach $x$

  $\left|\begin{array}{rcl} x+2&=&2-2y\\ x+y&=&4 \end{array}\right|$

  Subtrahiere in der oberen Gleichung $2$ und in der unteren $y$:

  $\left|\begin{array}{rcl} x&=&-2y\\ x&=&4-y \end{array}\right|$

• Wende das Gleichsetzungsverfahren an, um das Gleichungssystem zu lösen.

  Tipps

  Hier kannst du ein Beispiel für eine Umformung sehen.

  $\left|\begin{array}{rcl} x+2&=&2-2y\\ x+y&=&4 \end{array}\right|$

  Subtrahiere in der oberen Gleichung $2$ und in der unteren $y$.

  $\left|\begin{array}{rcl} x&=&-2y\\ x&=&4-y \end{array}\right|$

  Betrachte das umgeformte Gleichungssystem:

  $\left|\begin{array}{rcl} x&=&-2y\\ x&=&4-y \end{array}\right|$

  Da links jeweils $x$ steht, kannst du die rechten Seiten gleichsetzen. Das führt zu $-2y=4-y$.

  Hier siehst du, wie du eine Gleichung durch Äquivalenzumformungen löst:

  $\begin{array}{lrclll} &-2y&=&4-y&|&+y\\ \Leftrightarrow&-y&=&4&|&\cdot (-1)\\ \Leftrightarrow&y&=&-4 \end{array}$

  Setze die gefundene Lösung in einer der beiden Gleichungen ein. So erhältst du die Lösung für die andere Unbekannte. Dies kannst du dir wieder an einem Beispiel anschauen.

  Es sei $y=-4$ und die Gleichung $x+y=4$ gegeben. Das führt insgesamt zu $x-4=4$.

  Addiere nun $4$, so erhältst du $x=8$.

  Lösung

  Betrachte das folgende Gleichungssystem:

  $\left|\begin{array}{rcl} x-2&=&1-2y\\ x+y&=&4 \end{array}\right|$

  Wird nun in der oberen Zeile $2$ addiert und in der unteren $y$ subtrahiert, ergibt sich:

  $\left|\begin{array}{rcl} x&=&3-2y\\ x&=&4-y \end{array}\right|$

  Durch diese Umformungen steht nur auf beiden linken Seiten $x$ alleine. Wenn also beide rechten Seiten gleich $x$ sind, folgt daraus, dass auch die rechten Seiten übereinstimmen müssen:

  $3-2y=4-y$.

  Nun rechnen wir weiter.

  • Addiere auf beiden Seiten $2y$. Dies führt zu $3=4+y$.
  • Subtrahiere nun $4$. So erhältst du $y=-1$.

  Die Lösung $y=-1$ kannst du in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzen. Wir setzen hier nun $-1$ in die untere der beiden Gleichungen ein. Dies führt zu $x-1=4$. Addition von $1$ führt zu $x=5$.

  Damit kannst du nun die Lösungsmenge des Gleichungssystems angeben: $\mathbb{L}=\{(5|-1)\}$.

• Bestimme die einzelnen Schritte des Gleichsetzungsverfahrens.

  Tipps

  Wir schauen uns dies einmal an einem Beispiel an.

  $\left|\begin{array}{rcl} x+y&=&3\\ 2x+y&=&1 \end{array}\right|$

  Die Umformung beider Gleichungen nach $y$ führt zu:

  $\left|\begin{array}{rcl} y&=&-x+3\\ y&=&-2x+1 \end{array}\right|$

  Wir betrachten dieses Gleichungssystem:

  $\left|\begin{array}{rcl} y&=&-x+3\\ y&=&-2x+1 \end{array}\right|$

  Durch Gleichsetzen der rechten Seiten erhalten wir $-x+3=-2x+1$.

  Hier siehst du, wie die Gleichung $-x+3=-2x+1$ gelöst wird:

  $\begin{array}{lrclll} &-x+3&=&-2x+1&|&+2x\\ \Leftrightarrow&x+3&=&1&|&-3\\ \Leftrightarrow&x&=&-2 \end{array}$

  Setze $x=-2$ zum Beispiel in die obere Gleichung ein:

  $-2+y=3$.

  Addiere $2$. Dies führt zu $y=5$.

  Lösung

  Das Gleichsetzungsverfahren ist ein Lösungsverfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen.

  1. Zunächst einmal formst du beide Gleichungen nach einer Unbekannten (meist $x$ oder $y$) um.
  2. Das bedeutet, dass in beiden Gleichungen jeweils auf einer Seite das Gleiche, nämlich $x$ oder $y$, steht. Dann müssen auch die jeweils anderen Seiten übereinstimmen. Diese Seiten werden nun gleichgesetzt.
  3. Dies führt zu einer Gleichung, in welcher nur noch die Unbekannte vorkommt, nach welcher nicht umgestellt wurde.
  4. Löse nun nach dieser Unbekannten auf.
  5. Setze nun diese Lösung in einer der beiden Gleichungen des Gleichungssystem ein, um auch die Lösung für die andere Unbekannte zu finden.

  Übrigens kannst du die Gleichungen auch so umformen, dass ein Vielfaches von $x$ oder $y$ auf der einen Seite steht. Dann sparst du dir das Dividieren.

  Es gibt auch noch andere Lösungsverfahren, wie z.B. das Additions- und das Einsetzungsverfahren. Diese kannst du an anderer Stelle erlernen und üben.

• Ermittle die Anzahl der Gummibärchen.

  Tipps

  Forme beide Gleichungen nach $x$ um. Auf diese Weise ersparst du dir das Rechnen mit Brüchen.

  Die Gleichung, die du schließlich lösen musst, lautet $-6+2y=-3y+114$.

  Lösung

  Zunächst werden die folgenden Gleichungen nach $x$ umgeformt.

  $\left|\begin{array}{rcl} x-2y&=&-6\\ 2x+6y&=&228 \end{array}\right|$

  Addiere dazu in der oberen Gleichung $2y$. In der unteren subtrahierst du $6y$ und dividierst anschließend durch $2$.

  $\left|\begin{array}{rcl} x&=&-6+2y\\ x&=&-3y+114 \end{array}\right|$

  Nun stimmen die beiden linken Seiten überein. Du kannst also die rechten Seiten gleichsetzen. Es folgt die Gleichung $-6+2y=-3y+114$. Diese lösen wir nun.

  $\begin{array}{lrclll} &-6+2y&=&-3y+114&|&+3y\\ \Leftrightarrow&-6+5y&=&114&|&+6\\ \Leftrightarrow&5y&=&120&|&:5\\ \Leftrightarrow&y&=&24 \end{array}$

  Setze nun $y=24$ in die obere der Ausgangsgleichungen ein (du kannst hier auch die untere wählen).

  $x-2\cdot 24=x-48=-6$

  Addition von $48$ führt zu $x=42$.

  Das bedeutet, dass Paul $42$ gelbe und $24$ rote Gummibärchen besitzt.

  Nach so viel Rechnen gönnt er sich erst einmal jeweils sechs Gummibärchen. Dann bleiben ihm noch...

  • $42-6=36$ gelbe Gummibärchen übrig.
  • $24-6=18$ rote Gummibärchen übrig.