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Dreisatz bei antiproportionalen und proportionalen Zuordnungen

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Wolfgang Tews
Dreisatz bei antiproportionalen und proportionalen Zuordnungen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Dreisatz bei antiproportionalen und proportionalen Zuordnungen

Hallo! Du kennst bereits proportionale und antiproportionale Zuordnungen und möchtest wissen, wie man fehlende Größen in Zuordnungen berechnet? Dann hilft dir dieses Video sicher! Mithilfe der Dreisatzrechnung kann man bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen eine unbekannte Größe berechnen. Der Lösungsweg erfolgt in 3 Schritten, die du in diesem Video kennenlernen wirst. An mehreren Beispielen wird dir gezeigt, wie du mit den der Schritten zur Lösung gelangst und wie du den Schreibaufwand verringern kannst, indem du die Rechnung in Tabellenform durchführst.

Transkript Dreisatz bei antiproportionalen und proportionalen Zuordnungen

Hallo! Wir wollen uns heute mit dem Dreisatz bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen beschäftigen. Du solltest dazu die wesentlichsten Aussagen zu proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen kennen. Wir lernen heute, wie mit der Dreisatzrechnung unbekannte Größen bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen ermittelt werden können. Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen. Aufgabe: 4kg Bioäpfel kosten 8,40€. Wie viel kosten 6kg dieser Äpfel? Die Lösung wird in drei Sätzen notiert: Erster Satz: Notieren, was gegeben ist. 4kg kosten 8,40 Euro. Zweiter Satz: Schluss auf die Einheit. 1kg kostet 8,40€/4=2,10€. Dritter Satz: Schluss auf die unbekannte Größe. 6kg kosten 6×2,10€=12,60€.Übersetzung der Dreisatzlösung in Tabellenform. Aufgabe: Herr Schmidt tankt 40 Liter Benzin und bezahlt 64€. Frau Lose zahlt 72€. Wie viel Liter hat sie getankt? Und hier die Lösung in Tabellenform: Die Tabelle wird zuerst mit den Größen ausgefüllt. Hier Preis in € und Benzin in Liter. In der ersten Zeile werden die gegebenen Größen notiert. 64 Euro und 40 Liter. Dann kommt der Schluss auf die Einheit: 64/64=1. Da eine Proportionalität vorliegt, wird diese Operation auf beiden Seiten durchgeführt. Also: 40/64=0,625. Nun kommt der Schluss auf die gesuchte Größe. 1×72=72. Und auf der anderen Seite folgt: 0,625×72=45. Frau Lose hat also 45 Liter getankt. Aufgabe: In einer Pension kosten 5 Übernachtungen 175 Euro. Wie viel Euro kostet eine Woche? Und hier wieder die Lösung in Tabellenform: Wieder wird die Tabelle mit den Größen ausgefüllt. Hier Anzahl Nächte und Preis in Euro. In der ersten Zeile werden die gegebenen Größen notiert. Fünf Nächte und 175 Euro. Dann kommt wieder der Schluss auf die Einheit: 5/5=1. Und da eine Proportionalität vorliegt, wird diese Operation auf beiden Seiten durchgeführt, also: 175/5=35. Eine Nacht kostet also 35€. Nun kommt der Schluss auf die gesuchte Größe. 1×7=7. Und auf der anderen Seite folgt: 35×7=245. Für eine Woche sind also 245€ zu bezahlen. Der Dreisatz kann auch bei antiproportionalen Zuordnungen eingesetzt werden. Aufgabe: Ein Futtervorrat reicht bei 10 Pferden für 24 Tage. Wie lange reicht der Vorrat bei 20 Pferden? Die Lösung wird wieder in drei Sätzen notiert. Erster Satz: Notieren, was gegeben ist. Bei zehn Pferden reicht der Vorrat für 24 Tage. Zweiter Satz: Schluss auf die Einheit. Für ein Pferd reicht der Vorrat für 240 Tage. Dritter Satz: Schluss auf die unbekannte Größe. Bei zwanzig Pferden reicht der Vorrat für 240/20=12 Tage. Übersetzung der Dreisatzlösung in Tabellenform. Aufgabe: Um Bauschutt abzufahren, müssen sechs LKW vier Mal fahren. Wie oft müssen vier LKW fahren? Und hier die Lösung in Tabellenform. Auch hier wird die Tabelle zuerst mit den Größen ausgefüllt. Hier Anzahl LKW und Anzahl Fahrten. In der ersten Zeile werden die gegebenen Größen notiert. Sechs LKW und vier Fahrten. Dann kommt der Schluss auf die Einheit. 6/6=1. Und da eine Antiproportionalität vorliegt, wird die Umkehroperation auf der anderen Seite durchgeführt. Also: 4×6=24. Ein LKW müsste also 24 Mal fahren. Nun kommt der Schluss auf die gesuchte Größe: 1×4=4. Und auf der anderen Seite folgt: 24/4=6. Vier LKW müssen also sechs Mal fahren. Aufgabe: Eine Baugrube wird von sechs Baggern in 15 Stunden ausgehoben. Wie viel Zeit benötigen neun Bagger? Die Lösung in Tabellenform lautet: Die Tabelle wird wieder zuerst mit den Größen ausgefüllt. Hier: Anzahl Bagger und Zeit in Stunden. In der ersten Zeile werden die gegebenen Größen notiert: Sechs Bagger und 15 Stunden. Dann kommt der Schluss auf die Einheit: 6/6=1. Und da wieder eine Antiproportionalität vorliegt, wird die Umkehroperation auf der anderen Seite durchgeführt, also: 15×6=90. Ein Bagger benötigt 90 Stunden. Nun kommt der Schluss auf die gesuchte Größe. 1×9=9 und auf der anderen Seite folgt: 90/9=10. Neun Bagger benötigen also zehn Stunden. Wir fassen zusammen: Mit Hilfe der Dreisatzrechnung kann man bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen eine unbekannte Größe ermitteln. Der Lösungsweg erfolgt in drei Schritten. Erster Satz: Notieren, was gegeben ist. Zweiter Satz: Schluss auf die Einheit. Dritter Satz: Schluss auf die gesuchte Größe. Der Schreibaufwand kann minimiert werden, wenn man die Rechnung in Tabellen durchführt. Das war es für heute. Ich hoffe, dir hat es etwas Spaß gemacht und du hast alles verstanden! Dann bis zum nächsten Mal!

61 Kommentare

61 Kommentare
  1. Das Video war sehr hilfreich!!!
    Mir hat es gut gefallen, dass die wichtigen "Wörter" hervorgehoben wurden.
    Für mich gibt es keine verbesserungs Möglichkeiten.

    Von J Spitz, vor 5 Monaten
  2. Hallo , mir hat das Video sehr gut geholfen

    Von Doc Schulte, vor 5 Monaten
  3. Hallo Alya T., kannst du genauer sagen, was dir an diesem Video nicht gefallen hat? Wurde beispielsweise etwas deiner Ansicht nach nicht ausführlich genug erklärt? Wir freuen uns immer über Verbesserungsvorschläge.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Diem Thanh Hoang, vor 6 Monaten
  4. Nicht so gut

    Von Alya T., vor 6 Monaten
  5. Mir hat das Video gut gefallen danke

    Von Helena Donev, vor etwa einem Jahr
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Dreisatz bei antiproportionalen und proportionalen Zuordnungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Dreisatz bei antiproportionalen und proportionalen Zuordnungen kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne, wie viel 6 kg Bioäpfel kosten.

    Tipps

    Bevor du auf den Preis für $6~\text{kg}$ Bioäpfel schließen kannst, berechnest du den Preis für $1~\text{kg}$.

    Eine Sachaufgabe schließt immer mit einem Antwortsatz ab.

    Lösung

    Der Aufbau der Dreisatzform ist bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen gleich. Die Lösung erfolgt in drei Schritten:

    • Notieren, was gegeben ist
    • Schluss auf die Einheit
    • Schluss auf die gesuchte Größe
    Dadurch, dass erst auf die Einheit geschlossen wird, muss in jedem Schritt nur eine Rechnung durchgeführt werden. In dieser Aufgabe wurde zunächst der Preis für $4~\text{kg}$ Äpfel durch $4$ geteilt. Somit ergibt sich der Preis für $1~\text{kg}$ Äpfel zu $2,10$ €. Dieser Wert kann dann im nächsten Schritt mit $6$ multipliziert werden.

    Dann kann der Antwortsatz formuliert werden, der bei jeder Sachaufgabe am Ende formuliert werden muss:

    „$6~\text{kg}$ Bioäpfel kosten $12,60$ €.“

  • Bestimme, wie oft die 4 LKWs fahren müssen.

    Tipps

    Handelt es sich um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung?

    Es gilt: Je mehr LKWs im Einsatz sind, desto weniger Fahrten muss jeder einzelne LKW durchführen.

    Bei einer Antiproportionalität musst du auf der rechten Seite immer die Umkehroperation zur linken Seite durchführen.

    Die Umkehroperation zur Multiplikation ist die Division und umgekehrt.

    Lösung

    Es handelt sich hier um die Zuordnung LKWs $\rightarrow$ Fahrten.

    Es gilt dabei: Je mehr LKWs im Einsatz sind, desto weniger Fahrten muss jeder einzelne LKW durchführen. Es liegt also eine antiproportionale Zuordnung vor.

    Wird der Dreisatz bei einer Antiproportionalität angewendet, muss in jedem Rechenschritt auf der rechten Seite die Umkehroperation der Operation auf der linken Seite angewendet werden. Das liegt daran, dass das Produkt der beiden Werte bei einer antiproportionalen Zuordnung jeweils konstant sein muss.

    Die gegebenen Werte - $6$ LKWs führen jeweils $4$ Fahrten durch - ergeben ein Produkt von $24$ Beim Schluss auf die Einheit wird die Anzahl der LKWs durch $6$ geteilt. Die Umkehroperation zur Division ist die Multiplikation. Die Anzahl der Fahrten wird mit $6$ multipliziert. $1$ LKW müsste also $24$-mal fahren, um den Schutt zu beseitigen. Das Produkt der beiden Zahlen ergibt ebenfalls $24$.

    Auch im nächsten Rechenschritt wird auf der rechten Seite die Umkehroperation durchgeführt. Links wird mit $4$ multipliziert, rechts wird durch $4$ dividiert. Das Ergebnis ist, dass $4$ LKWs jeweils $6$-mal fahren müssen. Das Produkt ist wieder $24$.

    Bei einer Antiproportionalität kann man die Tabelle also auf Rechenfehler prüfen, indem man in jeder Zeile das Produkt aus beiden Werten bildet. Es muss immer den gleichen Wert ergeben.

  • Erkläre, wie du den Dreisatz in Tabellenform anwendest.

    Tipps

    Wird bei einer proportionalen Zuordnung eine Größe verdoppelt, so wird auch die andere Größe verdoppelt.

    Bevor notiert werden kann, was gegeben oder gesucht ist, muss erst klar sein, welche Größen in der Zuordnung betrachtet werden.

    Ob es sich um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung handelt, kannst du aus dem Schluss auf die Einheit herleiten.

    Lösung

    Wird zum Lösen einer Sachaufgabe zu proportionalen Zuordnungen der Dreisatz in Tabellenform verwendet, wird beim Berechnen einer Zeile auf beiden Seiten die gleiche Operation angewendet. Bei einer antiproportionalen Zuordnung wird auf der rechten Seite die Umkehroperation angewendet. Wird also links multipliziert, muss rechts dividiert werden und umgekehrt.

    Als erstes wird in der Tabelle notiert, welche Größen zu der betrachteten Zuordnung gehören.

    Erst dann werden die Werte notiert, die gegeben sind. Es folgt der Schluss auf die Einheit und anschließend der Schluss auf die gesuchte Größe. Die Lösung der Aufgabe erfolgt also in drei Sätzen. Deswegen auch Dreisatz.

    Bei dem Beispiel handelt es sich um eine Antiproportionalität. Das geht aus dem Schluss auf die Einheit hervor. Die $5$ wurde durch $5$ geteilt, damit die Größe x den Wert 1 annimmt. Auf der rechten Seite wurde mit $5$ multipliziert. Es wurde also die Umkehroperation angewendet. Somit handelt es sich um eine Antiproportionalität. In der Lücke unten rechts muss der Wert $25$ stehen. Die linke Seite wurde mit $4$ multipliziert, also muss die rechte Seite durch $4$ dividiert werden: $100 : 4 = 25$.

  • Untersuche die beiden Tabellen auf die Art der Zuordnung und die richtige Lösung.

    Tipps

    Beachte die zweite Zeile, also den Schluss auf die Einheit. Wie kannst du hier erkennen, um welche Zuordnung es sich handelt?

    Wird auf beiden Seiten die gleiche Operation angewendet, liegt eine Proportionalität vor.

    Beim Schluss auf die gesuchte Größe wendest du auch je nach Art der Zuordnung entweder auf beiden Seiten die gleiche Operation oder jeweils die Umkehroperation an.

    Lösung

    $\begin{array}{c|c} \textbf{x} & \textbf{y}\\ \hline 10 & 15\\ \hline 1 & 150\\ \hline 5 & \textbf{30} \end{array}$

    Bei dieser Tabelle handelt es sich um eine Antiproportionalität. Das ist an dem Schluss auf die Einheit in der zweiten Zeile erkennbar. Auf der linken Seite wird durch $10$ dividiert. Auf der rechten Seite wird mit $10$ multipliziert. Es wird also rechts die Umkehroperation verwendet. Somit muss es sich um eine antiproportionale Zuordnung handeln. Da bei dem Schluss auf die gesuchte Größe links mit $5$ multipliziert wird, muss auf der rechten Seite durch $5$ dividiert werden. Damit ist das Ergebnis der gesuchten Größe $30$.

    $\begin{array}{c|c} \textbf{x} & \textbf{y}\\ \hline 8 & 20\\ \hline 1 & 2,5\\ \hline 4 & \textbf{10} \end{array}$

    Hier handelt es sich um eine Proportionalität. Das ist wieder an dem Schluss auf die Einheit in der zweiten Zeile erkennbar. Auf beiden Seiten wird durch $8$ dividiert. Somit muss es sich um eine proportionale Zuordnung handeln. Also muss beim Schluss auf die gesuchte Größe auf beiden Seiten mit $4$ multipliziert werden. Somit lautet das Ergebnis $10$.

  • Beschreibe die Verwendung des Dreisatzes bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen.

    Tipps

    Aus wievielen Sätzen besteht wohl ein Dreisatz?

    Zuerst solltest du die Werte aufschreiben, die du schon kennst.

    Auf das Gesuchte schließt du als letztes.

    Lösung

    Die drei Sätze des Dreisatzes sind bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen gleich.

    • Als erstes wird notiert, was gegeben ist.
    • Dann kommt der Schluss auf die Einheit.
    • Schließlich kommt der Schluss auf die gesuchte Größe.
    Der Unterschied bei beiden Zuordnungen liegt in der Rechnung. Wird bei proportionalen Zuordnungen eine der Größen multipliziert oder dividiert, so wird die gleiche Operation auch bei der anderen Größe angewendet. Zum Beispiel: $2~\text{kg}$ Erdbeeren kosten $10~€$. Die Hälfte des Gewichtes, also $2~\text{kg} : 2 = 1~\text{kg}$, kosten dann auch die Hälfte, also $10~€ : 2 = 5~€$.

    Bei antiproportionalen Zuordnungen wird für die andere Größe stets die Umkehroperation genommen. Ein Beispiel. Fährt ein Auto im Durchschnitt $150~\text{km/h}$, so ist es in $30~\text{min}$ nach einer bestimmten Strecke am Ziel. Fährt es im Durchschnitt halb so schnell, also $150~\text{km/h} : 2 = 75~\text{km/h}$, so braucht es doppelt so lange, also $30~\text{min} \cdot 2 = 60~\text{min}$.

  • Berechne die gesuchten Größen mit dem Dreisatz in Tabellenform.

    Tipps

    Bestimme zunächst, ob es sich um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung handelt.

    Gilt je mehr, desto mehr, handelt es sich um Proportionalität. Gilt je mehr, desto weniger, liegt Antiproportionalität vor.

    Wie groß ist Klaras Schrittweite insgesamt, also nachdem zu den ursprünglichen $60~cm$ die $40~cm$ dazu kamen?

    Wie lange hat Robin insgesamt gespart?

    Wie viele Leute stehen vor Judith bei der gesuchten Größe?

    Lösung

    Zu jeder Aufgabe muss zunächst bestimmt werden, ob es sich um eine Proportionalität oder eine Antiproportionalität handelt. Dies geht zum Beispiel, indem man bestimmt, ob jeweils gilt: je mehr, desto mehr oder je mehr, desto weniger. Bei je mehr, desto mehr handelt es sich um Proportionalität und bei je mehr, desto weniger um Antiproportionalität.

    Außerdem musste bei jeder Aufgabe erst einmal erschlossen werden, welcher Wert bei dem Schluss auf die gesuchte Größe in der linken Spalte stehen muss. Dies war nicht bei allen Aufgaben direkt in der Aufgabenstellung erwähnt. Es folgen nun zu jeder Aufgabe die richtigen Antworten und Tabellen.

    • Klara. Es gilt: Je größer die Schrittweite, desto weniger Schritte braucht Klara zur Schule. Es liegt also Antiproportionalität vor. Da ihre Schrittlänge vorher $60~\text{cm}$ war und $40~\text{cm}$ größer wurde, beträgt ihre Schrittweite nun insgesamt $60~\text{cm}+40~\text{cm}=100~\text{cm}$:
    $\begin{array}{c|c} \textbf{Schrittweite in cm} & \textbf{Schritte}\\ \hline 60 & 250\\ \hline 1 & 15.000\\ \hline 100 & \textbf{150} \end{array}$

    Sie braucht in der neunten Klasse also $150$ Schritte bis zur Schule.

    • Robin. Es gilt: Je mehr Jahre vergehen, desto mehr Geld hat Robin im Sparschwein. Es liegt also Proportionalität vor. Gesucht ist der Betrag nach insgesamt $5$ Jahren, da er nach den $2$ Jahren weitere $3$ Jahre spart:
    $\begin{array}{c|c} \textbf{Jahre} & \textbf{Betrag in €}\\ \hline 2 & 300\\ \hline 1 & 150\\ \hline 5 & \textbf{750} \end{array}$

    Nach $5$ Jahren hat Robin $750~€$ gespart.

    • Hans. Es gilt: Je mehr Personen aufräumen, desto weniger Zeit nimmt das Aufräumen in Anspruch. Es liegt also Antiproportionalität vor. Gesucht ist die Zeit, die Hans alleine braucht, also eine einzelne Person:
    $\begin{array}{c|c} \textbf{Personen} & \textbf{Zeit}\\ \hline 2 & 4\\ \hline 1 & \textbf{8}\\ \end{array}$

    Hans braucht alleine $8$ Stunden zum Aufräumen. Besonders an dieser Tabelle ist, dass sie nur $3$ Zeilen hat. Nach dem Schluss auf die Einheit ist man fertig, da die Zeit für eine einzelne Person gesucht war.

    • Judith. Es gilt: Je mehr Personen vor Judith stehen, desto mehr Zeit verbringt sie wartend. Es liegt also Proportionalität vor. Gefragt ist, wie lange sie wartet, wenn $18$ Leute mehr als die ursprünglichen $15$ vor ihr stehen. Es muss also die Wartezeit für $33$ Personen in der Schlange berechnet werden:
    $\begin{array}{c|c} \textbf{Personen} & \textbf{Wartezeit in min}\\ \hline 15 & 5\\ \hline 1 & \frac{1}{3}\\ \hline 33 & \textbf{11} \end{array}$

    Judith müsste also $11$ Minuten warten.

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