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Determinanten und Parallelogrammflächen

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Martin Wabnik
Determinanten und Parallelogrammflächen
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Determinanten und Parallelogrammflächen

Inhalt

Determinanten und Parallelogrammflächen

Determinanten spielen in vielen Bereichen der Physik, Mathematik oder Ingenieurwissenschaften eine wichtige Rolle. Aber was bedeutet Determinante eigentlich in Mathe? Und wie hängt sie mit der Fläche von Parallelogrammen zusammen?

Determinante – Beispiel

Um zu verstehen, wie wir eine Determinante berechnen können, betrachten wir die folgende Zeichnung:

Determinante Bedeutung

Wir wollen den Flächeninhalt $A$ des Parallelogramms $ABCD$ bestimmen. Es wird durch die zwei Vektoren $\vec{a} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ und $\vec{b} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ aufgespannt. Die beiden Vektoren können wir in der Komponentenschreibweise auch folgendermaßen aufschreiben:

$\vec{a} = \binom{a_x}{a_y} $

$\vec{b} = \binom{b_x}{b_y}$

Wenn wir ein Rechteck mit den Eckpunkten $A$ und $C$ und $E$ und $F$ um das Parallelogramm zeichnen, können wir die Seiten des Rechtecks jeweils als Summe der Komponenten der Vektoren darstellen. Die Seite $\overline{AF}$ setzt sich beispielsweise aus den Komponenten $b_y$ und $a_y$ zusammen.

Mit den eingezeichneten Vektorkomponenten ergeben sich sechs weitere, kleine Flächen, die das Parallelogramm umgeben. Um die Fläche des Parallelogramms zu bestimmen, können wir daher die Fläche des Rechtecks $A_{\square}$ berechnen und diese sechs Flächen abziehen.

Die Fläche des Rechtecks berechnen wir folgendermaßen:

$(a_y + b_y) \cdot (a_x + b_x) = A_{\square}$

Um die Fläche des Parallelogramms zu erhalten, müssen wir jetzt die sechs kleineren Flächen abziehen. Zunächst betrachten wir das blau schraffierte rechtwinklige Dreieck. Seine Katheten haben die Längen $b_y$ und $b_x$. Das Dreieck hat damit die Fläche $A_{\triangle ,blau} = \frac{1}{2} \cdot b_y \cdot b_x$. Das gelb schraffierte Dreieck hat Katheten der Länge $a_y$ und $a_x$ und die Fläche $A_{\triangle ,gelb} = \frac{1}{2} \cdot a_y \cdot a_x$. Das rot schraffierte, kleine Rechteck hat die Seitenlängen $a_y$ und $b_x$ und folglich den Flächeninhalt $A_{\square, rot} = a_y \cdot b_x$. Da die zwei Dreiecke und das Rechteck unter dem Parallelogramm exakt dieselben Maße haben und lediglich gespiegelt sind, müssen wir die drei so bestimmten Flächeninhalten jeweils zweimal abziehen:

$A = A_{\square} - 2 \cdot A_{\triangle ,blau} - 2 \cdot A_{\triangle ,gelb} - 2 \cdot A_{\square, rot}$

Das Einsetzen ergibt:

$A = (a_y + b_y) \cdot (a_x + b_x) - b_y \cdot b_x - a_y \cdot a_x - 2 \cdot a_y \cdot b_x$

Wir multiplizieren den ersten Term aus:

$A = a_y \cdot a_x + a_y \cdot b_x + b_y \cdot a_x + b_y \cdot b_x - b_y \cdot b_x - a_y \cdot a_x - 2 \cdot a_y \cdot b_x$

Weil mehrere Terme sowohl mit positivem als auch negativem Vorzeichen auftreten, addieren sie sich zu null und fallen weg. Wenn wir den Rest zusammenfassen, erhalten wir schließlich:

$A = a_x \cdot b_y - a_y \cdot b_x$

Das ist eine zweireihige Determinante. Man kann die Determinante auch so aufschreiben:

$ \begin{vmatrix} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{vmatrix} = a_x \cdot b_y - a_y \cdot b_x$

$ \binom{a_x ~ b_x}{a_y ~ b_y} $ bezeichnet man auch als die Matrix, in der die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ die Spalten bilden. Die Determinante entspricht aber nur dann dem Flächeninhalt des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

  • Die beiden Vektoren müssen denselben Fußpunkt haben.
  • Der Vektor in der ersten Spalte der Matrix muss – in der Zeichnung gegen den Uhrzeigersinn zu dem Vektor der zweiten Spalte gedreht – die Fläche des Parallelogramms überstreichen.

Wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind, kann man die Determinante zwar trotzdem berechnen, sie entspricht dann aber nicht dem Flächeninhalt des Parallelogramms.

Determinanten und Parallelogrammflächen - Zusammenfassung

In diesem Video lernst du, wie die Determinante und der Flächeninhalt eines Parallelogramms zusammenhängen. Die Formel für die zweireihige Determinante wird einfach hergeleitet. Du solltest schon wissen, was Vektoren sind, bevor du dieses Video schaust.

Transkript Determinanten und Parallelogrammflächen

Hallo. Das hier ist eine Art Suchbild und da steckt eine Determinante drin. Was eine Determinante ist, erkläre ich dir jetzt. Zunächst einmal siehst du das Parallelogramm A, B, C, D. Es wird festgelegt durch AB und AD. AB kann man auch so schreiben und AD kann man auch so schreiben. Die Strecken ax und ay sind hier, die Strecken bx und by sind hier. Diese Strecken sind mehrmals zu sehen. ax ist hier noch mal, da die Strecken AB und DC parallel zueinander sind und gleich lang sind. ay findest du hier wieder, weil das hier ein Rechteck ist und ay findest du hier auch wieder, weil AB und DC parallel und gleich lang sind. Und hier ist noch mal ay, weil das hier ein Rechteck ist. Mit einer ähnlichen Begründung sind die Strecken bx und by auch mehrmals zu sehen.Und hier ist noch mal ay, weil das hier ein Rechteck ist. Eine Seite des großen Rechtecks ist ax + bx. Die andere Seite ist ay + by. Wenn wir beide Seitenlängen multiplizieren, so wie hier, erhalten wir die Fläche des großen Rechtecks. Die Flächen dieses Dreiecks müssen wir abziehen. Es hat die Fläche 1/2 × ax × ay. Es kommt zweimal vor  und deshalb wird hier die Fläche zweimal abgezogen. Mit diesem Dreieck verhält es sich genauso. Es hat die Fläche 1/2 × bx × by. Es kommt zweimal vor und wird auch zweimal abgezogen. Dann fehlen noch die beiden Rechtecke. Die werden hier abgezogen. FE steht für Flächeneinheiten. Diesen Term können wir umformen. Die beiden Klammern ausmultiplizieren und 2 × 1/2 weglassen. Ergibt diesen Term. Das zusammen ergibt 0. Das zusammen ergibt auch 0. Und 2 mal das hier subtrahiert Plus einmal dem hier addiert ergibt einmal subtrahiert. Wir erhalten für die Parallelogrammfläche nun einen recht einfachen Term. Nämlich diesen hier. Und jetzt kommt es. Für diesen Term gibt es eine andere Schreibweise mit einem besonderen Namen. Hier ist die Schreibweise und sie heißt: zweireihige Determinante. Zweireihig steht hier deshalb, weil Determinanten auch mehr Reihen haben können. Eine Determinante ist also nichts anderes als ein Term, der auf eine besondere Art hingeschrieben wird. Wenn wir für die Variablen Zahlen einsetzen, d. h. wenn wir bestimmte Pfeile AB und AD mit bestimmten Zahlen ax und ay, bx und by haben, liefert die Determinante den Flächeninhalt des Parallelogramms. So gesehen ist in dieser Zeichnung hier, hier die Determinante versteckt. Wichtig ist dabei, beide Pfeile müssen denselben Fußpunkt haben und in der ersten Spalte der Determinante muss der Pfeil stehen, der die Fläche des Parallelogramms überstreicht, wenn man ihn entgegengesetzt des Uhrzeigersinns dreht. Macht man es anders, kann man zwar auch das Ergebnis der Determinante bestimmen, es ist dann aber nicht der Flächeninhalt des Parallelogramms.

5 Kommentare

5 Kommentare
  1. sorry , aber du hast das sehr schnell und gar nicht deutig erklärt , als machen wir eine Wiederholung .

    Von Batoul, vor 3 Monaten
  2. Hallo Lhcityline,
    bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Cansu A., vor mehr als einem Jahr
  3. sorry nicht gut verstanden

    Von Lhcityline, vor mehr als einem Jahr
  4. Leider sehr unübersichtlich :(

    Von Brilli, vor fast 6 Jahren
  5. Die beiden ersten Fragen zur Aufgabe sind dieselben, sodass eigentlich alle 3 geltenmüssen.

    Von Nico Momen, vor mehr als 10 Jahren

Determinanten und Parallelogrammflächen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Determinanten und Parallelogrammflächen kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.

    Tipps

    Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hälfte des Produktes der beiden Katheten.

    Schau dir zum Beispiel das obere und das untere rechtwinklige Dreieck an. Die Längen der Katheten sind paarweise identisch: Die Seite $a_x$ taucht ebenso wie die $a_y$ auch in dem oberen Dreieck auf. Dies ist bei den Dreiecken links und rechts ebenfalls der Fall.

    Die Seiten sind jeweils die Katheten des Dreiecks.

    Das äußere Rechteck hat die Längen $a_x+b_x$ sowie $a_y+b_y$.

    Die kleinen Rechtecke haben die Längen $a_y$ und $b_x$.

    Lösung

    An diesem Bild kann man erkennen, dass der Flächeninhalt des roten Parallelogramms berechnet werden kann als Differenz der Fläche des äußeren blauen Rechtecks sowie der Flächen der oberen und unteren sowie linken und rechten rechtwinkligen Dreiecke und der beiden kleinen Rechtecke in den Ecken oben links und unten rechts.

    • Das äußere Rechteck lässt sich folgendermaßen berechnen: $(a_x+b_x)(a_y+b_y)=a_xa_y+b_xa_y+a_xb_y+b_xb_y$
    • Die Dreiecke oben und unten werden berechnet durch $\frac12 a_xa_y$. Da es davon zwei Dreiecke gibt, erhält man den gesamten Flächeninhalt $a_xa_y$.
    • Die Dreiecke links und rechts haben die Fläche $\frac12 b_xb_y$. Da es auch hiervon zwei Dreiecke gibt, erhält man den gesamten Flächeninhalt $b_xb_y$.
    • Die Rechtecke in den Ecken lassen sich durch $a_yb_x$ berechnen. Auch hiervon gibt es zwei: $2a_yb_x$.
    Nun können alle bisherigen Ergebnisse zusammen gefasst werden und es entsteht die Rechnung

    $a_xa_y+b_xa_y+a_xb_y+b_xb_y-(a_xa_y+b_xb_y+2a_yb_x)$.

    Das Minuszeichen vor der Klammer dreht in der Klammer jeweils das Vorzeichen um:

    $a_xa_y+b_xa_y+a_xb_y+b_xb_y-a_xa_y-b_xb_y-2a_yb_x$.

    Nun kann man erkennen, dass sowohl $a_xa_y$ als auch $b_xb_y$ einmal mit $+$ und einmal mit $-$ vorkommt. Das bedeutet, dass diese Terme herausfallen. Weiterhin ist $a_yb_x-2a_yb_x=-a_yb_x$. Dies führt gesamt zu dem Flächeninhalt des Parallelogramms: $a_xb_y-a_yb_x$.

  • Ergänze die Erklärung zu der Determinante.

    Tipps

    Schau dir dieses Bild an. Die beiden Vektoren

    $\vec{AB}=\begin{pmatrix} a_x\\a_y \end{pmatrix}$

    sowie

    $\vec{AD}=\begin{pmatrix} b_x\\b_y \end{pmatrix}$

    spannen ein spezielles Viereck auf.

    Die Anzahl der Zeilen gibt der Determinante ihren Namen.

    Beachte, dass du zwar immer die Determinante berechnen kannst, dass diese allerdings nicht immer für einen Flächeninhalt stehen muss.

    Lösung

    Man kann unter gewissen Voraussetzungen mit Hilfe der zweireihigen Determinante den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnen.

    Wenn in der Determinante spaltenweise zwei Vektoren stehen, so gibt die Determinante den Flächeninhalt des zugehörigen Parallelogramms an. Dabei müssen

    • beide Vektoren den gleichen Startpunkt (auch Fußpunkt genannt) haben und
    • der Vektor, welcher in der linken Spalte der Determinante steht, muss derjenige sein, welcher bei Drehung um den Startpunkt gegen den Uhrzeigersinn über die Fläche streicht.

  • Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.

    Tipps

    Da der Fußpunkt $A$ der Koordinatenursprung ist, lassen sich die Richtungsvektoren leicht ablesen:

    $\vec{AD}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

    Achte darauf, dass der Vektor, der gegen den Uhrzeigersinn die Fläche überstreicht, links steht.

    Hier siehst du, wie eine zweireihige Determinante berechnet wird.

    Der resultierende Wert ist positiv.

    Lösung

    Die entsprechende Rechnung für den Flächeninhalt des Parallelogramms ist hier zu sehen.

    Zur Erklärung, welcher Vektor wo steht:

    Der Vektor

    $\vec{AB}=\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$

    muss links stehen, da dieser die Fläche gegen den Uhrzeigersinn überstreicht. Damit muss der andere Vektor

    $\vec{AD}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

    rechts stehen. Die Berechnung wird wie folgt durchgeführt: Von dem Produkt der Diagonalelemente wird das Produkt der beiden übrigen Elemente subtrahiert.

    Was passiert eigentlich, wenn man die Reihenfolge der Vektoren vertauscht?

    $\left| \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 5 & 1 \end{array} \right| = 1\cdot 1-5\cdot 3=1-15=-14$

    Obwohl ein Zusammenhang zu dem Flächeninhalt besteht, kann dies nicht das Ergebnis sein. Flächeninhalte sind immer positive Zahlen.

  • Überprüfe die folgenden Aussagen zum Umgang mit zweireihigen Determinanten.

    Tipps

    Hier siehst du das Haus der Vierecke:

    Jede Raute und jedes Quadrat und jedes Rechteck sind auch Parallelogramme.

    Ein Trapez ist kein Parallelogramm.

    Berechne jeweils die Determinante zur Überprüfung der ersten beiden Aussagen.

    Lösung

    Die erste Aussage ist - wie du hier erkennen kannst - richtig. Wie wir schon gesehen haben, ändert sich das Vorzeichen des Ergebnisses der zweireihigen Determinante, wenn man die Spaltenvektoren vertauscht. Durch die Multiplikation der umgedrehten Determinante mit $(-1)$ kann wieder Gleichheit hergestellt werden.

    Bei allen übrigen Aussagen muss man sich klarmachen, dass mit Hilfe der Determinante der Flächeninhalt von Parallelogrammen berechnet werden kann. Für alle Vierecke, die kein Parallelogramm sind (beliebige Vierecke oder ein Trapez) kann somit der Flächeninhalt nicht mit Hilfe der Determinante berechnet werden.

    Da sowohl Quadrate als auch Rechtecke als auch Rauten spezielle Parallelogramme sind, können die entsprechenden Flächeninhalte ebenfalls mit Hilfe der Determinante berechnet werden.

  • Bezeichne die Seitenlängen.

    Tipps

    Beachte die Parallelität der Seiten.

    Die Dreiecke oben und unten sowie links und rechts sind jeweils deckungsgleich.

    Die beiden Rechtecke unten rechts und oben links haben die gleichen Seitenlängen.

    Lösung

    Das untere rechtwinklige Dreieck hat zwei Kathetenlängen: die längere $a_x$ sowie die kürzere $a_y$.

    Zu diesem Dreieck existiert ein kongruentes Dreieck mit denselben Kathetenlängen $a_x$ und $a_y$. Es liegt an der oberen Seite des blauen Rechtecks an.

    Ebenso kann man bei den beiden Dreiecken links und rechts argumentieren: Deren längere Kathete ist $b_y$, die kürzere $b_x$.

  • Erkläre, wie der Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet werden kann.

    Tipps

    In der Determinante stehen die Vektoren, die das Parallelogramm aufspannen, spaltenweise.

    Zeichne dir die gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem. Die Kenntnis des Punktes $C$ ist für die Flächenberechnung nicht von Bedeutung. Dieser ist $C(5|7)$.

    Die verwendeten Vektoren sind Verbindungsvektoren. So ist zum Beispiel

    $\vec{AB}=\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

    Achte darauf, welcher Vektor rechts und welcher links in der Determinante steht. Bei falscher Reihenfolge vertauscht sich das Vorzeichen.

    Lösung

    In der Determinante stehen, in der Reihenfolge von links nach rechts, die Spaltenvektoren

    $\vec{AB}=\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

    sowie

    $\vec{AD}=\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

    Nun wird von dem Produkt der Diagonalelemente $3\cdot 3=9$ das der übrigen Elemente $1\cdot1=1$ subtrahiert. Es ergibt sich $9-1=8$. Dies ist der gesuchte Flächeninhalt.

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