Funktionsgleichungen

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Grundlagen zum Thema Funktionsgleichungen
Eine Funktionsgleichung ist eine Gleichung, deren linke Seite aus der Variablen y besteht (so heißt meistens die abhängige Variable) und deren rechte Seite aus dem Funktionsterm mit der Variablen x besteht (so heißt meistens die unabhängige Variable). Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Wir können für die Variable x eine Zahl einsetzen. Dieser Zahl wird dann durch die Funktion eine weitere Zahl zugeordnet. Bestimmen wir das Ergebnis des Funktionsterms, erhalten wir einen Wert für y, und das ist die Zahl, die zugeordnet wird. Die Funktionsgleichung bestimmt, welche Zahlen zugeordnet werden. Im Video sehen wir uns zunächst die Erklärung der Funktionsgleichung an und schauen uns dann noch an, welche Funktionsgleichungen es sonst noch gibt.
Funktionsgleichungen Übung
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Beschreibe was eine Funktionsgleichung ist.
TippsMan kann bei einer Funktionsgleichung einen Wert für die unabhängige Variable in den jeweiligen Funktionsterm einsetzen und anschließend den zugehörigen Wert für die abhängige Variable berechnen.
Eine Funktionsgleichung setzt sich wie folgt zusammen:
abhängige Variable $=$ Funktionsterm.
LösungEine Funktionsgleichung ist die Gleichung einer Funktion. Diese enthält eine abhängige und eine unabhängige Variable. Am Beispiel der Funktionsgleichung $y=2x+1$ mit dem Funktionsterm $2x+1$ können wir diese Eigenschaft untersuchen.
Wir können einen beliebigen $x$-Wert in den Funktionsterm der Funktionsgleichung einsetzen. Daher ist diese Variable unabhängig. Der Wert, den wir für die Variable $y$ erhalten, ist davon abhängig, was wir für die Variable $x$ einsetzen. Also ist $y$ die abhängige Variable.
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Berechne die gesuchten $y$-Werte der Funktionsgleichung.
TippsBeachte, dass du Punkt- vor Strichrechnung durchführst.
Betrachtet man die Funktionsgleichung $y=5x-1$, so erhält man für $x=3$ folgende Rechnung:
$ \begin{array}{lll} y &=& 5\cdot 3-1 \\ &=& 15-1 \\ &=& 14 \end{array} $
LösungEs ist die Funktionsgleichung $y=2x+1$ gegeben. Wir möchten die $y$-Werte, die den $x$-Werten $3$ und $-4$ zugeordnet sind, berechnen. Hierzu setzen wir die jeweiligen $x$-Werte in den Funktionsterm der Funktionsgleichung ein und berechnen den $y$-Wert. Es folgt:
$ \begin{array}{llll} \\ x=3: &y &=& 2\cdot 3+1 \\ & &=& 6+1 \\ & &=& 7 \\ \\ x=-4: &y &=& 2\cdot (-4)+1 \\ & &=& -8+1 \\ & &=& -7 \end{array} $
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Bestimme für die gegebenen $x$-Werte die zugehörigen $y$-Werte der Funktionsgleichung $y=4x-2$.
TippsDu musst die gegebenen $x$-Werte in die Funktionsgleichung einsetzen und den jeweiligen $y$-Wert berechnen. Beachte dabei, dass du zuerst die Punktrechnung durchführst.
Beispiel: Für $x=-10$ erhältst du folgenden $y$-Wert:
$ \begin{array}{lll} y &=& 4\cdot (-10)-2 \\ &=& -40-2 \\ &=& -42 \end{array} $
LösungWir möchten für einige $x$-Werte die zugehörigen $y$-Werte der Funktionsgleichung $y=4x-2$ berechnen. Hierzu setzen wir einen $x$-Wert in die Funktionsgleichung ein und berechnen den jeweiligen $y$-Wert. Für die gegebenen $x$-Werte erhalten wir die folgenden Berechnungen für die zugehörigen $y$-Werte:
$ \begin{array}{llll} \\ x=-1: & y &=& 4\cdot (-1)-2 \\ & &=& -4-2 \\ & &=& -6 \\ \\ x=0: & y &=& 4\cdot 0-2 \\ & &=& 0-2 \\ & &=& -2 \\ \\ x=1: & y &=& 4\cdot 1-2 \\ & &=& 4-2 \\ & &=& 2 \\ \\ x=2: & y &=& 4\cdot 2-2 \\ & &=& 8-2 \\ & &=& 6 \\ \end{array} $
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Erläutere die Eigenschaften von Funktionsgleichungen.
TippsDer Funktionsterm einer Funktionsgleichung enthält die unabhängige Variable.
Die Funktionsgleichung $y=4x+2$ ist die Gleichung einer linearen Funktion. Möchte man den $y$-Wert zu einem $x$-Wert berechnen, so setzt man den Wert für $x$ in den Funktionsterm ein und berechnet den Wert für $y$.
Die unabhängige Variable ist im Funktionsterm enthalten.
LösungWir betrachten im Folgenden die allgemeine Funktionsgleichung $y=mx+b$ einer linearen Funktion.
Die Funktionsgleichung ist eine mathematische Vorschrift, mit der man die abhängige Variable $y$ aus der unabhängigen Variablen $x$ berechnen kann. Dabei gilt:
- Funktionsgleichung: $y=mx+b$,
- Funktionsterm: $mx+b$,
- unabhängige Variable: $x$ und
- abhängige Variable: $y$.
abhängige Variable $=$ Funktionsterm.
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Beschrifte die gegebene Funktionsgleichung.
TippsIn einer Funktionsgleichung wird die abhängige Variable mit dem jeweiligen Funktionsterm gleichgesetzt.
Der $y$-Wert ist abhängig von dem in die Funktionsgleichung eingesetzten $x$-Wert.
LösungJede Funktionsgleichung besitzt einen Funktionsterm. Dieser enthält die unabhängige Variable und wird mit der abhängigen Variablen gleichgesetzt. Die Funktionsgleichung enthält somit auf einer Seite die unabhängige Variable und auf der anderen Seite den Funktionsterm. Für die Funktionsgleichung $y=2x+1$ folgt dann:
- Funktionsgleichung: $y=2x+1$,
- Funktionsterm: $2x+1$,
- unabhängige Variable: $x$,
- abhängige Variable: $y$.
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Entscheide, um welche Funktionsart es sich bei den gegebenen Funktionsgleichungen handelt.
TippsDer Exponent wird rechts über eine Zahl geschrieben und gibt an, wie oft die Zahl mit sich selbst multipliziert wird. In einer Exponentialfunktion steht die unabhängige Variable im Exponenten.
In einer quadratischen Funktion steht eine kleine $2$ als Exponent rechts über der unabhängigen Variablen.
Eine lineare Funktion lautet allgemein $y=mx+b$. Die Summanden $mx$ und $b$ kannst du vertauschen. Zudem kann $b$ auch manchmal gleich null sein.
LösungWir betrachten hier sechs Funktionsgleichungen, welchen wir die jeweilige Funktionsart zuordnen sollen. Dabei sind die folgenden drei Funktionsarten gegeben:
Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet allgemein $y=mx+b$. Die Summanden $mx$ und $b$ können wir vertauschen. Zudem kann $b$ auch gleich null sein. Es sind also auch $y=b+mx$ und $y=mx$ lineare Funktionen.
Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion lautet allgemein $y=ax^2+bx+c$. Die Summanden $ax^2$, $bx$ und $c$ können wir vertauschen. Zudem können $b$ und $c$ auch gleich null sein. Es sind also auch $y=ax^2+bx$, $y=ax^2+c$ sowie $y=ax^2$ quadratische Funktionen. Zudem können wir die quadratische Funktion $y=ax^2+bx$ auch in der faktorisierten Form $y=x(ax+b)$ darstellen.
In dem Funktionsterm der Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion steht die unabhängige Variable im Exponenten einer Potenz. So kann man die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion allgemein als $y=a^x$ schreiben.
Nun schauen wir uns einmal die gegebenen Funktionsgleichungen gemeinsam an.
lineare Funktion
- $y=5-6x$
- $y=-x$
- $y=5-6x^2$
- $y=x^2-1$
- $y=2^x-1$
- $y=3^x$
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9 Kommentare
Vielen Dank für das tolle Filmchen!
😂 hahaha love it 👍
der joke hat gekillt bro
Wallha Geiles video
Super gutes Video!