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Diagonalenlängen berechnen – Satz des Pythagoras 05:10 min

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Transkript Diagonalenlängen berechnen – Satz des Pythagoras

Hey du, ja genau du. Hast du schonmal was von Pythagoras gehört? Ja genau, dem Satz des Pythagoras. Und mit seiner Hilfe kann man auch Diagonalenlängen berechnen. In diesem Video schauen wir uns an, wie wir die Flächendiagonale eines Quadrats und die Raumdiagonale eines Würfels berechnen können. Wiederholen wir dazu zunächst einmal den Satz des Pythagoras, der für rechtwinklige Dreiecke gilt. Er besagt, dass die Summe der Katheten-Quadrate gleich dem Quadrat der Hypothenuse ist. a Quadrat plus b Quadrat ist also gleich c Quadrat. Diesen Satz können wir nun verwenden, um die Diagonalenlänge in einem Quadrat zu berechnen. Betrachten wir dazu zunächst ein allgemeines Quadrat mit einer Seitenlänge a. Dieses Quadrat können wir durch eine Diagonale in zwei Dreiecke aufteilen. Da ein Quadrat nur rechte Winkel besitzt, haben wir also zwei rechtwinklige Dreiecke. Die Hypotenuse liegt immer gegenüber von dem rechten Winkel; die Diagonale ist also hier die Hypotenuse der Dreiecke. Bezeichnen wir diese mit d. Da wir ein rechtwinkliges Dreieck haben, können wir hier den Satz des Pythagoras verwenden, um die Diagonalenlänge zu berechnen. Beide Katheten besitzen die Seitenlänge a. Wir wissen daher, dass a Quadrat plus a Quadrat gleich d Quadrat ist. Das können wir zu 2 a Quadrat ist gleich d Quadrat zusammenfassen. Um die Länge der Diagonale herauszufinden, müssen wir nun also nur noch nach d auflösen. Wir können zunächst auf beiden Seiten die Wurzel ziehen. Auf der rechten Seite erhalten wir dann d. Auf der linken Seite können wir die Produktregel für Wurzeln anwenden. Wir erhalten dann für d, Wurzel aus 2 mal a. Diese Formel gilt für jedes Quadrat. Schauen wir uns dazu doch einmal ein Beispiel an und betrachten dieses Quadrat mit einer Seitenlänge von 6cm. Die Länge der Diagonalen können wir nun einfach berechnen, indem wir 6cm in die Formel einsetzen. Wir erhalten also Wurzel 2 mal 6cm und das sind ungefähr 8,49cm. Die Diagonale hat also eine Länge von ca. 8,49cm. Den Satz des Pythagoras kann man aber auch verwenden, um die Raumdiagonale in einem Würfel zu berechnen. Schauen wir uns dazu doch einen Würfel mit einer Kantenlänge a an. Die Raumdiagonale des Würfels können wir hier einzeichnen. Wir bezeichnen sie mit e. Da der Satz des Pythagoras nur für rechtwinklige Dreiecke gilt, benötigen wir als Hilfe diese Diagonale. Dann können wir uns dieses Dreieck anschauen. Der rechte Winkel davon liegt hier. Wir wissen nun, dass d Quadrat plus a Quadrat gleich e Quadrat ist. Wir ziehen nun wieder die Wurzel, damit wir e erhalten. Aber was können wir d einsetzen? Dazu betrachten wir jetzt dieses Dreieck. Wir wissen schon von der Berechnung der Diagonalen des Quadrats, dass a Quadrat plus a Quadrat gleich d Quadrat ist. Setzen wir dies für d Quadrat ein, sehen wir, dass die Wurzel aus (a Quadrat plus a Quadrat plus a Quadrat) gleich e ist. Schreiben wir diese Summe nun als Produkt, haben wir auf der linken Seite Wurzel aus 3 mal a Quadrat. Wenden wir wieder die Produktregel für Wurzeln an, erhalten wir Wurzel aus 3 mal a. Hätten wir also einen Würfel mit der Kantenlänge von 6cm so erhalten wir für die Raumdiagonale e Wurzel 3 mal 6cm, also ungefähr 10,39cm. Die Raumdiagonale des Würfels ist also ungefähr 10,39 cm lang. Beeindruckend, was man mit dem Satz des Pythagoras alles machen kann, oder? Fassen wir das doch noch einmal zusammen. In einem Quadrat kann man die Flächendiagonale mithilfe der Formel d gleich Wurzel 2 mal a berechnen. In einem Würfel kann man die Länge der Raumdiagonalen mithilfe der Formel Wurzel aus 3 mal a berechnen. Beide Formeln haben wir mithilfe des Satz des Pythagoras hergeleitet. Ziemlich schräg diese Diagonalen, oder? Tschüss!

Diagonalenlängen berechnen – Satz des Pythagoras Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Diagonalenlängen berechnen – Satz des Pythagoras kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zum Bestimmen der Länge von Diagonalen.

    Tipps

    Der Satz des Pythagoras lautet für ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $a$ und $b$ und der Hypotenuse $c$ wie folgt:

    $a^2+b^2=c^2$

    Die beiden Längen, die am rechten Winkel eines Dreiecks anliegen, heißen Katheten.

    Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, welches drei gleichlange Seiten besitzt.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Teilst du ein Quadrat entlang einer Diagonalen, dann erhältst du zwei gleichseitige Dreiecke.“

    • Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten. Das ist hier nicht der Fall. Die so entstehenden Dreiecke sind rechtwinklig und gleichschenklig.
    „Die Raumdiagonale eines Würfels kannst du durch ein Dreieck bestimmen, bei dem die Flächendiagonale eines Quadrats beiden Katheten entspricht.“

    • Die Flächendiagonale eines Quadrats spielt hier eine Rolle. Allerdings entspricht sie nur einer der beiden Katheten. Die zweite Kathete entspricht einer Seite des Würfels.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Laut dem Satz des Pythagoras ist bei einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Quadrat der Hypotenuse.“

    • So kannst du den Satz des Pythagoras in Worten ausdrücken.
    „Um die Raumdiagonale eines Würfels zu bestimmen, betrachtest du ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse der Raumdiagonalen entspricht.“

    • Diese Überlegungen helfen dir bei der Anwendung des Satz des Pythagoras.
    „Um die Raumdiagonale eines Würfels zu bestimmen, betrachtest du ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse der Raumdiagonalen entspricht.“

  • Beschreibe das Vorgehen beim Bestimmen einer Flächendiagonalen.

    Tipps

    Stellst du den Satz des Pythagoras für ein bestimmtes rechtwinkliges Dreieck auf, kannst du die Längenbezeichnungen deines Dreiecks in die Formel einsetzen.

    Die Wurzel eines Produktes kannst du einzeln auf beide Faktoren anwenden. Es gilt:

    $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a } \cdot \sqrt{b }$

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Um die Flächendiagonale eines Quadrats zu bestimmen, teilen wir es zunächst entlang einer Diagonalen in zwei rechtwinklige Dreiecke. Hier können wir jetzt den Satz des Pythagoras anwenden.“

    • Da der Satz des Pythagoras für rechtwinklige Dreiecke gilt, können wir ihn hier anwenden.
    „Er lautet für ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $a$ und $b$ und der Hypotenuse $c$ wie folgt:

    $a^2+b^2=c^2$“

    • So lautet der Satz des Pythagoras für ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten mit $a$ und $b$ und Hypotenuse mit $c$ bezeichnet sind.
    „Angewandt auf unser Dreieck mit den Seiten $a$ und $d$ können wir ihn wie folgt schreiben:

    $a^2+a^2=d^2$“

    • In unserem Dreieck heißen beide Katheten jeweils $a$ und die Hypotenuse $d$. Das können wir in die Gleichung einsetzen.
    „Das lösen wir so nach $d$ auf:

    $d=\sqrt{2a^2}$

    $d=\sqrt{2} \cdot a$“

    • Da wir uns für die Länge der Diagonalen interessieren, lösen wir die Gleichung nach dieser auf. Dafür ziehen wir zunächst die Wurzel beider Seiten. Dann wenden wir das Wurzelgesetz $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ an, das heißt, dass wir die Wurzel der Faktoren getrennt ziehen.
  • Beschreibe die Logik beim Berechnen der Raumdiagonalen $e$.

    Tipps

    Für das hellgelbe Dreieck kannst du eine Beziehung zur Bestimmung der Raumdiagonalen $e$ basierend auf dem Satz des Pythagoras aufstellen.

    Mit dem Satz des Pythagoras kannst du für das grüne Dreieck eine Beziehung zur Bestimmung der Flächendiagonalen $d$ aufstellen.

    Lösung

    Um die Raumdiagonale $e$ zu bestimmen, betrachten wir das hellgelbe Dreieck. Es besitzt die Seitenlänge $a$ und die Flächendiagonale $d$ als Katheten, sowie die Raumdiagonale $e$ als Hypotenuse. Damit können wir folgenden Satz des Pythagoras aufstellen:

    $d^2+a^2=e^2$

    Ziehen wir die Wurzel dieser Gleichung, erhalten wir:

    $\sqrt{ d^2+a^2 }=e$

    Mit dem grünen Dreieck können wir eine Formel für $d^2$ finden. Mit dem Satz des Pythagoras erhalten wir: $d^2 = a^2+a^2$. Setzen wir das in obige Gleichung ein, ergibt sich:

    $\sqrt{ a^2+a^2+a^2 }=e$

    Das können wir wie folgt vereinfachen:

    $\sqrt{ 3a^2}=e$

    $\sqrt{ 3} \cdot a=e$

  • Bestimme die korrekten Aussagen zur Berechnung von Diagonalen in Rechtecken und Quadern.

    Tipps

    Die Anwendung des Satz des Pythagoras setzt voraus, dass das Dreieck einen rechten Winkel besitzt. Welche Art Dreieck entsteht, wenn du ein Rechteck entlang der Diagonalen teilst?

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Bei der Berechnung der Diagonalen eines Rechtecks kannst du den Satz des Pythagoras nicht verwenden, da es keine rechten Winkel besitzt.“

    • Ein Rechteck hat ausschließlich rechte Winkel. Allerdings können nebeneinanderliegende Seitenlängen unterschiedlich lang sein.
    „Im obigen Bild lautet die Formel der Raumdiagonalen wie folgt: $~e=\sqrt{a^2+b^2+d^2}$“

    • Die Raumdiagonale können wir ähnlich wie bei einem Würfel bestimmen. Wir erhalten für das an der Raumdiagonalen anliegende rechtwinklige Dreieck: $~e^2=d^2+c^2$. Hier können wir die Formel für die Flächendiagonale $d^2=a^2+b^2$ einsetzen und es folgt: $~e^2=a^2+b^2+c^2$. Jetzt ziehen wir die Wurzel: $~ e=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Möchtest du die Flächendiagonale eines Rechtecks bestimmen, kannst du ebenfalls den Satz des Pythagoras anwenden.“

    • Die Anwendung des Satz des Pythagoras setzt voraus, dass die Dreiecke rechte Winkel besitzen. Teilt man ein Rechteck entlang der Diagonalen, entsteht ebenfalls ein rechtwinkliges Dreieck.
    „Im obigen Bild lautet die Formel für die Bestimmung der Flächendiagonalen wie folgt: $~d=\sqrt{a^2+b^2}$“

    • Mit obiger Abbildung können wir folgenden Satz des Pythagoras schreiben: $~d^2=a^2+b^2$. Ziehen wir die Wurzel, erhalten wir obige Formel.
    „Ein Würfel ist ein Quader, bei dem alle Kanten gleich lang sind.“

  • Ermittle die gerundeten Flächendiagonalen $d$ der jeweiligen Quadrate.

    Tipps

    Die Flächendiagonale teilt ein Quadrat in zwei rechtwinklige Dreiecke. Also kannst du hier den Satz des Pythagoras anwenden.

    Mit Hilfe des Satz des Pythagoras kann die Diagonale $d$ ermittelt werden. Für ein rechtwinkliges Dreieck gilt nämlich:

    $c^2 = a^2 + b^2$

    Die Diagonale deines Quadrats ist hierbei die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, weshalb $c=d$ gesetzt werden kann.

    Nachdem du $b=a$ setzt, da die Seitenlängen gleich sind, und anschließend die Wurzel ziehst, kannst du deinen Wert für $a$ einsetzen.

    Für die Seitenlänge $a=6~\text{cm}$ erhältst du zum Beispiel:

    $d \approx 8,49~\text{cm}$

    Lösung

    Die Flächendiagonale dieser Quadrate kannst du bestimmen, indem du die jeweilige Seitenlänge der Quadrate in folgende Formel einsetzt:

    $d=\sqrt{2} \cdot a$

    So erhältst du:

    • $d=\sqrt{2} \cdot 3~\text{cm}\approx 4,24~\text{cm}$
    • $d=\sqrt{2} \cdot 5~\text{cm}\approx 7,07~\text{cm}$
    • $d=\sqrt{2} \cdot 4,5~\text{cm}\approx 6,36~\text{cm}$
    • $d=\sqrt{2} \cdot 3,3~\text{cm}\approx 4,67~\text{cm}$
  • Ermittle die Raumdiagonale dieser Quadrate.

    Tipps

    Die Formel der Raumdiagonalen $e$ eines Würfels kannst du dir anhand dieser Skizze herleiten. Betrachte die beiden eingezeichneten Dreiecke und wende den Satz des Pythagoras an.

    Für einen Würfel mit Seitenlänge $6~\text{cm}$ erhältst du:

    $e=\sqrt{3} \cdot 6~\text{cm}\approx 10,39~\text{cm}$

    Lösung

    Die Raumdiagonale $e$ kannst du mit folgender Formel bestimmen:

    $e=\sqrt{ 3} \cdot a$

    Setzt du die Seitenlängen ein, erhältst du:

    • $e=\sqrt{3} \cdot 4~\text{cm}\approx 6,93~\text{cm}$
    • $e=\sqrt{3} \cdot 5~\text{cm}\approx 8,66~\text{cm}$
    • $e=\sqrt{3} \cdot 7~\text{cm}\approx 12,12~\text{cm}$