Funktionsgraph zur Funktionsgleichung y=x+2

Funktionsgraph zur Funktionsgleichung y=x+2 Übung

• Vervollständige die Wertetabelle zu der Funktionsgleichung $y=x+2$.

  Tipps

  Setze die $x$-Werte in die Funktionsgleichung $y=x+2$ und berechne den zugehörigen $y$-Wert.

  Sieh dir die Berechnung des $y$-Wertes zu $x=7$ an:

  $y=7+2=9$

  Lösung

  Wir vervollständigen die Wertetabelle, indem wir die fehlenden $y$-Werte zu den gegebenen $x$-Werten berechnen. Hierzu setzen wir die $x$-Werte in die Funktionsgleichung $y=x+2$ ein und berechnen den zugehörigen $y$-Wert. So erhalten wir die folgende Wertetabelle:

  $\begin{array}{c|rrr} x & x+2 & = & y \\ \hline -4 & -4+2 &=& -2 \\ -3 & -3+2 &=& -1 \\ -2 & -2+2 &=& 0 \\ -1 & -1+2 &=& 1 \\ 0 & 0+2 &=& 2 \\ 1 & 1+2 &=& 3 \end{array}$

• Zeige alle Funktionsgraphen zu der Funktionsgleichung $y=x+2$ auf.

  Tipps

  Erstelle zunächst eine Wertetabelle, indem du zu verschiedenen $x$-Werten die zugehörigen $y$-Werte berechnest.

  Überprüfe, welche der Geraden durch die berechneten Punkte der Funktionsgleichung $y=x+2$ verlaufen.

  Lösung

  Wenn du den Graphen zu einer Funktionsgleichung zeichnen möchtest, ist es sinnvoll zunächst eine Wertetabelle zu dieser Funktionsgleichung zu erstellen. Daher setzen wir nun einige $x$-Werte in die Funktionsgleichung $y=x+2$ ein und berechnen die zugehörigen $y$-Werte:

  $\begin{array}{c|rrr} x & x+2 & = & y \\ \hline -4 & -4+2 &=& -2 \\ -3 & -3+2 &=& -1 \\ -2 & -2+2 &=& 0 \\ -1 & -1+2 &=& 1 \\ 0 & 0+2 &=& 2 \\ 1 & 1+2 &=& 3 \end{array}$

  Diese Punkte können wir nun in ein Koordinatensystem eintragen und die Gerade durch diese Punkte zeichnen. So erhalten wir die hier abgebildete Gerade. Folgende Abbildungen stellen genau diese Gerade dar:

  • Gerade 3
  • Gerade 5

  Der einzige Unterschied ist hierbei die Skalierung der Koordinatenachsen.

• Ermittle die Punkte der jeweiligen Funktionsgleichungen.

  Tipps

  Setze die $x$-Werte der Punkte in die Funktionsgleichungen ein und berechne die zugehörigen $y$-Werte. Einen Punkte gibst du wie folgt an:

  $(x\vert y)$

  Lösung

  Wir berechnen die Punkte einer Funktionsgleichung, indem wir in die Funktionsgleichung einen $x$-Wert einsetzen und den zugehörigen $y$-Wert bestimmen. So können wir den Funktionsgleichungen folgende Punkte zuordnen:

  Gleichung $~y=x-5$

  • $(1\vert -4)$, da $y=1-5=-4$
  • $(3\vert -2)$, da $y=3-5=-2$
  • $(4\vert -1)$, da $y=4-5=-1$
  • $(0\vert -5)$, da $y=0-5=-5$
  • $(-1\vert -6)$, da $y=-1-5=-6$

  Gleichung $~y=x+4$

  • $(1\vert 5)$, da $y=1+4=5$
  • $(2\vert 6)$, da $y=2+4=6$
  • $(3\vert 7)$, da $y=3+4=7$
  • $(0\vert 4)$, da $y=0+4=4$
  • $(-2\vert 2)$, da $y=-2+4=2$
  • $(-5\vert -1)$, da $y=-5+4=-1$

  Gleichung $~y=x-2$

  • $(1\vert -1)$, da $y=1-2=-1$
  • $(2\vert 0)$, da $y=2-2=0$
  • $(-1\vert -3)$, da $y=-1-2=-3$
  • $(-3\vert -5)$, da $y=-3-2=-5$

• Erschließe die Funktionsgleichungen der jeweiligen Funktionsgraphen.

  Tipps

  Wähle einen Punkt auf einer Geraden, durch den nur diese eine Gerade verläuft, und überprüfe, welche Funktionsgleichung dieser Punkt erfüllt. Der Punkt $(-1\vert 0)$ erfüllt beispielsweise die Funktionsgleichung $y=2x+2$, denn $y=2\cdot (-1)+2=-2+2=0$.

  Hat die Funktionsgleichung die Form $y=mx+b$ mit $b=0$, so verläuft die zugehörige Gerade durch den Koordinatenursprung.

  Lösung

  Wir betrachten einige Punkte, durch die die gegebenen Geraden jeweils verlaufen, und überprüfen, welche der Funktionsgleichungen diese Punkte liefern. So erhalten wir die folgende Zuordnung:

  Gerade 1

  Diese Gerade verläuft durch folgende Punkte:

  • $(-1\vert -2)$
  • $(0\vert 0)$
  • $(1\vert 2)$
  • $(2\vert 4)$

  Diese Punkte erfüllen die Funktionsgleichung $y=2x$, wir erhalten nämlich:

  • $y=2\cdot (-1)=-2$
  • $y=2\cdot 0=0$
  • $y=2\cdot 1=2$
  • $y=2\cdot 2=4$

  Gerade 2

  Auf dieser Geraden liegen folgende Punkte:

  • $(-3\vert -2)$
  • $(-2\vert 0)$
  • $(-1\vert 2)$
  • $(0\vert 4)$

  Diese Punkte erfüllen die Funktionsgleichung $y=2x+4$:

  • $y=2\cdot (-3)+4=-2$
  • $y=2\cdot (-2)+4=0$
  • $y=2\cdot (-1)+4=2$
  • $y=2\cdot 0+4=4$

  Gerade 3

  Die Gerade verläuft durch folgende Punkte:

  • $(-4\vert 0)$
  • $(-2\vert 1)$
  • $(0\vert 2)$
  • $(2\vert 3)$

  Diese Punkte erfüllen die Funktionsgleichung $y=\frac 12 x+2$:

  • $y=\frac 12 \cdot (-4)+2=0$
  • $y=\frac 12 \cdot (-2)+2=1$
  • $y=\frac 12 \cdot (0)+2=2$
  • $y=\frac 12 \cdot (2)+2=3$

  Gerade 4

  Auf dieser Geraden liegen folgende Punkte:

  • $(-4\vert -2)$
  • $(-2\vert -1)$
  • $(0\vert 0)$
  • $(2\vert 1)$

  Diese Punkte erfüllen die Funktionsgleichung $y=\frac 12 x$:

  • $y=\frac 12 \cdot (-4)=-2$
  • $y=\frac 12 \cdot (-2)=-1$
  • $y=\frac 12 \cdot 0=0$
  • $y=\frac 12 \cdot 2=1$

• Bestimme die Punkte, die auf dem Graphen der Funktionsgleichung $y=x+2$ liegen.

  Tipps

  Den $x$-Wert der Punkte liest du an der horizontalen Achse ab. Den zugehörigen $y$-Wert kannst du an der vertikalen Achse ablesen.

  Die korrekten Punkte liegen alle auf einer Geraden.

  Lösung

  Wenn du den Graphen zu einer Funktionsgleichung zeichnen möchtest, ist es sinnvoll zunächst eine Wertetabelle zu dieser Funktionsgleichung zu erstellen. Daher setzen wir nun einige $x$-Werte in die Funktionsgleichung $y=x+2$ ein und berechnen die zugehörigen $y$-Werte:

  $\begin{array}{c|rrr} x & x+2 & = & y \\ \hline -4 & -4+2 &=& -2 \\ -3 & -3+2 &=& -1 \\ -2 & -2+2 &=& 0 \\ 0 & 0+2 &=& 2 \\ 1 & 1+2 &=& 3 \end{array}$

  Also sind folgende Punkte $(x\vert y)$ korrekt in das Koordinatensystem eingezeichnet:

  • $(-3\vert -1)$
  • $(-2\vert 0)$
  • $(0\vert 2)$
  • $(1\vert 3)$
  • $(2\vert 4)$

• Untersuche die Eigenschaften der Graphen der jeweiligen Funktionsgleichungen.

  Tipps

  Zeichne in ein Koordinatensystem die Gerade zu der Funktionsgleichung $y=x+2$ und die Vergleichsgerade ein. Überprüfe dann, worin sich die beiden Geraden unterscheiden.

  Die allgemeine Form einer Geradengleichung lautet $y=mx+b$. Dabei ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ der $y$-Achsenabschnitt, also die Stelle, an der die Gerade die $y$-Achse schneidet. Für die Steigung gilt:

  • Je größer der Betrag der Steigung ist, desto steiler ist die Gerade.
  • Eine negative Steigung liefert eine fallende Gerade. Ist die Steigung positiv, so ist die Gerade steigend.

  Lösung

  Die allgemeine Form einer Geradengleichung lautet $y=mx+b$. Dabei ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ der $y$-Achsenabschnitt, also die Stelle, an der die Gerade die $y$-Achse schneidet. Für die Steigung gilt:

  • Je größer der Betrag der Steigung ist, desto steiler ist die Gerade.
  • Eine negative Steigung liefert eine fallende Gerade. Ist die Steigung positiv, so ist die Gerade steigend.

  So können wir nun die jeweiligen Geraden mit der Gerade zu $y=x+2$ vergleichen.

  Größere Steigung

  Die Gerade zu $y=2x+2$ verläuft im Vergleich zu der Geraden zu $y=x+2$ steiler, da $2$ eine größere Steigung ist als $1$.

  Unterschiedlicher $y$ -Achsenabschnitt

  Die Gerade zu $y=x+4$ verläuft im Vergleich zu der Geraden zu $y=x+2$ durch $(0\vert 4)$, da hier $b=4$ statt $b=2$ ist.

  Kleinere Steigung

  Die Gerade zu $y=\frac 12x+2$ verläuft im Vergleich zu der Geraden zu $y=x+2$ flacher, da $\frac 12$ eine kleinere Steigung ist als $1$.

  Negative Steigung

  Die Gerade zu $y=-x+2$ verläuft im Vergleich zu der Geraden zu $y=x+2$ fallend, da $-1$ negativ, aber betragsmäßig genauso groß ist wie $1$.