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Der Satz des Pythagoras 06:45 min

Textversion des Videos

Transkript Der Satz des Pythagoras

Hallo und herzlich willkommen. In diesem Video lernst du den Satz des Pythagoras kennen. Wie dir ein über zweitausend Jahre alter Grieche beim Badminton spielen helfen kann, das möchte ich dir heute zeigen. Sein Name ist Pythagoras. Und unser Problem ist folgendes: In der Mitte des Badmintonspielfelds soll das Netz in der Höhe von 1,50 Meter gespannt werden. Dazu wollen wir Abspannseile an den Pfosten befestigen. Damit das richtig gut hält, sollten die Seile mindestens zwei Meter vom Pfosten entfernt im Boden verankert werden. Nun ist die Frage: Wie lang müssen die Seile mindestens sein? Schau dir die Skizze einmal genau an. Das Seil bildet mit dem Boden und dem Pfosten ein Dreieck. Was wissen wir alles von diesem Dreieck? Wir kennen zwei Seitenlängen. Die eine Seite ist 1,5 Meter und die andere 2 Meter lang. Außerdem wissen wir, dass der Pfosten senkrecht zum Boden stehen soll. Das heißt, wir haben einen 90-Grad-Winkel. Für die Berechnung der fehlenden Seitenlänge des Dreiecks, kann der Satz des Pythagoras verwendet werden. Den möchte ich dir jetzt erklären. Ganz wichtig ist: Nur für rechtwinklige Dreiecke gilt der Satz des Pythagoras. Da unser Dreieck rechtwinklig ist – kein Problem. Die längste Seite nennt man die Hypotenuse. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die beiden andern Seiten nennt man die Katheten. Sie sind kürzer und umschließen den rechten Winkel. Die Hypotenuse wird im Allgemeinen mit c bezeichnet. Die Katheten mit a und b. Wenn man nun über den beiden Katheten und über der Hypotenuse Quadrate einzeichnet, sieht unsere Skizze folgendermaßen aus. Der Flächeninhalt des Quadrats über der Kathete a ist gleich a2. Und über der Kathete b gleich b2. Das Quadrat über der Hypotenuse c hat entsprechend die Fläche c2. Der Satz des Pythagoras besagt nun, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Quadrate über den Katheten zusammen die gleiche Fläche haben, wie das Quadrat über der Hypotenuse. Als Formel schreibt man den Satz des Pythagoras folgendermaßen: a2 + b 2 = c2. Sind also zwei beliebige Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks gegeben, dann können wir fortan mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die dritte Seite berechnen. Damit können wir nun das Problem mit unserem Abspannseil lösen. Wenn wir uns die Skizze anschauen, dann erkennen wir hier ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c. In unserem Dreieck sind der Pfosten und der Abstand auf dem Boden zum Pfosten die kürzeren Seiten, also die Katheten. Und das Seil entspricht somit der Hypotenuse in unserem rechtwinkligen Dreieck. Die Seiten a und b sind gegeben. Und c ist unsere gesuchte Seillänge. Wenn wir unsere Werte in die Formel einsetzen, dann erhalten wir: 1,52 + 22 = c2. Wir fassen zusammen: 1,52 ist 2,25 + 22 ist 4 = c2. Damit erhalten wir 6,25 = c2. Als nächstes ziehen wir die Wurzel auf beiden Seiten und erhalten die zwei Lösungen c1 = √6,25. Und c2 = -√6,25. Da es sich um eine Seitenlänge handelt, benötigen wir nur die positive Wurzel. c1 = √6,25. Die Wurzel von 6,25 ist genau 2,5. Mit einem Seil von 2,5 Meter Länge können wir das Badmintonnetz also gut spannen. Dabei hat uns der Satz des Pythagoras geholfen. Auch in vielen anderen Fällen ist er überaus nützlich. Die Diagonale eines Bildschirms lässt sich so berechnen. Und ein Zimmermann braucht den Satz des Pythagoras, wenn er aus Balken ein Dach baut. Aber wem haben wir dieses Wissen zu verdanken? Ist Pythagoras wirklich der Entdecker? Pythagoras wurde 570 vor Christus in Griechenland geboren. Aber schon viel früher kannten die Hochkulturen des alten Ägyptens und Babyloniens diese mathematische Gesetzmäßigkeit. Sie nutzten diese zum Beispiel, um ihre Felder zu vermessen. Pythagoras reiste später durch Ägypten und Babylon. Dabei interessierte er sich auch für das mathematische Wissen dieser Kulturen. Daher lernte er sicher auch den hilfreichen Satz kennen, den wir heute als Satz des Pythagoras bezeichnen. Warum er aber seinen Namen trägt, ist ein ungeklärtes Geheimnis. Du bist heute auf ein Problem gestoßen, das du mit dem Satz des Pythagoras lösen konntest. Ein Lehrsatz aus altvergangener Zeit. a2 + b 2 = c2. Merke dir, dass er nur bei rechtwinkligen Dreiecken gilt. Ich wünsche dir noch einen schönen Tag.

52 Kommentare
  1. GUT
    hilft sehr

    Von Susanne Ex Schaffner, vor 10 Tagen
  2. Gutes video

    Von Luca Hoevelmann, vor 4 Monaten
  3. gut

    Von Yildiz Hanedan, vor 4 Monaten
  4. Ich bin in der 7. Klasse, und ich habe das schon laengst gewusst

    Von Faith, vor 4 Monaten
  5. Gutes Video

    Von Darknisgamer, vor 5 Monaten
  1. Geil

    Von Orlowski Eileen, vor 5 Monaten
  2. Tolles Video! Schade, dass ich es nicht liken kann wie auf YouTube. Ich hoffe dass ihr die Website verbessern könnt. Dann könnten wir User eure Videos liken. ( Ist kein Vorwurf) :-)))))

    Von Chiaram2006, vor 5 Monaten
  3. Gutes Video ;)
    Hat mir sehr weiter geholfen.
    Aber ich habe bei Aufgabe 4 beim grünen Dreieck
    a²+b²=c² und beim gelben Dreieck b²+c²=a² eingegeben
    und es wurde als falsch angestrichen obwohl in den Lösungen richtig steht... vielleicht sollte man das nochmal überarbeiten

    Von Silke Gotschy, vor 7 Monaten
  4. Sehr gut erklärt, vielen Dank

    Von Tweetyrada, vor 7 Monaten
  5. gut

    Von jonah t., vor 7 Monaten
  6. Hallo Alexrose,
    1,5² ergibt 2,25. Denn 1,5²=1,5*1,5 und das ist 1mal 1,5 plus noch einmal die Hälfte von 1,5 (also +0,75). 1,5+0,75=2,25, also ist 1,5²=2,25.
    Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!

    Von Jenny Marq, vor 8 Monaten
  7. Eine kurze Frage: Wie ist er von 1,5 Quadrat auf 2,25 gekommen. Kann mir das jemand vielleicht erklären

    Von Alexrose, vor 8 Monaten
  8. Ich habe Es endlich verstanden !!!

    Von Wambuiandruth, vor 8 Monaten
  9. Klasse!
    Habe den Satz des Pythagoras nie begriffen in der Schule, jetzt in 6 Minuten aber schon!
    Tausend Dank!!!

    Von Yasmine Luethi, vor 9 Monaten
  10. *vielen

    Von Marisa M., vor 9 Monaten
  11. Helen dank für ihre erklärung

    Von Marisa M., vor 9 Monaten
  12. Hallo Marisa,
    wenn du die Wurzel von einer Zahl ziehst, bekommst du ja die Zahl heraus, die mit sich selbst multipliziert wieder die Zahl ergibt, von der du die Wurzel gezogen hast. Also √16 = 4, weil ja 4·4 = 16. So, aber was wäre denn nun, wenn wir (-4)·(-4) rechnen. Genau, da kommt auch 16 heraus. Das bedeutet, dass die Wurzel von 16 dann 4 aber eben auch -4 sein kann.
    Und genauso ist es auch, wenn du Variablen unter der Wurzel hast.
    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Florian H., vor 9 Monaten
  13. Ich wollte wissen wiso man bei minute 4:58 aus c quadrat c eins und c zwei bekommt und wiso c zwei negativ ist

    Von Marisa M., vor 10 Monaten
  14. Ich finde es aus mathematischer Sicht ungünstig in der Erklärung mit den Seiten a, b und c arbeiten, da die Schüler sich dann automatisch merken: a Quadrat + b Quadrat = c Quadrat!

    Von Neuling 1, vor 10 Monaten
  15. @Itslearning Nutzer 2535 793:
    Danke für deinen Kommentar. Beziehst du dich auf das Video oder auf die Übung? Beschreibe gerne genauer, was du zu schwer findest. Wir freuen uns immer über Verbesserungsvorschläge.
    Viele Grüße aus der Redaktion.

    Von Jeanne O., vor 11 Monaten
  16. Zu schwer :(

    Von Itslearning Nutzer 2535 7935, vor 11 Monaten
  17. Hallo Arnold Rausch,
    hier wird nicht 1,5*2 gerechnet, sondern 1,5²=1,5*1,5, so kommt man auf die 2,25.
    Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!

    Von Jenny Marq, vor 11 Monaten
  18. wie kommt er auu 2,25 ? sollte es nicht 3 sein ?

    Von Arnold Rausch, vor 11 Monaten
  19. Das war das beste Video über den Satz des Pythagoras. Danke.

    Von Naesalden, vor etwa einem Jahr
  20. Das Video war echt richtig super. Hat mir wirklich richtig geholfen! Danke!!!

    Von Emilialuenser, vor etwa einem Jahr
  21. ja ganz gut

    Von Robin W., vor etwa einem Jahr
  22. Endlich mal ein gut Kommentiertes , hochqualitatives video ! Hat mir sehr geholfen , danke

    Von Nina Redlich, vor etwa einem Jahr
  23. Danke

    Von Nidavi03, vor mehr als einem Jahr
  24. gutes Video!

    Von Autoexperte Erik, vor mehr als einem Jahr
  25. sehr gutes video das war super

    Von Bettina Wolnik Hartung, vor mehr als einem Jahr
  26. Gutes Video

    Von Jorisvde, vor mehr als einem Jahr
  27. respekt

    Von Yaser A., vor mehr als einem Jahr
  28. Ich habe im Unterricht garnichts verstanden und jetzt konnte ich sogar alle Aufgaben lösen. Super Video! ^^

    Von Sarah W., vor mehr als einem Jahr
  29. wow super video =D

    Von Ralfburkert, vor fast 2 Jahren
  30. der beste tutor auf dem ganzen portal besser gehts nicht sprach losss
    s

    Von Ibex Jokay, vor fast 2 Jahren
  31. Ich brauchte eine knappe und hilgfreiche Erklärung des satzes. Danke für das Video

    Von Emilgoertz, vor fast 2 Jahren
  32. Echt hilfreich danke.

    Von A Bodzioch, vor etwa 2 Jahren
  33. tolltoll

    Von Lisselfabian2001, vor mehr als 2 Jahren
  34. War sehr hilfreich

    Von Jonathan K., vor mehr als 2 Jahren
  35. Danke hat mir sehr geholfen watscht hilfreich

    Von Jonathan K., vor mehr als 2 Jahren
  36. Hat mir unglaublich viel geholfen

    Von L Antonia, vor mehr als 2 Jahren
  37. Sehr hilfreich

    Von L Antonia, vor mehr als 2 Jahren
  38. Danke

    Von °Annii°, vor etwa 3 Jahren
  39. Danke sehr hilfreich , könnten Sie ein Video drehen wie sie es konstruieren ?

    Von Karimavan, vor mehr als 3 Jahren
  40. gutes video und auch echt hilfreich.

    Von Lutz Millert, vor mehr als 3 Jahren
  41. Hat echt geholfen, danke :)!

    Von Onai B, vor mehr als 3 Jahren
  42. Sehr hilfreiches video

    Von Mononikita, vor mehr als 3 Jahren
  43. Sehr hilfreich

    Von Erik S., vor mehr als 3 Jahren
  44. @ Vauceh:
    Das ist richtig, wenn man c berechnen möchte. Wenn man aber a oder b berechnen möchte, dann musst bei dem Satz zunächst -a² oder -b² rechnen und dann die Wurzel ziehen. Vielen Dank für deinen Kommentar.

    Von Giuliano Murgo, vor etwa 4 Jahren
  45. Trotzdem, sehr gut erklärtes Video ;)

    Von Vauceh, vor etwa 4 Jahren
  46. Eigentlich könnte man doch die Wurzel schon um a² + b² setzen, oder? Dann müsste später beim Berechnen nicht mehr die Wurzel ziehen

    Von Vauceh, vor etwa 4 Jahren
  47. Sehr gut!

    Von Karimovitsch, vor mehr als 4 Jahren
Mehr Kommentare

Der Satz des Pythagoras Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Der Satz des Pythagoras kannst du es wiederholen und üben.

  • Prüfe, ob die folgenden Aussagen wahr sind.

    Tipps

    Gibt es in gleichseitigen Dreiecken eine Hypotenuse und kann man den Satz des Pythagoras dann anwenden?

    Zeichne dir eine geeignete Skizze und beschrifte diese. Prüfe nun anhand deiner Skizze, ob die einzelnen Aussagen korrekt sind.

    Lösung

    Es ist richtig, dass der Satz des Pythagoras nur in rechtwinkligen Dreiecken angewendet werden darf. Das kannst du dir leicht merken, da es auch nur in rechtwinkligen Dreiecken eine Hypotenuse, also die Seite gegenüber dem rechten Winkel, gibt. Die Hypotenuse ist auch immer die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck.

    Beim Satz des Pythagoras werden die Flächen der Quadrate über den Katheten addiert. Diese Summe entspricht der Fläche des Quadrates über der Hypotenuse. Den Flächeninhalt eines Quadrates berechnet man mit

    $A_a=a\cdot a= a^2$, $A_b=b\cdot b= b^2$

    beziehungsweise

    $A_c=c\cdot c= c^2$.

    Daher besagt der Satz des Pythagoras:

    $a^2 + b^2 = c^2$.

    Die Katheten $a$ und $b$ müssen dafür nicht gleich lang sein, da es nicht ein gleichschenkliges, sondern ein rechtwinkliges Dreieck sein muss.

  • Gib an, wie der Satz des Pythagoras lautet.

    Tipps

    Überlege dir, in welchen Dreiecken der Satz des Pythagoras angewendet werden darf.

    Die Dreiecksseite gegenüber eines rechten Winkels nennt man Hypotenuse.

    Wie nennt man die Dreiecksseiten, welche den rechten Winkel einschließen?

    Lösung

    In einem rechtwinkligen Dreieck nennt man die Seite gegenüber des rechten Winkels Hypotenuse. Die Dreiecksseiten, welche den rechten Winkel einschließen, nennt man Katheten.

    Für die Längen der drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks gilt der Satz des Pythagoras: Die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten entspricht dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse.

    Bezeichnen wir nun die Katheten mit $a$ und $b$ und die Hypotenuse mit $c$. Dann ist der Flächeninhalt der Quadrate, die wie oben an die Katheten gezeichnet wurden, $a^2$ bzw. $b^2$. Der Flächeninhalt des Quadrats oberhalb der Hypotenuse beträgt dann $c^2$. In diesem Fall erhalten wir als Formel:

    $a^2+b^2=c^2$

  • Wende die Umkehrung des Satzes des Pythagoras an.

    Tipps

    Der Winkel gegenüber der Hypotenuse ist hier ein spitzer Winkel, da er kleiner als $90^\circ$ ist.

    Der Winkel gegenüber der Hypotenuse ist hier ein spitzer Winkel, da er größer als $90^\circ$ ist.

    Lösung

    Schon die alten Griechen sollen nach der alljährlichen Überschwemmung des Nils ihre Felder mit der Schnur mit $11$ Knoten wieder neu vermessen haben.

    Wie Marie und Jonas herausgefunden haben, hätten sie zum Beispiel auch eine mit $29$ oder $55$ Knoten nutzen können, denn:

    • $(3,4,5)~\Rightarrow~3^2+4^2=9+16=25~\mathbf{=}~5^2$
    • $(5,12,13)~\Rightarrow~5^2+12^2=25+144=169~\mathbf{=}~13^2$
    • $(7,24,25)~\Rightarrow~7^2+24^2=49+576=625~\mathbf{=}~25^2$
    Keine rechten Winkel sondern einen spitzen Winkel haben Marie und Jonas mit diesen Schnüren erzeugt:

    • $(4,5,6)~\Rightarrow~4^2+5^2=16+25=41~\mathbf{>}~36=6^2$
    • $(5,8,9)~\Rightarrow~5^2+8^2=25+64=89~\mathbf{>}~81=9^2$
    Ebenfalls keine rechten Winkel, sondern einen stumpfen Winkel haben Marie und Jonas mit diesen Schnüren erzeugt:

    • $(2,2,3)~\Rightarrow~2^2+2^2=4+4=8~\mathbf{<}~9=3^3$
    • $(2,7,8)~\Rightarrow~2^2+7^2=4+49=53~\mathbf{<}~64=8^2$
    • $(5,11,13)~\Rightarrow~5^2+11^2=25+121=146~\mathbf{<}~169=13^2$
  • Bestimme die fehlende Seitenlänge in dem dargestellten rechtwinkligen Dreieck.

    Tipps

    Halte dich an die typische Reihenfolge zur Berechnung von Aufgaben. Notiere, was gegeben bzw. gesucht ist, gib die Formel für die gesuchte Größe an und berechne diese anschließend.

    Berechne Schritt für Schritt: erst einsetzen, dann quadrieren, anschließend addieren und zum Schluss die Wurzel ziehen.

    Lösung

    Gegeben sind in unserer Skizze die Katheten $a=1,5$ und $b=2,0$. Da es ein rechtwinkliges Dreieck ist, können wir zur Berechnung der Hypotenuse den Satz des Pythagoras $a^2+b^2=c^2$ verwenden.

    Wir setzen als Erstes die Werte in die Formel ein: $1,5^2 + 2^2 = c^2$.

    Nun berechnen wir die Quadrate und addieren sie anschließend:

    $ \begin{align*} 2,25+4 &= c^2 \\ 6,25 &= c^2 \end{align*} $

    Beim Wurzelziehen erhalten wir stets eine positive und eine negative Lösung:

    $c_1=\sqrt{ 6,25} \quad c_2=- \sqrt{ 6,25}$.

    Da es sich um eine Seitenlänge handelt, berücksichtigen wir nur die positive Lösung:

    $c= \sqrt{ 6,25}=2,5$.

    Somit beträgt die Länge der Hypotenuse $c=2,5$.

  • Berechne die Diagonale des abgebildeten Bildschirms.

    Tipps

    Ein Rechteck besteht stets aus zwei gleich großen, rechtwinkligen Dreiecken.

    Welche Seiten entsprechen den Katheten beziehungsweise der Hypotenuse?

    Gib den Seiten Namen und notiere, welche gegeben und gesucht sind. Stelle anschließend die benötigte Formel auf und berechne die gesuchte Größe.

    Lösung

    Die Seiten des Bildschirms mit jeweils $36,1~\text{cm}$ und $20,3~\text{cm}$ umschließen einen rechten Winkel. Die Diagonale des Bildschirms entspricht daher der Hypotenuse, welche wir $d$ nennen.

    Der Satz des Pythagoras lautet somit:

    $36,1^2 + 20,3^2 = d^2$.

    Wir lösen die Gleichung nach $d$ auf und erhalten:

    $\begin{array}{lll} d^2 &=& 1715,3 &|&\sqrt{} \\ d &\approx & 41,4. \end{array}$

    Die Diagonale des Bildschirms beträgt demnach $41,4~\text{cm}$.

  • Berechne die gesuchten Größen.

    Tipps

    Überlege dir zunächst, wo du in den gegebenen Formen ein rechtwinkliges Dreieck finden kannst.

    Welche Seiten sind gegeben bzw. gesucht? Fertige dir jeweils eine Skizze an.

    Ein gleichseitiges Dreieck setzt sich aus zwei gleichgroßen, rechtwinkligen Dreiecken zusammen. Eine Höhe des gleichseitigen Dreiecks halbiert die entsprechende Dreiecksseite.

    Lösung

    Die Diagonale des Quadrates bildet mit zwei aneinandergrenzenden Seiten ein rechtwinkliges Dreieck. Die Katheten sind beide $5~\text{cm}$ lang. Somit ergibt sich für die Diagonale $d$ folgende Rechnung:

    $\begin{align*} 5^2+5^2 &= d^2 \\ 50 &= d^2 &|&~ \sqrt{\text{ }} \\ d &\approx 7,1. \end{align*}$

    Die Diagonale des Rechtecks bildet mit zwei aneinandergrenzenden Seiten ein rechtwinkliges Dreieck. Die Katheten sind also $2~\text{cm}$ und $6~\text{cm}$ lang. Somit ergibt sich für die Diagonale $d$:

    $ \begin{align*} 2^2+6^2 &= d^2 \\ 40 &= d^2 &|&~ \sqrt{\,} \\ d &\approx 6,3. \end{align*} $

    Gegeben ist nun die Länge der Hypotenuse mit $c=6,4~\text{cm}$ und die Länge einer Kathete $a=4~\text{cm}$. Wir stellen den Satz des Pythagoras nach der gesuchten Kathete $b$ um und berechnen diese:

    $ \begin{align*} a^2+b^2 &= c^2 &|& -a^2 \\ b^2 &= 6,4^2 - 4^2 \\ b^2 &= 24,96 &|&~ \sqrt{~} \\ b &\approx 5. \end{align*} $

    Die Höhe des gleichseitigen Dreiecks bildet zusammen mit einer Dreiecksseite und einer halbierten Dreiecksseite ein rechtwinkliges Dreieck. Die Hypotenuse ist somit $6~\text{cm}$ und eine Kathete des Dreiecks ist $\frac{6~\text{cm}}{2}=3~\text{cm}$ lang. Die gesuchte Höhe entspricht der zweiten Kathete. Wir stellen den Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Dreieck auf, formen ihn nach der gesuchten Kathete um und berechnen diese:

    $ \begin{align*} 3^2+h^2 &= 6^2 &|& -3^2 \\ h^2 &= 6^2 - 3^2 \\ h^2 &= 27 &|&~ \sqrt{~} \\ h &\approx 5,2. \end{align*} $