Funktionsgleichungen

Funktionsgleichungen Übung

• Beschreibe was eine Funktionsgleichung ist.

  Tipps

  Man kann bei einer Funktionsgleichung einen Wert für die unabhängige Variable in den jeweiligen Funktionsterm einsetzen und anschließend den zugehörigen Wert für die abhängige Variable berechnen.

  Eine Funktionsgleichung setzt sich wie folgt zusammen:

  abhängige Variable $=$ Funktionsterm.

  Lösung

  Eine Funktionsgleichung ist die Gleichung einer Funktion. Diese enthält eine abhängige und eine unabhängige Variable. Am Beispiel der Funktionsgleichung $y=2x+1$ mit dem Funktionsterm $2x+1$ können wir diese Eigenschaft untersuchen.

  Wir können einen beliebigen $x$-Wert in den Funktionsterm der Funktionsgleichung einsetzen. Daher ist diese Variable unabhängig. Der Wert, den wir für die Variable $y$ erhalten, ist davon abhängig, was wir für die Variable $x$ einsetzen. Also ist $y$ die abhängige Variable.

• Berechne die gesuchten $y$-Werte der Funktionsgleichung.

  Tipps

  Beachte, dass du Punkt- vor Strichrechnung durchführst.

  Betrachtet man die Funktionsgleichung $y=5x-1$, so erhält man für $x=3$ folgende Rechnung:

  $ \begin{array}{lll} y &=& 5\cdot 3-1 \\ &=& 15-1 \\ &=& 14 \end{array} $

  Lösung

  Es ist die Funktionsgleichung $y=2x+1$ gegeben. Wir möchten die $y$-Werte, die den $x$-Werten $3$ und $-4$ zugeordnet sind, berechnen. Hierzu setzen wir die jeweiligen $x$-Werte in den Funktionsterm der Funktionsgleichung ein und berechnen den $y$-Wert. Es folgt:

  $ \begin{array}{llll} \\ x=3: &y &=& 2\cdot 3+1 \\ & &=& 6+1 \\ & &=& 7 \\ \\ x=-4: &y &=& 2\cdot (-4)+1 \\ & &=& -8+1 \\ & &=& -7 \end{array} $

• Bestimme für die gegebenen $x$-Werte die zugehörigen $y$-Werte der Funktionsgleichung $y=4x-2$.

  Tipps

  Du musst die gegebenen $x$-Werte in die Funktionsgleichung einsetzen und den jeweiligen $y$-Wert berechnen. Beachte dabei, dass du zuerst die Punktrechnung durchführst.

  Beispiel: Für $x=-10$ erhältst du folgenden $y$-Wert:

  $ \begin{array}{lll} y &=& 4\cdot (-10)-2 \\ &=& -40-2 \\ &=& -42 \end{array} $

  Lösung

  Wir möchten für einige $x$-Werte die zugehörigen $y$-Werte der Funktionsgleichung $y=4x-2$ berechnen. Hierzu setzen wir einen $x$-Wert in die Funktionsgleichung ein und berechnen den jeweiligen $y$-Wert. Für die gegebenen $x$-Werte erhalten wir die folgenden Berechnungen für die zugehörigen $y$-Werte:

  $ \begin{array}{llll} \\ x=-1: & y &=& 4\cdot (-1)-2 \\ & &=& -4-2 \\ & &=& -6 \\ \\ x=0: & y &=& 4\cdot 0-2 \\ & &=& 0-2 \\ & &=& -2 \\ \\ x=1: & y &=& 4\cdot 1-2 \\ & &=& 4-2 \\ & &=& 2 \\ \\ x=2: & y &=& 4\cdot 2-2 \\ & &=& 8-2 \\ & &=& 6 \\ \end{array} $

• Erläutere die Eigenschaften von Funktionsgleichungen.

  Tipps

  Der Funktionsterm einer Funktionsgleichung enthält die unabhängige Variable.

  Die Funktionsgleichung $y=4x+2$ ist die Gleichung einer linearen Funktion. Möchte man den $y$-Wert zu einem $x$-Wert berechnen, so setzt man den Wert für $x$ in den Funktionsterm ein und berechnet den Wert für $y$.

  Die unabhängige Variable ist im Funktionsterm enthalten.

  Lösung

  Wir betrachten im Folgenden die allgemeine Funktionsgleichung $y=mx+b$ einer linearen Funktion.

  Die Funktionsgleichung ist eine mathematische Vorschrift, mit der man die abhängige Variable $y$ aus der unabhängigen Variablen $x$ berechnen kann. Dabei gilt:

  • Funktionsgleichung: $y=mx+b$,
  • Funktionsterm: $mx+b$,
  • unabhängige Variable: $x$ und
  • abhängige Variable: $y$.

  Demnach setzt sich eine Funktionsgleichung wie folgt zusammen:

  abhängige Variable $=$ Funktionsterm.

• Beschrifte die gegebene Funktionsgleichung.

  Tipps

  In einer Funktionsgleichung wird die abhängige Variable mit dem jeweiligen Funktionsterm gleichgesetzt.

  Der $y$-Wert ist abhängig von dem in die Funktionsgleichung eingesetzten $x$-Wert.

  Lösung

  Jede Funktionsgleichung besitzt einen Funktionsterm. Dieser enthält die unabhängige Variable und wird mit der abhängigen Variablen gleichgesetzt. Die Funktionsgleichung enthält somit auf einer Seite die unabhängige Variable und auf der anderen Seite den Funktionsterm. Für die Funktionsgleichung $y=2x+1$ folgt dann:

  • Funktionsgleichung: $y=2x+1$,
  • Funktionsterm: $2x+1$,
  • unabhängige Variable: $x$,
  • abhängige Variable: $y$.

• Entscheide, um welche Funktionsart es sich bei den gegebenen Funktionsgleichungen handelt.

  Tipps

  Der Exponent wird rechts über eine Zahl geschrieben und gibt an, wie oft die Zahl mit sich selbst multipliziert wird. In einer Exponentialfunktion steht die unabhängige Variable im Exponenten.

  In einer quadratischen Funktion steht eine kleine $2$ als Exponent rechts über der unabhängigen Variablen.

  Eine lineare Funktion lautet allgemein $y=mx+b$. Die Summanden $mx$ und $b$ kannst du vertauschen. Zudem kann $b$ auch manchmal gleich null sein.

  Lösung

  Wir betrachten hier sechs Funktionsgleichungen, welchen wir die jeweilige Funktionsart zuordnen sollen. Dabei sind die folgenden drei Funktionsarten gegeben:

  Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet allgemein $y=mx+b$. Die Summanden $mx$ und $b$ können wir vertauschen. Zudem kann $b$ auch gleich null sein. Es sind also auch $y=b+mx$ und $y=mx$ lineare Funktionen.

  Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion lautet allgemein $y=ax^2+bx+c$. Die Summanden $ax^2$, $bx$ und $c$ können wir vertauschen. Zudem können $b$ und $c$ auch gleich null sein. Es sind also auch $y=ax^2+bx$, $y=ax^2+c$ sowie $y=ax^2$ quadratische Funktionen. Zudem können wir die quadratische Funktion $y=ax^2+bx$ auch in der faktorisierten Form $y=x(ax+b)$ darstellen.

  In dem Funktionsterm der Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion steht die unabhängige Variable im Exponenten einer Potenz. So kann man die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion allgemein als $y=a^x$ schreiben.

  Nun schauen wir uns einmal die gegebenen Funktionsgleichungen gemeinsam an.

  lineare Funktion

  • $y=5-6x$
  • $y=-x$

  quadratische Funktion

  • $y=5-6x^2$
  • $y=x^2-1$

  Exponentialfunktion

  • $y=2^x-1$
  • $y=3^x$