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ggT und kgV in der Bruchrechnung – Einführung 07:25 min

Textversion des Videos

Transkript ggT und kgV in der Bruchrechnung – Einführung

Hallo! Da bin ich wieder. Eure Sabine Blumenthal. Dieses Video zeigt dir eine sehr nützliche Verbindung zwischen der Teilbarkeit natürlicher Zahlen und der Bruchrechnung. Du lernst heute die Verwendung von ggT und kgV in der Bruchrechnung. Und wie Du dir dadurch das Rechnen erleichtern kannst. Damit Du alles gut verstehst, solltest Du unbedingt schon einiges wissen. Du solltest ggT und kgV bestimmen können. Du solltest Brüche erweitern und kürzen können. Natürlich das kleine 1x1 beherrschen und die Teilbarkeitsregeln zu kennen, wäre auch ganz hilfreich. Oh, Hallo! Da sind ja wieder Lisa und Friedrich. Die beiden rechnen sehr gerne mit Brüchen und möchten dich heute wieder begleiten. Oh nein, Brüche. Nanu, wer ist das denn? Das ist Pit und Pit scheint Brüche ja nicht so zu mögen. Lisa, Friedrich und ich werden Pit und auch dir heute zeigen, wie man sich das Rechnen mit Brüchen erleichtern kann. Also schreiben wir zuerst mal ganz verschiedene Brüche auf. Sicher erkennst Du, dass die Brüche, die ich jetzt rot einkreise, anders sind als die übrigen Brüche. Richtig. Die eingekreisten Brüche kann man kürzen. Pit überlegt, Brüche kürzen, wie ging das nochmal? Ach ja, man muss Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen. Bei Brüchen mit größeren Zahlen, wie zum Beispiel hier, 36/48, kannst Du schrittweise kürzen. Die 36 und die 48 sind gerade Zahlen und also durch 2 teilbar. Wir kürzen durch 2 und erhalten: 18/24. Noch einmal können wir durch 2 kürzen und haben nun: 9/12. 9 und 12 sind durch 3 teilbar. Wir kürzen nun also durch 3 und erhalten: 3/4. 3/4 ist ein Stammbruch und kann nicht weiter gekürzt werden. Pit hat das prima verstanden, trotzdem mault er: "Oh, das ist ja so umständlich und dauert so lange. Geht das nicht einfacher?" „Klar“ rufen Lisa und Friedrich. "Du kannst den ggT benutzen." Schau mal, wir bestimmen den ggT von 36 und 48 mit der Primfaktorzerlegung und erhalten als größten gemeinsamen Teiler von 36 und 48 die 12. Sowohl die 36 und 48 sind durch 12 teilbar. Wir können den Bruch 36/48 also gleich durch 12 kürzen und erhalten wieder: 3/4. "Okay", sagt Pit. "Das habe ich verstanden, ich glaube das ist gar nicht so schwer. Viel schlimmer als Brüche kürzen finde ich ja Brüche addieren oder subtrahieren." Schau mal, Pit. An diesem einfachen Beispiel gehen wir die Schrittfolge beim Addieren von Brüchen nochmal durch. Zuerst müssen wir die Brüche gleichnamig machen, dann werden die Zähler erweitert und dann kannst Du rechnen. Wenn die Nenner der Brüche größere Zahlen sind, dann hilft uns beim gleichnamig machen das kgV. Denn der Hauptnenner ist das kgV der beiden Nenner. „Genau“ sagt Lisa. "Wir müssen in unserem Beispiel das kgV von 8 und 12 bestimmen." "Ja", sagt Friedrich. "Das geht ganz leicht mit der Primfaktorzerlegung." Schau mal, wenn Du die 8 und die 12 in ihre Primfaktoren zerlegst und dann das kgV bestimmst, dann erhalten wir als kgV von 8 und 12 die 24. Und die 24 ist also unser Hauptnenner der Brüche 7/8 und 5/12. Jetzt müssen wir nur noch die Zähler entsprechend erweitern. 7/8 so erweitern, dass wir den Nenner 24 haben. 8 * 3 = 24, also der Zähler auch * 3. 7 * 3 = 21. Genauso machst Du es mit dem Bruch 5/12. 12 * 2 = 24. Also auch den Zähler mit 2 erweitern. 5 * 2 = 10. In unserer Additionsaufgabe haben wir nun den Nenner 24 stehen. Und auf unsere Zähler kommen die eben errechneten erweiterten Zähler. 21 + 10. Als Ergebnis erhalten wir 21/24. Pit hat noch eine Frage: "Und wenn ich drei Brüche addieren muss?" "Dann machst Du es genau, wie eben", sagt Friedrich. Und auch Lisa stimmt zu. Das ist kein Problem. Schau dir unser Beispiel an. Du musst hier das kgV der drei Nenner bestimmen. Also das kgV von 12, 9 und 18. Wie gewohnt, schreibst Du gleiche Primfaktoren untereinander und errechnest als kgV die 36. Der Hauptnenner ist also 36. Du musst nun noch die Zähler entsprechend erweitern. Die 12 ist 3-mal in der 36. Also auch 5 * 3 und das ist 15. Die 9 ist 4-mal in der 36. Also 7 * 4 und das ist 28. Und die 18 ist 2-mal in der 36. Also 11 * 2 und das ist 22. Du addierst die Zähler und erhältst 65/36. Das ist ein unechter Bruch, deshalb wandeln wir ihn um, in eine gemischte Zahl: 1 29/36. "Na, Pit. Alles klar?" "Ja, schon. Ich habe alles verstanden. Aber ich glaube das muss ich nochmal üben." Auch Du kannst dir gern das Übungsvideo zu diesem Thema anschauen. Bis dahin, Tschüss!

14 Kommentare
  1. Hallo Ssimons,
    wie der Titel des Videos schon vermuten lässt, geht es hierbei um den ggT und das kgV in der Bruchrechnung.
    Schau doch aber mal hier:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/groesster-gemeinsamer-teiler-3?topic=914
    Das ist ein allgemeines Video zum ggT.
    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/kleinstes-gemeinsames-vielfaches?topic=914
    Und das ist ein Video zum kgV. Vielleicht helfen dir diese Videos besser.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas Dörr, vor etwa 2 Monaten
  2. Wäre gut wenn es dass auch ohne Bruchrechnung gibt also einfach üben

    Von Ssimons, vor etwa 2 Monaten
  3. Hallo Manuela Jason,
    vielen Dank für deinen Hinweis. Der Fehler wurde behoben. Jetzt sollte es egal sein, welches 1/3 du in die Lücke einsetzt.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas Dörr, vor 2 Monaten
  4. Bei Aufgabe 4 gibt es einen Programmfehler.
    Das Programm zeigt die Aufgabe als falsch gelöst an wenn man 1/3 zwar richtig eingibt (Das Programm wurde so programmiert, dass immer nur eine spezifische 1/3 in das vorgesehene Kästchen eingefügt werden kann.) Nimmt man das "falsche" 1/3 wird die Aufgabe als falsch gelöst angezeigt.

    Von Manuela Jason, vor 2 Monaten
  5. primaaaaaaaaaa

    Von Edom T., vor 8 Monaten
  1. schade das es nur 1 Aufgabe gibt

    Von Mone Faber, vor fast 2 Jahren
  2. Besser als die Schule prima

    Von Ielazab, vor etwa 2 Jahren
  3. okay
    aber wenn es unechte bruch ist warum erklärt es nicht wie man damit umgehen . wenn der Zähler grösser ist als die Nenner dann spricht von unechte Bruch . Muss von der Zähler das Nenner subtrahieren und der Rest in der Zähler schreiben .Dann wird 1Ganze 29/36
    oder wird es im eine andere Video erklärt ? :)

    Von Tiktak Taktik, vor mehr als 2 Jahren
  4. ich hab's gleich verstanden und es wurde echt alles super erklärt

    Von Thomas K., vor mehr als 2 Jahren
  5. sehr schön beschrieben

    Von Roncevic, vor fast 4 Jahren
  6. @Domiracin:
    Schau dir dazu das folgende Video an:
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/groessenvergleich-bei-bruechen-teil-2-kuerzen-und-erweitern
    Ich hoffe, dass dir das Video helfen wird.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 5 Jahren
  7. Ich finde es nicht so schön das ihr kein vidio von
    Erweitere so, dass gleichnamige Brüche entstehen

    Von Deleted User 224748, vor fast 5 Jahren
  8. war cool und lustig

    Von Bozena Fournier, vor fast 5 Jahren
  9. Erster !
    Hat mir gefallen

    Von Cb Energie, vor etwa 5 Jahren
Mehr Kommentare

ggT und kgV in der Bruchrechnung – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video ggT und kgV in der Bruchrechnung – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, was Kürzen und Erweitern bedeutet.

    Tipps

    Sowohl das Kürzen als auch das Erweitern ändert den Wert des Bruches nicht.

    Hier siehst du ein Beispiel für das Kürzen eines Bruches. Du kennst das vielleicht auch so, dass du einen gemeinsamen Faktor in Zähler und Nenner „wegstreichen“ kannst.

    Erweitern ist sozusagen die Umkehrung von Kürzen.

    Lösung

    Wenn du mit Brüchen rechnest, musst du diese je nach Aufgabe häufig kürzen oder erweitern. Was bedeutet das?

    Kürzen heißt, dass du in einem Bruch sowohl den Zähler als auch den Nenner durch die gleiche Zahl dividierst. Schau dir das einmal an einem Beispiel an:

    $\frac{8}{12}=\frac{8:4}{12:4}=\frac{2}{3}$.

    Wenn du dies umkehrst, weißt du auch schon, was Erweitern bedeutet. Dieses Mal multiplizierst du sowohl Zähler als auch Nenner des Bruches mit der gleichen Zahl. Auch dies kannst du an einem Beispiel sehen:

    $\frac{4}{5}=\frac{4\cdot 6}{5\cdot 6}=\frac{24}{30}$.

    • Das Erweitern von Brüchen benötigst du zum Beispiel bei der Addition oder Subtraktion nicht gleichnamiger Brüche. Manchmal kannst du da auch kürzen.
    • Sowohl das Kürzen als auch das Erweitern ändert den Wert des Bruches nicht. Du hast beide Male geschickt mit $1$ multipliziert.
  • Ergänze die Erklärung, wie du einen Bruch kürzt.

    Tipps

    Kürzen bedeutet, den Zähler und den Nenner eines Bruches durch die gleiche Zahl zu dividieren. Hier siehst du ein Beispiel:

    $\frac{15}{30}=\frac{15:5}{30:5} = \frac{3}{6}$.

    Verwende die Primfaktorzerlegung, um bspw. den $\text{ggT}$ zu finden:

    $\begin{array}{llllllll} 36 & = & 2\cdot 2\cdot~ & 3\cdot 3 \\ 48 & = & 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot~ &3 \end{array}$

    Der $\text{ggT}$ ist dann $2\cdot 2\cdot 3 = 12$

    Lösung

    Dieser Bruch soll so weit wie möglich gekürzt werden. Dazu musst du den Zähler und den Nenner so lange durch dieselbe Zahl dividiert werden, wie es möglich ist.

    • Da sowohl der Zähler als auch der Nenner gerade ist, kannst du mit $2$ kürzen. Du erhältst $\frac{36}{48}$ $=\frac{36:2}{48:2}$ $=\frac{18}{24}$.
    • Auch diesen Bruch kannst du noch einmal mit $2$ kürzen. Das ergibt $\frac{18}{24}=\frac{18:2}{24:2}=\frac{9}{12}$.
    • In diesem Bruch kommt der Faktor $3$ sowohl im Zähler als auch im Nenner vor. Deshalb kürzt du mit $3$. Das ergibt $\frac{3}{4}$.
    • Diesen Bruch kannst du nicht weiter kürzen. Du bist fertig.
    Pit mault herum, denn das dauert ihm wirklich zu lange. Er möchte nun wissen, ob das auch einfacher geht.

    Die Antwort ist: „Ja!“. Du bestimmst den größten gemeinsamen Teiler von $36$ und $48$. Du schreibst dafür $\text{ggT}(36;48)$. Anschließend kürzt du mit diesem.

    Um den $\text{ggT}$ zu finden, verwendest du die Primfaktorzerlegung:

    $\begin{array}{llllllll} 36 & = & 2\cdot 2\cdot~ & 3\cdot 3 \\ 48 & = & 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot~ &3 \end{array}$

    Nun multiplizierst du die Faktoren, die in beiden Zerlegungen vorkommen, miteinander. Es gilt $\text{ggT}(36;48)=2\cdot 2\cdot 3=12$. Nun kürzt du den Bruch $\frac{36}{48}$ mit $12$:

    $\frac{36:12}{48:12}=\frac{3}{4}$.

    Jetzt ist auch Pit glücklich und überlegt, ob er Bruchrechnung nicht doch mag.

  • Berechne die Summe der beiden Brüche.

    Tipps

    Erweitern bedeutet, dass du den Zähler und den Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl multiplizierst.

    Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier (oder mehr) Zahlen bestimmst du mit Hilfe der Primfaktorzerlegung:

    • $8=2\cdot 2\cdot2$
    • $12=2\cdot 2\cdot3$
    Nun multiplizierst du alle Faktoren miteinander. Betrachte dazu jeden Faktor einzeln. Kommt dieser Faktor auch in der anderen Zerlegung vor, streichst du ihn dort durch.

    Das ergibt $2\cdot 2\cdot 2 \cdot 3$.

    Schau dir ein Beispiel für das kleinste gemeinsame Vielfache an. Es soll $\text{kgV}(6;8)$ bestimmt werden:

    • $6=2\cdot 3$
    • $8=2\cdot2\cdot 2$
    Auch hier betrachtest du jeden Faktor einzeln.

    • Die $2$ aus der Zerlegung von $6$ wird hinzugenommen. Streiche eine der $2$en aus der Zerlegung von $8$.
    • Auch die $3$ aus der Zerlegung von $6$ wird hinzugenommen.
    • Aus der Zerlegung von $8$ werden die beiden übrigen $2$en hinzugenommen.
    Du erhältst $\text{kgV}(2\cdot 3\cdot 2\cdot 2) = 24$.

    Lösung

    Du kannst Brüche nur dann addieren, wenn sie gleichnamig sind. Das bedeutet, dass sie den gleichen Nenner haben. Wenn du eine Addition siehst, bei der das nicht so ist, musst du vorher einen gemeinsamen Nenner finden.

    Ein solcher Nenner wird auch Hauptnenner genannt.

    Du bestimmst das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner. Zunächst schreibst du deren Primfaktorzerlegung auf:

    • $8=2\cdot 2\cdot2$
    • $12=2\cdot 2\cdot3$
    Du kannst nun die Faktoren der oberen Zahl schon einmal aufschreiben. Von der unteren Zahl nimmst du nur solche Faktoren, welche noch nicht in der oberen vorkommen. Dabei wird jeder Faktor einzeln betrachtet:

    $\text{kgV}(8;12)=2\cdot 2\cdot2\cdot 3=24$

    Dies ist der gesuchte Hauptnenner. Du erweiterst jetzt jeden der beiden Summanden so, dass er den Hauptnenner $24$ hat:

    • $\frac{7}{8}=\frac{7\cdot 3}{8\cdot 3}=\frac{21}{24}$
    • $\frac{5}{12}=\frac{5\cdot 2}{12\cdot 2}=\frac{10}{24}$
    Du kannst die jeweilige Erweiterungszahl finden, indem du den Hauptnenner (hier $24$) durch den ursprünglichen Nenner des Bruchs teilst.

    Nun sind die beiden Brüche gleichnamig. Du kannst jetzt die Zähler addieren und den Nenner beibehalten. Schließlich erhältst du:

    $\frac{7}{8}+\frac{5}{12}=\frac{21}{24}+\frac{10}{24}=\frac{21+10}{24}=\frac{31}{24}$

    Du kannst diesen Bruch noch als gemischten Bruch schreiben. Das ergibt $1\frac{7}{24}$.

  • Berechne die Lösung.

    Tipps

    Denk daran: Der Zähler steht im Bruch oberhalb und der Nenner unterhalb des Bruchstrichs.

    Der Hauptnenner ist $24$.

    Du addierst oder subtrahierst gleichnamige Brüche, indem du die Zähler addierst oder subtrahierst. Den gemeinsamen Nenner behältst du bei.

    Lösung

    Um diese knifflige Aufgabe zu lösen, musst du zunächst den Hauptnenner der drei Brüche bestimmen. Dieser ist $24$.

    • Erweitere den Bruch links mit $3$ zu $\frac{5}{8}=\frac{5\cdot 3}{8\cdot 3}=\frac{15}{24}$.
    • Erweitere den Bruch in der Mitte mit $2$. Du erhältst dann $\frac{5}{12}=\frac{5\cdot 2}{12\cdot 2}=\frac{10}{24}$.
    • Zuletzt erweiterst du den Bruch ganz rechts mit $4$ zu $\frac{1}{6}=\frac{1\cdot 4}{6\cdot 4}=\frac{4}{24}$.
    Nun sind alle Brüche gleichnamig und du kannst die Zähler addieren oder subtrahieren:

    $\frac{5}{8}+\frac{5}{12}-\frac{1}{6}=\frac{15}{24}+\frac{10}{24}-\frac{4}{24}=\frac{15+10-4}{24}=\frac{21}{24}$

    Du bist allerdings noch nicht fertig. Denk daran, was Pit gesagt hat: Das Ergebnis muss gekürzt werden. Zähler und Nenner haben den Faktor $3$ gemeinsam. Diesen kannst du also kürzen:

    $\frac{21}{24}=\frac{21:3}{24:3}=\frac{7}{8}$

    Nun bist du fertig. Super!

  • Prüfe, ob Pit richtig gekürzt und erweitert hat.

    Tipps

    Merke dir:

    • Beim Kürzen dividierst du Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl.
    • Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl.

    Hier siehst du jeweils ein Beispiel:

    • Kürzen: $\frac{18}{15}=\frac{18:3}{15:3}=\frac{6}{5}$
    • Erweitern: $\frac{6}{5}=\frac{6\cdot 4}{5\cdot 4}=\frac{24}{20}$
    Lösung

    In dieser Aufgabe sollst du die Lösungen von Pit kontrollieren. Mit vier richtigen Aufgaben wird er in den Matheclub aufgenommen.

    Wir beginnen mit den drei Aufgaben zum Kürzen:

    • $\frac{8}{6}=\frac{8:2}{6:2}=\frac{4}{3}$ Diese Aufgabe hat Pit richtig gerechnet.
    • $\frac{12}{15}=\frac{12:3}{15:3}=\frac{4}{5}$ Wieder richtig.
    • $\frac{14}{21}=\frac{14:7}{21:7}=\frac{2}{3}$ Pit hat das Kürzen wohl sehr ordentlich geübt. Hier hat er alle Aufgaben richtig gerechnet.
    Nun folgen die drei Aufgaben zum Erweitern:

    • Pit soll jeweils mit $3$ erweitern $\frac{3}{2}=\frac{3\cdot 3}{2\cdot 3}=\frac{9}{6}$ Oh, da hat Pit sich beim Nenner vertan.
    • $\frac{1}{5}=\frac{1\cdot 3}{5\cdot 3}=\frac{3}{15}$ Super, das hat Pit richtig toll gemacht. Die Aufnahme hat er ja bereits geschafft. Wie sieht es mit der letzten Aufgabe aus?
    • $\frac{5}{7}=\frac{5\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{15}{21}$ Und wieder richtig.
    Pit hat von den sechs Aufgaben fünf richtig gerechnet. Nun ist Pit Mitglied im Matheclub.

  • Ermittle das Ergebnis der Additionsaufgabe $\frac{3}{8} + \frac{6}{18}.$

    Tipps

    Kürzen kannst du immer Faktoren, welche sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen.

    Wenn zwei Brüche gleichnamig sind, kannst du sie addieren, indem du die Zähler addierst. Den Nenner behältst du bei. Schau dir ein Beispiel dazu an:

    $\frac{7}{5}+\frac{3}{5}=\frac{7+3}{5}=\frac{10}{5}$.

    Den Bruch $\frac{10}{5}$ kannst du noch kürzen:

    $\frac{10}{5}=\frac{\not 5\cdot 2}{\not 5\cdot 1}=\frac{2}{1}=2$.

    Lösung

    Diese beiden Brüche sollen addiert werden. Schau einmal ganz genau hin. Siehst du, was Pit gesehen hat? Der zweite Summand kann gekürzt werden:

    $\frac{6}{18}=\frac{6:6}{18:6}=\frac13$.

    Achte immer darauf, ob du vielleicht kürzen kannst. Das vereinfacht die folgende Rechnung.

    Lisa bestimmt den Hauptnenner. Da $8$ und $3$ keine gemeinsamen Faktoren haben, erhältst du den Hauptnenner als Produkt der beiden Nenner:

    $8\cdot 3=24$.

    Nun ist Friedrich an der Reihe:

    • Er erweitert den linken Summanden mit $3$ und erhält so $\frac{3}{8}=\frac{3\cdot 3}{8\cdot 3}=\frac{9}{24}$.
    • Den zweiten Summanden erweitert er mit $8$ zu $\frac{1}{3}=\frac{1\cdot 8}{3\cdot 8}=\frac{8}{24}$.
    Fast wie im Chor können die drei jetzt das Ergebnis sagen:

    $\frac{3}{8}+\frac{6}{18}=\frac{9}{24}+\frac{8}{24}=\frac{17}{24}$.