Funktionsarten identifizieren

Funktionsarten identifizieren Übung

• Bestimme, ob die Funktion quadratisch ist.

  Tipps

  Eine Funktion ist linear, wenn der Quotient der Differenz zweier aufeinanderfolgender $y$-Werte durch die entsprechende Differenz der aufeinanderfolgenden $x$-Werten immer gleich ist. Also

  $\frac{y_n-y_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}= \text{const}$

  Eine Funktion ist quadratisch, wenn der Quotient aus den Veränderungen der Veränderungen der $y$-Werte und den entsprechenden Veränderungen der $x$-Werte immer gleich ist.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Mithilfe der Wertetabelle kann sie die Funktionsart bestimmen. Zuerst möchte sie bestimmen, ob die Funktion nicht doch linear ist. Dazu betrachtet sie die Differenzen von aufeinanderfolgenden $x$-Werten, also:

  $x_n-x_{n-1}$

  Hier ist dies für alle betrachteten Werte gleich $1$.“

  • Aus der Wertetabelle kannst du die benötigten $x$-Werte ablesen und sie voneinander abziehen.

  „Danach berechnet sie die Differenzen von aufeinanderfolgenden $y$-Werten, also:

  $y_n-y_{n-1}$

  Für die ersten beiden Werte erhält sie:

  $y_1-y_0=1,4-1,0=0,4$ und

  $y_2-y_1=2,0-1,4=0,6$

  Die Funktion kann also nicht linear sein.“

  • Eine Funktion ist linear, wenn der Quotient der Differenz zweier aufeinanderfolgender $y$-Werte durch die entsprechende Differenz der aufeinanderfolgenden $x$-Werten immer gleich ist. Also $\frac{y_n-y_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}= \text{const}$

  „Um zu bestimmen, ob es sich um eine quadratische Funktion handelt, muss sie die Veränderungen der Veränderungen der $y$-Werte bestimmen. Für die ersten beiden Werte erhält sie hier:

  $0,6-0,4=0,2$ und

  $0,8-0,4=0,2$

  Auch wenn sie die anderen Veränderungen der $y$-Werte einsetzt, erhält sie dasselbe Ergebnis. Die Funktion ist also quadratisch.“

  • Eine Funktion ist quadratisch, wenn der Quotient aus den Veränderungen der Veränderungen der $y$-Werte und den entsprechenden Veränderungen der $x$-Werte immer gleich ist.

• Beschreibe den Vorgang beim Erkennen von Exponentialfunktionen.

  Tipps

  Einige der benötigten Werte kannst du aus der Wertetabelle ablesen.

  Mit den Werten aus der Tabelle kannst du die restlichen Werte berechnen. Zum Beispiel mit:

  $y_n-y_{n-1}$

  Lösung

  So kannst du die Lücken füllen:

  „Zuerst möchte Adrien sehen, ob die Funktion nicht doch linear ist. Dazu betrachtet er zunächst die Veränderung der $x$-Werte. Diese ist $1$.

  Anschließend sieht er sich die Veränderung der $y$-Werte an. Hier erhält er für die ersten beiden Veränderungen:

  $1,40-1,00=0,40$ und

  $1,96-1,40=0,56$

  Die Funktion kann also nicht linear sein.“

  • Hier kannst du die Lücken teilweise aus der Wertetabelle ablesen. Die restlichen Lücken kannst du mit den Formeln $x_n-x_{n-1}$ und $y_n-y_{n-1}$ berechnen. Da die Veränderung der $y$-Werte nicht konstant ist ($0,40\neq 0,56$), kann die Funktion nicht linear sein.

  „Ob die Funktion quadratisch ist, erkennt er an den Veränderungen der Veränderungen der $y$-Werte. Dafür erhält er hier:

  $0,56-0,40=0,16$ und

  $0,78-0,56=0,22$

  Die Funktion ist also auch nicht quadratisch.“

  • Da auch die Veränderung der Veränderung der $y$-Werte nicht konstant ist ($0,16\neq 0,22$), kann die Funktion ebenso wenig quadratisch sein.

  „Um zu überprüfen, ob die Funktion wirklich exponentiell ist, betrachtet Adrien die Verhältnisse aufeinanderfolgender $y$-Werte. Für die ersten beiden Verhältnisse ergibt sich:

  $\frac{1,40}{1,00}=1,40$ und

  $\frac{1,96}{1,40}=1,40$

  Auch für alle weiteren Verhältnisse der $y$-Werte ergibt sich dieser Wert. Damit ist klar, dass hier ein exponentieller Zusammenhang vorliegt.“

  • Ein exponentieller Zusammenhang liegt vor, wenn die Verhältnisse aufeinanderfolgender $y$-Werte konstant sind und die Differenzen aufeinanderfolgender $x$-Werte ebenfalls konstant sind.

• Ermittle verschiedene Kennwerte zur Bestimmung der Funktionsart.

  Tipps

  Hier gibt der Index $1$ die zweite Zeile der Tabelle an. Also $x_1=1$ und $y_2=0,5$.

  Lösung

  Du kannst die Kennwerte bestimmen, indem du die Werte aus der Tabelle abliest und anschließend in die Rechnungen einsetzt. Dabei musst du die Nummerierung der Werte beachten. Hier gibt der Index $1$ die zweite Zeile der Tabelle an. Also $x_1=1$ und $y_2=0,5$. Damit ergeben sich folgende Werte:

  Veränderungen der $x$-Werte:

  $x_2-x_{1}=1$

  $x_n-x_{n-1}=1$

  Veränderungen der $y$-Werte:

  $y_1-y_{0}=0,5$

  $y_2-y_{1}=1,5$

  $y_3-y_{2}=2,5$

  Veränderungen der Veränderungen der $y$-Werte:

  $(y_2-y_{1})-(y_1-y_{0})=1$

  $(y_3-y_{2})-(y_2-y_{1})=1$

  Quotienten aufeinanderfolgender $y$-Werte:

  $\dfrac{y_2}{y_1}=4$

  $\dfrac{y_3}{y_2}=2,25$

  Die Wertetabelle beschreibt also einen quadratischen Zusammenhang.

  • Die Funktion ist quadratisch, da die Veränderung der Veränderung der $y$-Werte konstant ist (in diesem Fall $1$). Die Bedingungen für lineare oder exponentielle Funktionen sind hingegen nicht erfüllt.

• Ermittle, welche Funktionsart durch die Wertetabelle dargestellt wird.

  Tipps

  Um zu bestimmen, welche der Tabellen welche Funktion beschreibt, musst du die Kennzahlen der Tabellen bestimmen.

  Für alle Tabellen gilt:

  $x_n-x_{n-1}=1$

  Ein exponentieller Zusammenhang muss nicht immer ansteigen. Es kann auch sein, dass eine exponentielle Funktion fällt. Das nennt man auch exponentiellen Zerfall.

  Lösung

  Um zu bestimmen, welche der Tabellen welche Funktion beschreibt, musst du die Kennzahlen der Tabellen bestimmen.

  Für alle Tabellen gilt:

  $x_n-x_{n-1}=1$

  Für die Tabelle ganz links gilt zusätzlich, dass die Differenzen der Differenzen immer gleich sind. Für die ersten beiden ergibt sich:

  $(y_2-y_{1})-(y_1-y_{0})=(2,2-0,55)-(0,55-0)=1,1$

  $(y_3-y_{2})-(y_2-y_{1})=(4,95-2,2)-(2,2-0,55)=1,1$

  Die Funktion ist also quadratisch.

  Für die zweite Tabelle von links sind die Differenzen der $y$-Werte immer gleich. Hier ergibt sich für die ersten beiden Werte:

  $y_1-y_0=0,55-0=0,55$

  $y_2-y_1=1,1-0,55=0,55$

  Diese Tabelle stellt also einen linearen Zusammenhang dar.

  Bei der zweiten Tabelle von rechts sind die Verhältnisse aufeinanderfolgender $y$-Werte konstant. Hier erhalten wir für die ersten beiden Werte:

  $\dfrac{y_1}{y_0}=\dfrac{0,55}{1}=0,55$

  $\dfrac{y_2}{y_1}=\dfrac{0,0325}{0,55}=0,55$

  Es handelt sich also um einen exponentiellen Zusammenhang. Ein exponentieller Zusammenhang muss nicht immer ansteigen. Es kann auch sein, dass eine exponentielle Funktion fällt. Das nennt man auch exponentiellen Zerfall.

  Bei der rechten Tabelle ist keiner dieser Kennwerte konstant. Hier ist also keiner der obigen Zusammenhänge erkennbar.

• Bestimme die korrekten Aussagen zum Vorgehen beim Identifizieren von Funktionsarten.

  Tipps

  $n$ bezeichnet hier eine beliebige Zeile der Wertetabelle. Zum Beispiel könnte $n=0$ die erste Zeile und $n=1$ die zweite Zeile beschreiben.

  Der Ausdruck

  $\frac{y_n-y_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}$

  heißt auch Steigung einer linearen Funktion.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Die Veränderung der $y$-Werte

  $y_n-y_{n-1}$

  nennt man auch die zweite Differenz.“

  • Diese Formel gibt die erste Differenz an.

  „Bei einer linearen Funktion gilt immer:

  $\frac{y_n-y_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}=1~^“$

  • Bei einer linearen Funktion ist dieser Bruch zwar immer konstant, allerdings nicht unbedingt gleich $1$. $n$ bezeichnet hier eine beliebige Zeile der Wertetabelle. Zum Beispiel könnte $n=0$ die erste Zeile und $n=1$ die zweite Zeile beschreiben.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Ein exponentieller Zusammenhang liegt vor, wenn die Verhältnisse aufeinanderfolgender $y$-Werte konstant sind und die Differenzen aufeinanderfolgender $x$-Werte ebenfalls konstant sind.“

  „Bei einer quadratischen Funktion sind die Veränderungen der Veränderungen der $y$-Werte immer konstant.“

  „Veränderungen aufeinanderfolgender $x$-Werte kannst du mit

  $x_n-x_{n-1}$

  bestimmen.“

• Erschließe den Funktionstyp anhand der Funktiosgleichung.

  Tipps

  Die Funktionsart kannst du bestimmen, indem du die Wertetabelle aufstellst und anschließend die entsprechenden Kennzahlen berechnest. Allerdings kannst du auch anhand der Exponenten der Variablen entscheiden, um welche Art von Funktionen es sich handelt.

  Bei einer linearen Funktion wird die abhängige Variable der Funktionsgleichung zur ersten Potenz erhoben. Auch konstante Funktionen ohne Variable sind lineare Funktionen.

  Lösung

  Die Funktionsart kannst du bestimmen, indem du die Wertetabelle aufstellst und anschließend die entsprechenden Kennzahlen berechnest. Allerdings kannst du auch anhand der Exponenten der Variablen entscheiden, um welche Art von Funktionen es sich handelt.

  Bei einer linearen Funktion wird die abhängige Variable der Funktionsgleichung zur ersten Potenz erhoben. Auch konstante Funktionen ohne Variable sind lineare Funktionen.

  Bei einer quadratischen Funktion wird die abhängige Variable der Funktionsgleichung zur zweiten Potenz erhoben.

  Bei einer Exponentialfunktion steht die abhängige Variable im Exponenten der Funktion.

  Damit ergibt sich, dass diese Aussagen falsch sind:

  „Mit $y=\dfrac{1}{x}$ wird ein exponentieller Zusammenhang beschrieben.“

  • Hier steht die Variable im Nenner eines Bruchs. Diese Funktion wird gebrochenrationale Funktion genannt.

  „$y=3^{2}$ ist eine quadratische Funktion.“

  • Zwar wird hier etwas zur zweiten Potenz erhoben, das Ergebnis ist allerdings eine Konstante. Damit ist diese Funktion linear. Das kannst du auch anhand des dir bekannten Kriteriums ($y_n-y_{n-1}=\text{const.}$) überprüfen. Bei einer konstanten Funktion liegt der einfachste mögliche Fall vor, da alle $y$-Werte gleich sind (in diesem Fall gleich $9$) - ihre Differenz ist also konstant $0$.

  Diese Aussagen sind wahr:

  „Die Funktion $y=3x-2$ beschreibt einen linearen Zusammenhang.“

  • Hier ist die Variable zur ersten Potenz erhoben.

  „$y=3x^2+4x-2$ ist eine quadratische Funktion.“

  • Man betrachtet immer den höchsten Exponenten der Funktion. Dieser ist hier $2$. Dass die Funktion damit tatsächlich quadratisch ist, lässt sich durch die Bedingung $(y_n-y_{n-1})-(y_{n-1}-y_{n-2})=\text{const.}$ überprüfen.

  „$y=3$ beschreibt einen linearen Zusammenhang.“