Exponentielles Wachstum und Verdoppelungszeit

Exponentielles Wachstum und Verdoppelungszeit Übung

• Stelle die Gleichung zur Bestimmung der Verdopplungszeit auf.

  Tipps

  Allgemein sind Exponentialfunktionen so aufgebaut:

  Die Bedeutung der Parameter:

  • $a:$ Anfangswert

  • $e:$ Eulersche Zahl ($\approx 2,7$)

  • $k:$ Wachstumsfaktor

  • $t:$ Variable der Funktion, hier die Zeit in Minuten

  Der Anfangswert muss in der Gleichung auf der rechten Seite verdoppelt werden, da nach der Verdopplungszeit gefragt wird.

  Hier ist $a=5$ und $k=2$.

  Lösung

  Man weiß, dass zu Beginn $5~g$ der Hefekultur vorhanden ist. Dies ist unser Anfangswert $a$.

  Der Wachstumsfaktor $k$ wird als $k=2$ vorgegeben.

  Daraus lässt sich folgende Funktionsgleichung für den Wachstumsprozess aufstellen:

  $f(t)=5\cdot e^{2\cdot t}$

  Wollen wir nun die Zeit $T$ ermitteln, die der Bestand der Kultur braucht, um sich zu verdoppeln, müssen wir diese Verdoppelung innerhalb einer Gleichung deutlich machen.

  Der bekannte Anfangswert wird dabei einfach mit $2$ multipliziert und wir müssen folgende Gleichung lösen:

  $5\cdot e^{2\cdot T} = 5\cdot 2$

• Berechne die Verdopplungszeit.

  Tipps

  Mit dieser Gleichung ermittelt man die Verdopplungszeit bei diesem Beispiel:

  Verwende den natürlichen Logarithmus, um die Eulersche Zahl zu eliminieren.

  Die Verdopplungszeit ist unabhängig vom Anfangswert.

  Lösung

  Die Funktionsgleichung für das exponentielle Wachstum von Hefekulturen ist uns bekannt.

  Wenn es sich verdoppeln soll, muss dies in der Gleichung erkennbar sein. Dazu wird hier der Anfangswert mit $2$ multipliziert.

  Danach wird nach $T$ aufgelöst:

  $\begin{array}{rcll} 5\cdot e^{2\cdot T} &=& 5\cdot 2&|:5 \\ e^{2\cdot T} &=&2& |~\ln (~) \\ 2\cdot T &=&ln(2)&|:2 \\ T&=&\frac{ln(2)}{2}& \\ T&\approx&0,34657& \end{array}$

  Dies ist die Verdopplungszeit in Minuten. Um sie in Sekunden zu erhalten, müssen wir sie noch mit $60$ multiplizieren:

  $T\cdot 60 \approx 21~s$

• Bestimme den Zeitpunkt, zu dem sich die Anzahl der Bakterien verdreifacht hat.

  Tipps

  Die Anfangsgröße hat keinen Einfluss auf die Verdreifachungszeit.

  Mit dieser Gleichung ermittelst du den Zeitpunkt:

  Verwende den natürlichen Logarithmus, um $e$ aus der Gleichung zu eliminieren.

  Lösung

  Die Funktionsgleichung, die das Wachstum beschreibt, ist uns bekannt.

  Da sich die Anfangsmenge $200$ der Bakterien verdreifachen soll, multiplizieren wir auf der rechten Seite der Gleichung mit $3$.

  Danach lösen wir nach $t$ auf und runden auf volle Stunden:

  $\begin{array}{rcll} 200\cdot e^{0,08\cdot t} &=&200\cdot 3&|:200 \\ e^{0,08\cdot t} &=& 3& |~\ln (~) \\ 0,08\cdot t &=& ln(3) & |:0,08 \\ t&=&\frac{ln(3)}{0,08}& \\ t &\approx&14~h& \end{array}$

  Die Anzahl der Bakterien hat sich also innerhalb von $14$ Stunden verdreifacht.

• Ermittle die Anzahl der Bakterien nach fünf Tagen.

  Tipps

  Der Funktionswert $f(t)$ ist die Menge zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$.

  Wie viele Stunden haben fünf Tage?

  Diese Funktion beschreibt das Wachstum der Bakterien:

  Berechne $f(120)$.

  Lösung

  Aus den Angaben über das Wachstum der Bakterien können wir folgende Funktionsgleichung aufstellen, die dieses Wachstum beschreibt:

  $f(t)=60\cdot e^{0,0154\cdot t}$

  Durch Einsetzen eines bestimmten Zeitpunktes kann man die Anzahl der Bakterien zu diesem Zeitpunkt bestimmen.

  Der Faktor $k$ und somit die gesamte Funktion ist auf das Wachstum pro Stunde ausgelegt. Da wir einen Zeitpunkt in Tagen untersuchen wollen, müssen wir diesen Wert vorher umrechnen.

  $5~d = 5 \cdot 24~h = 120~h$

  Wenn wir für $t=120$ in die Gleichung einsetzen, sollten wir die Anzahl der Bakterien zu diesem Zeitpunkt herausfinden können:

  $\begin{array}{rcl} f(120) & = & 60\cdot e^{0,0154 \cdot 120} \\ &=&380,827 \\ &\approx&381 \end{array}$

  Nach fünf Tagen ist die Anzahl der Bakterien also von $60$ auf nahezu $381$ gestiegen.

• Gib die Bedingung für exponentielles Wachstum an.

  Tipps

  Die Bedeutung der Parameter:

  • $a:$ Anfangswert

  • $e:$ Eulersche Zahl ($\approx 2,7$)

  • $k:$ Wachstumsfaktor

  • $t:$ Variable der Funktion, hier die Zeit

  Dies ist eine Funktion, die exponentielles Wachstum beschreibt:

  Dies ist eine Funktion, die exponentiellen Zerfall beschreibt:

  Lösung

  Bei exponentiellem Zerfall oder Wachstum spielt der Anfangswert für die Verdopplungs- bzw. Halbwertszeit keine Rolle. Hier gibt es auch nur die Vorgabe, dass der Anfangswert nicht Null sein darf.

  Die eulersche Zahl ist eine feste Konstante.

  Die Variable der Funktion ist $t$. Von ihr ist die Funktion abhängig, sie gibt die Zeit (in Sekunden, Minuten, Tagen,...) an. Der Funktionswert $f(t)$ ist dann die Menge des betrachteten Stoffes zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$.

  Übrig bleibt der Wachstumsfaktor $k$. Und wie der Name vermuten lässt, bestimmt dieser das Wachstum bzw. den Zerfall.

  Dabei gilt:

  • $k<0:$ exponentieller Zerfall

  • $k>0:$ exponentielles Wachstum

  Dies solltest du dir gut merken, da man so auf den ersten Blick entscheiden kann, ob die Exponentialfunktion Wachstum oder Zerfall beschreibt.

• Analysiere die Anzahl der Viren vor der Untersuchung.

  Tipps

  $t=0$ ist die Virenmenge zum Zeitpunkt der Untersuchung.

  $f(t)$ gibt dir die Virenmenge zu jedem bestimmten Zeitpunkt $t$ an.

  Berechne $f(-3)$.

  Lösung

  Die Wachstumsfunktion für das Wachstum pro Tag ist bekannt.

  Durch Einsetzen eines beliebigen Zeitpunktes $t$ kann man die Menge $f(t)$ zu diesem Zeitpunkt bestimmen. Das geht auch für Zeitpunkte vor dem Startpunkt.

  Wenn wir ermitteln möchten, wie viele Viren vor drei Tagen vorhanden waren, setzen wir für $t=-3$ ein.

  $\begin{array}{rcl} f(-3)&=&1700 \cdot e^{1,5\cdot (-3)} \\ &=&18,885 \\ &\approx& 19 \end{array}$

  Mit einem früheren Arztbesuch hätte sich Alex einiges ersparen können, denn vor drei Tagen hätte der Arzt $19$ Viren in seinem Blut gefunden. Er hätte die Erkältung bekämpfen können, bevor sie sich ausbreitet.