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Funktionsgleichungen

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Funktionsgleichungen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Funktionsgleichungen

Eine Funktionsgleichung ist eine Gleichung, deren linke Seite aus der Variablen y besteht (so heißt meistens die abhängige Variable) und deren rechte Seite aus dem Funktionsterm mit der Variablen x besteht (so heißt meistens die unabhängige Variable). Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Wir können für die Variable x eine Zahl einsetzen. Dieser Zahl wird dann durch die Funktion eine weitere Zahl zugeordnet. Bestimmen wir das Ergebnis des Funktionsterms, erhalten wir einen Wert für y, und das ist die Zahl, die zugeordnet wird. Die Funktionsgleichung bestimmt, welche Zahlen zugeordnet werden. Im Video sehen wir uns zunächst die Erklärung der Funktionsgleichung an und schauen uns dann noch an, welche Funktionsgleichungen es sonst noch gibt.

8 Kommentare

8 Kommentare
  1. 😂 hahaha love it 👍

    Von Tamara B., vor 6 Monaten
  2. der joke hat gekillt bro

    Von Stellaaaaaaaa, vor mehr als einem Jahr
  3. Wallha Geiles video

    Von Ricky1012, vor etwa 2 Jahren
  4. Super gutes Video!

    Von Paul O., vor mehr als 2 Jahren
  5. LOL war aber gut erklärt ich finds gut ,dass sie immer so kurze Videos machen so kann man es besser verstehen,thx

    Von Flora R., vor etwa 3 Jahren
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Funktionsgleichungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Funktionsgleichungen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe was eine Funktionsgleichung ist.

    Tipps

    Man kann bei einer Funktionsgleichung einen Wert für die unabhängige Variable in den jeweiligen Funktionsterm einsetzen und anschließend den zugehörigen Wert für die abhängige Variable berechnen.

    Eine Funktionsgleichung setzt sich wie folgt zusammen:

    abhängige Variable $=$ Funktionsterm.

    Lösung

    Eine Funktionsgleichung ist die Gleichung einer Funktion. Diese enthält eine abhängige und eine unabhängige Variable. Am Beispiel der Funktionsgleichung $y=2x+1$ mit dem Funktionsterm $2x+1$ können wir diese Eigenschaft untersuchen.

    Wir können einen beliebigen $x$-Wert in den Funktionsterm der Funktionsgleichung einsetzen. Daher ist diese Variable unabhängig. Der Wert, den wir für die Variable $y$ erhalten, ist davon abhängig, was wir für die Variable $x$ einsetzen. Also ist $y$ die abhängige Variable.

  • Berechne die gesuchten $y$-Werte der Funktionsgleichung.

    Tipps

    Beachte, dass du Punkt- vor Strichrechnung durchführst.

    Betrachtet man die Funktionsgleichung $y=5x-1$, so erhält man für $x=3$ folgende Rechnung:

    $ \begin{array}{lll} y &=& 5\cdot 3-1 \\ &=& 15-1 \\ &=& 14 \end{array} $

    Lösung

    Es ist die Funktionsgleichung $y=2x+1$ gegeben. Wir möchten die $y$-Werte, die den $x$-Werten $3$ und $-4$ zugeordnet sind, berechnen. Hierzu setzen wir die jeweiligen $x$-Werte in den Funktionsterm der Funktionsgleichung ein und berechnen den $y$-Wert. Es folgt:

    $ \begin{array}{llll} \\ x=3: &y &=& 2\cdot 3+1 \\ & &=& 6+1 \\ & &=& 7 \\ \\ x=-4: &y &=& 2\cdot (-4)+1 \\ & &=& -8+1 \\ & &=& -7 \end{array} $

  • Bestimme für die gegebenen $x$-Werte die zugehörigen $y$-Werte der Funktionsgleichung $y=4x-2$.

    Tipps

    Du musst die gegebenen $x$-Werte in die Funktionsgleichung einsetzen und den jeweiligen $y$-Wert berechnen. Beachte dabei, dass du zuerst die Punktrechnung durchführst.

    Beispiel: Für $x=-10$ erhältst du folgenden $y$-Wert:

    $ \begin{array}{lll} y &=& 4\cdot (-10)-2 \\ &=& -40-2 \\ &=& -42 \end{array} $

    Lösung

    Wir möchten für einige $x$-Werte die zugehörigen $y$-Werte der Funktionsgleichung $y=4x-2$ berechnen. Hierzu setzen wir einen $x$-Wert in die Funktionsgleichung ein und berechnen den jeweiligen $y$-Wert. Für die gegebenen $x$-Werte erhalten wir die folgenden Berechnungen für die zugehörigen $y$-Werte:

    $ \begin{array}{llll} \\ x=-1: & y &=& 4\cdot (-1)-2 \\ & &=& -4-2 \\ & &=& -6 \\ \\ x=0: & y &=& 4\cdot 0-2 \\ & &=& 0-2 \\ & &=& -2 \\ \\ x=1: & y &=& 4\cdot 1-2 \\ & &=& 4-2 \\ & &=& 2 \\ \\ x=2: & y &=& 4\cdot 2-2 \\ & &=& 8-2 \\ & &=& 6 \\ \end{array} $

  • Erläutere die Eigenschaften von Funktionsgleichungen.

    Tipps

    Der Funktionsterm einer Funktionsgleichung enthält die unabhängige Variable.

    Die Funktionsgleichung $y=4x+2$ ist die Gleichung einer linearen Funktion. Möchte man den $y$-Wert zu einem $x$-Wert berechnen, so setzt man den Wert für $x$ in den Funktionsterm ein und berechnet den Wert für $y$.

    Die unabhängige Variable ist im Funktionsterm enthalten.

    Lösung

    Wir betrachten im Folgenden die allgemeine Funktionsgleichung $y=mx+b$ einer linearen Funktion.

    Die Funktionsgleichung ist eine mathematische Vorschrift, mit der man die abhängige Variable $y$ aus der unabhängigen Variablen $x$ berechnen kann. Dabei gilt:

    • Funktionsgleichung: $y=mx+b$,
    • Funktionsterm: $mx+b$,
    • unabhängige Variable: $x$ und
    • abhängige Variable: $y$.
    Demnach setzt sich eine Funktionsgleichung wie folgt zusammen:

    abhängige Variable $=$ Funktionsterm.

  • Beschrifte die gegebene Funktionsgleichung.

    Tipps

    In einer Funktionsgleichung wird die abhängige Variable mit dem jeweiligen Funktionsterm gleichgesetzt.

    Der $y$-Wert ist abhängig von dem in die Funktionsgleichung eingesetzten $x$-Wert.

    Lösung

    Jede Funktionsgleichung besitzt einen Funktionsterm. Dieser enthält die unabhängige Variable und wird mit der abhängigen Variablen gleichgesetzt. Die Funktionsgleichung enthält somit auf einer Seite die unabhängige Variable und auf der anderen Seite den Funktionsterm. Für die Funktionsgleichung $y=2x+1$ folgt dann:

    • Funktionsgleichung: $y=2x+1$,
    • Funktionsterm: $2x+1$,
    • unabhängige Variable: $x$,
    • abhängige Variable: $y$.
  • Entscheide, um welche Funktionsart es sich bei den gegebenen Funktionsgleichungen handelt.

    Tipps

    Der Exponent wird rechts über eine Zahl geschrieben und gibt an, wie oft die Zahl mit sich selbst multipliziert wird. In einer Exponentialfunktion steht die unabhängige Variable im Exponenten.

    In einer quadratischen Funktion steht eine kleine $2$ als Exponent rechts über der unabhängigen Variablen.

    Eine lineare Funktion lautet allgemein $y=mx+b$. Die Summanden $mx$ und $b$ kannst du vertauschen. Zudem kann $b$ auch manchmal gleich null sein.

    Lösung

    Wir betrachten hier sechs Funktionsgleichungen, welchen wir die jeweilige Funktionsart zuordnen sollen. Dabei sind die folgenden drei Funktionsarten gegeben:

    Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet allgemein $y=mx+b$. Die Summanden $mx$ und $b$ können wir vertauschen. Zudem kann $b$ auch gleich null sein. Es sind also auch $y=b+mx$ und $y=mx$ lineare Funktionen.

    Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion lautet allgemein $y=ax^2+bx+c$. Die Summanden $ax^2$, $bx$ und $c$ können wir vertauschen. Zudem können $b$ und $c$ auch gleich null sein. Es sind also auch $y=ax^2+bx$, $y=ax^2+c$ sowie $y=ax^2$ quadratische Funktionen. Zudem können wir die quadratische Funktion $y=ax^2+bx$ auch in der faktorisierten Form $y=x(ax+b)$ darstellen.

    In dem Funktionsterm der Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion steht die unabhängige Variable im Exponenten einer Potenz. So kann man die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion allgemein als $y=a^x$ schreiben.

    Nun schauen wir uns einmal die gegebenen Funktionsgleichungen gemeinsam an.

    lineare Funktion

    • $y=5-6x$
    • $y=-x$
    quadratische Funktion
    • $y=5-6x^2$
    • $y=x^2-1$
    Exponentialfunktion
    • $y=2^x-1$
    • $y=3^x$

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