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Bruchgleichungen – Aufgabe 2

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Martin Wabnik
Bruchgleichungen – Aufgabe 2
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Bruchgleichungen – Aufgabe 2

Herzlich Willkommen zum Video „ Bruchgleichungen - Aufgabe 2 “. Bruchgleichungen sehen manchmal komplizierter aus als andere Gleichungen, schwieriger sind sie deshalb aber noch lange nicht. Du solltest bereits wissen, was ein Bruchterm und eine Bruchgleichung ist und dich mit Äquivalenzumformungen auskennen. Versuche die Aufgabe zunächst selbständig zu lösen. Kontrolliere im Anschluss dein Ergebnis. Wir werden dir im Video von Beginn an zeigen, wie du die Bruchgleichung lösen kannst und wie du zur Lösungsmenge gelangst. Achte darauf, dass du am Anfang den Definitionsbereich bestimmst. Viel Erfolg!

Transkript Bruchgleichungen – Aufgabe 2

Hallo! Wir machen eine Bruchgleichung, noch mal ganz langsam. Und zwar hab ich mir folgendes überlegt: 1/(x+3), ich wusste nicht mehr, ob +3 oder -3, =9. So, dass ist die Bruchgleichung: 1/(x+3)=9 Als erstes überlegt man sich, was ist der Definitionsbereich dieser Bruchgleichung. Eine Bruchgleichung ist ja eine Gleichung, deren Gleichungsvariable auch im Nenner vorkommt. Hier ist der Nenner. Und der Nenner darf nicht 0 werden, weil man durch 0 nicht teilen kann. Und wir müssen jetzt alle Zahlen ausschließen, die den Nenner gleich 0 machen, denn die darf man für x nicht einsetzen, dann würde ein sinnloser Ausdruck entstehen, und das möchten wir nicht, das möchten wir vermeiden. Deshalb legen wir den Definitionsbereich fest. Der Definitionsbereich besteht aus allen Zahlen, die man hier einsetzen kann, ohne dass die Gleichung unsinnig wird. Grundsätzlich wollen wir die rationalen Zahlen einsetzen. Die rationalen Zahlen haben das Zeichen Q mit dem Doppelstrich hier. Das D mit dem Doppelstrich nennt sich Definitionsbereich. Q mit dem Doppelstrich bedeutet die rationalen Zahlen. Aber wir können nicht alle einsetzen, wir müssen eine ausschließen. Nämlich, das ist hier das Zeichen „ohne“, dieser Strich, wir müssen nämlich -3 ausschließen, denn dann würde diese Gleichung keinen Sinn machen. Und deswegen wird die Menge, das sind ja hier 2 Mengenklammern, die Menge, die die Zahl -3 enthält, hier aus diesen rationalen Zahlen ausgeschlossen, und alle rationalen Zahlen ohne die -3, das ist also der Definitionsbereich. Das sind alle die Zahlen, die man hier einsetzen kann, ohne dass die Gleichung sinnlos wird. Jetzt kann ich mich um das Lösen der Gleichung kümmern. Ich möchte eine Äquivalenzumformung machen. Das 1. bei Bruchgleichungen ist immer, im Prinzip zumindest, ist, dass das x aus dem Nenner heraus muss. Oder aus den Nennern, falls man mehrere hat. Da muss man sich als erstes drum kümmern, und das möchte ich jetzt dadurch erreichen, indem ich die gesamte Gleichung mit diesem gesamten Nenner multipliziere. Der Nenner ist x+3, ich werd also mit x+3 multiplizieren. Dann steht hier auf der linken Seite 1×(x+3)/(x+3)=9×(x+3). Ich muss ja auf beiden Seiten ×(x+3) rechnen, nicht nur auf einer Seite. Und hier sehe ich dann, dass ich x+3 kürzen kann. Ich sag´s noch mal gerne: Man darf aus Summen nicht kürzen! Das heißt einen einzigen Summanden hier aus der gesamten Summe irgendwie kürzen, das geht nicht. Wird immer wieder versucht, von Schülern, ist aber trotzdem falsch. Ich kann aber mit einer gesamten Summe kürzen, wenn der Nenner eine gesamte Summe ist und hier diese gesamte Summe als Faktor vorkommt; 1× diese gesamte Summe steht ja hier, das ist ein Faktor. Dann darf ich mit dieser Summe kürzen. Wenn also x+3 gekürzt ist, dann bleibt da noch die 1 stehen, und auf der anderen Seite darf ich gleich ausmultiplizieren. 9×x+9×3. Steht dann hier, 9×x+9×3, das ist 27, und das kann ich gleich weiter umformen, indem ich nämlich auf beiden Seiten jetzt -27 rechne. Dann steht hier -26=9x. So, dann brauch ich doch die 2. Folie. Schreib ich gleich hier unten weiter, viele Zeilen sind´s ja nicht mehr. Also, -26=9x, ich möchte die gesamte Gleichung jetzt durch 9 teilen. Dann steht hier also -26/9=x. Und das ist dann auch schon die Lösung, -26/9. Ja, vielleicht bist du ein bisschen enttäuscht, hättest vielleicht eine schöne, glatte Zahl erwartet. Das kommt aber bei Bruchgleichungen vor, dass da auch Brüche rauskommen. Ich kann noch die Probe machen. Möchte ich auch gerne noch machen. Jetzt am Anfang kann man die ruhig vielleicht jedes Mal machen, auch wenn viele Schüler das etwas lästig finden. Ich möchte hier einsetzen, das was ich für x herausgefunden habe. Und zwar steht dann hier 1/(-26/9). Ja das ist jetzt ein Doppelbruch, kein Problem. +3 muss ich jetzt rechnen. Und da möchte ich diese +3 gleich mal in 9tel verwandeln. Wenn man 3 in 9tel verwandeln möchte, muss man ja, 3/1 haben wir ja da, 3/1 mit 9 erweitern. Dann haben wir also 3×9 im Zähler, das sind 27, 9×1 im Nenner, und das ist 9. Hier steht also 1/((-26/9)+(27/9)). Letzten Endes kommt dann hier bei dem Nenner heraus 1/(1/9), denn -26/9+27/9=1/9. Und hier wird also die 1 durch einen Bruch geteilt. Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. Das ist also 1×(9/1), oder 9 Ganze, sagt man ja auch,. Der Kehrwert von 1/9 ist 9 Ganze. Und das ist gleich 9. Und damit haben wir auch die Probe hier erledigt. Das sollte dich nicht schrecken, dass es hier jetzt um Doppelbrüche geht. Und so weiter. Wenn du die Bruchrechnung einfach anwendest, es sind ja nicht allzu viele Regeln, dann sollte dich das nicht aus der Ruhe bringen. Das ist alles kein Problem, auch wenn es vielleicht kompliziert aussieht. Ja dann, viel Spaß damit, bis bald. Tschüss!

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. @Norbert Fiala:
    Die Frage war nicht nach der Lösung der Gleichung gestellt, sondern nach dem Definitionsbereich. Und der Defintionsbereich oder auch Definitionsmenge genannt, ist die Menge der Zahlen x, die ich in diese Gleichung einsetzen darf.
    Hier noch ein Hinwies zur Beschriftung:
    Der "Backslash! (\) bedeutet in der Mathematik bei Menge "Ohne" oder "Außer". Hier zwei Beispiele:
    D=Q\{0}
    Der Definitionsbereich umfasst alle rationalen Zahlen, außer der 0.
    D=Q\{-2}
    Der Definitionsbereich umfasst alle rationalen Zahlen, außer der -2.
    Oder anders gesagt. Man darf für x alle rationalen Zahlen außer ... einsetzen.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor etwa 7 Jahren
  2. Kann das sein, dass die Antwort bei der Testfrage falsch ist?
    es kommt doch 20/9 heraus, oder?

    (Die Antwort die für x richtig angezeigt wird ist nämlich 2)
    und 2-2 im nenner ergibt 0 und 2 durch 0 darf man nicht dividieren;)

    Von Norbert Fiala, vor etwa 7 Jahren
  3. habs kappiert danke

    Von Drnobby, vor mehr als 8 Jahren
  4. Suuuuuper Video,
    das hat mir echt geholfen.

    Von P. G., vor etwa 11 Jahren

Bruchgleichungen – Aufgabe 2 Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Bruchgleichungen – Aufgabe 2 kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib den Definitionsbereich der Bruchgleichung $\frac1{x+3}=9$ an.

    Tipps

    Als Definitionsbereich bezeichnet man die Menge aller Zahlen, die in eine Gleichung für $x$ eingesetzt werden kann, ohne mathematisch nicht definierte Ausdrücke zu erhalten.

    Beachte, dass das Dividieren durch $0$ „nicht erlaubt“ ist.

    Das bedeutet für diese Gleichung, dass der Term im Nenner nicht den Wert $0$ annehmen darf.

    Forme die Ungleichung $x+3\neq 0$ so um, dass $x$ alleine steht.

    Lösung

    Wenn du Bruchgleichungen lösen möchtest, musst du zunächst prüfen, ob du jeden Wert für $x$ einsetzen „darfst“.

    In der Mathematik gibt es Ausdrücke, die nicht sinnvoll definiert werden können. Dazu gehören beispielsweise Ausdrücke, in denen durch $0$ geteilt wird. Daraus leitet sich die „Regel“ ab, dass man nicht durch $0$ teilen „darf“. Hier darf also der Nenner nicht $0$ werden.

    Der Term im Nenner lautet $x+3$. Es muss also $x+3\neq 0$ gelten. Subtraktion von $3$ führt zu $x\neq -3$.

    Diesen Wert für $x$ musst du aus dem Definitionsbereich ausschließen. Das bedeutet: Es muss $x\in\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{-3\}$ gelten.

  • Bestimme die Lösung der Bruchgleichung.

    Tipps

    Die Gleichungsvariable (hier $x$) steht im Nenner.

    Ziel ist es, dass diese nicht mehr im Nenner steht.

    Du darfst eine Gleichung mit einer Zahl oder einem Term ungleich $0$ multiplizieren.

    Wenn in einem Bruch sowohl im Zähler als auch im Nenner der gleiche Faktor steht, kannst du diesen kürzen.

    Hier siehst du ein Beispiel:

    $\frac y{y\cdot b}=\frac{\not y}{\not y\cdot b}=\frac1b$.

    Lösung

    Bei der Gleichung $\frac1{x+3}=9$ steht die Gleichungsvariable im Nenner. Es handelt sich hierbei also um eine Bruchgleichung mit $\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{-3\}$.

    Ziel ist es nun, die Gleichung so umzuformen, dass die Gleichungsvariable nicht mehr im Nenner steht.

    1. Multipliziere auf beiden Seiten der Gleichung mit $x+3$. Dies ist möglich, da $x\in\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{-3\}$ sein muss. Du erhältst dann: $\frac{1\cdot (x+3)}{x+3}=9\cdot (x+3)$.
    2. Auf der linken Seite kommt jeweils im Zähler und im Nenner der Faktor $x+3$ vor. Das bedeutet, du kannst kürzen.
    3. Auf der rechten Seite verwendest du, dass $9\cdot (x+3)=9x+27$ ist.
    4. Insgesamt erhältst du die Gleichung $1=9x+27$.
    5. Subtrahiere nun auf beiden Seiten $27$. Du erhältst $-26=9x$.
    6. Dividiere schließlich durch $9$. Dies führt zu der Lösung $x=-\frac{26}9\in\mathbb{D}$.
  • Ermittle den jeweiligen Definitionsbereich der Bruchgleichungen.

    Tipps

    Untersuche jeweils den Nenner. Prüfe, für welchen Wert von $x$ dieser $0$ wird.

    Schaue dir das folgende Beispiel an: $\frac4{x+3}=1$.

    Hier muss $x+3\neq 0$ gelten. Subtraktion von $3$ führt zu $x\neq -3$.

    Der Definitionsbereich ist also $\mathbb{D} = \mathbb{Q}\setminus\{-3\}$.

    Lösung

    Achte darauf, dass du beim Lösen einer Bruchgleichung zunächst den Definitionsbereich angeben musst. Das bedeutet, du musst den Wert (oder die Werte) für $x$ finden, für welche der Term im Nenner $0$ wird, und diese ausschließen. Wir schauen uns dies nun an einigen Beispielen an.

    1. Bruchgleichung: $\frac3x=1$

    Es muss $x\neq 0$ gelten, also $\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{0\}$.

    2. Bruchgleichung: $\frac{3x}{x+1}=\frac6{x+1}$

    Es muss $x+1\neq 0$ gelten. Subtraktion von $1$ führt zu $x\neq -1$, also $\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{-1\}$.

    3. Bruchgleichung: $\frac{3x}{x+2}=2$

    Dieses Mal muss $x+2\neq 0$ gelten. Durch Subtraktion von $2$ erhalten wir die äquivalente Ungleichung $x\neq -2$. Damit ist $\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}$.

    4. Bruchgleichung: $\frac{x}{x-1}=2$

    Hier muss $x-1\neq 0$ sein. Addiere $1$. Das führt zu $x\neq 1$ und damit erhalten wir $\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{1\}$.

  • Leite die Lösung der Bruchgleichung her.

    Tipps

    Beachte, dass du die Äquivalenzumformungen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division jeweils auf beiden Seiten der Gleichung durchführen musst.

    Wenn du Termumformungen durchführst, kannst du dies auch nur auf einer der beiden Seiten der Gleichung tun.

    Verwende das Distributivgesetz: $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

    Du multiplizierst also den Faktor vor der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer.

    Ziel der Termumformungen bei einer Gleichung ist immer, dass am Ende $x$ alleine auf einer Seite der Gleichung steht.

    Lösung

    Es soll die folgende Bruchgleichung gelöst werden:

    $\frac{3x}{x+2}=9$.

    Dabei ist $\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{-2\}$.

    1. Multipliziere auf beiden Seiten der Gleichung mit $x+2$. Das ergibt $3x=9(x+2)$.
    2. Wende auf der rechten Seite der Gleichung das Distributivgesetz an. Du erhältst $3x=9x+18$.
    3. Subtrahiere nun $9x$. Du erhältst $-6x=18$.
    4. Zuletzt dividierst du durch $-6$. Dies führt zu der Lösung $x=-3\in\mathbb{D}$.
    Führe eine Probe durch: $\frac{3\cdot (-3)}{-3+2}=\frac{-9}{-1}=9$ ✓

  • Vervollständige die Probe.

    Tipps

    Du führst eine Probe durch, indem du den errechneten Wert für $x$ in die Ausgangsgleichung einsetzt und prüfst, ob beide Seiten der Gleichung denselben Wert haben.

    Wenn du die ganze Zahl $3$ als Bruch schreiben willst, musst du den Nenner $1$ hinzufügen. Du erhältst also $\frac31$.

    Um einen anderen Nenner zu erhalten, muss du erweitern. Dazu multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl.

    Zwei gleichnamige Brüche werden addiert oder subtrahiert, indem die Zähler addiert oder subtrahiert werden und der Nenner beibehalten wird.

    Beachte: Du dividierst durch einen Bruch, indem du mit dessen Kehrwert multiplizierst.

    Lösung

    Wir führen nun die Probe durch, ob $x=-\frac{26}9$ tatsächlich die Bruchgleichung $\frac1{x+3}=9$ löst.

    Wir setzen also den gefundenen Wert für $x$ ein:

    $\frac1{-\frac{26}9+3}=\frac1{-\frac{26}9+\frac{27}9}=\frac1{\frac19}$.

    Dies ist ein sogenannter Doppelbruch. Du dividierst durch einen Bruch, indem du mit dessen Kehrwert multiplizierst:

    $\frac1{\frac19}=1:\frac19=1\cdot \frac91=9$.

    Dies ist der Wert auf der rechten Seite der ursprünglichen Bruchgleichung. Somit war die Probe erfolgreich. ✓

  • Bestimme den Definitionsbereich und die Lösung der Bruchgleichung.

    Tipps

    Multipliziere zunächst mit $x-2$.

    Kürze auf beiden Seiten der Gleichung. Achte dabei auf das Vorzeichen.

    Du erhältst die Gleichung $x-5=-(x+1)$.

    Lösung

    Wir schauen uns erst einmal den Definitionsbereich dieser Gleichung an: $x-2\neq 0$ führt durch Addition von $2$ zu $x\neq 2$. Dies ergibt sich auch für den Bruch auf der rechten Seite der Gleichung.

    Somit ist $\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{2\}$.

    Nun kommen wir zu der Lösung der Gleichung. Die entsprechenden Umformungen siehst du hier.

    Wir multiplizieren zunächst mit $x-2$.

    Auf der linken Seite der Gleichung erhalten wir $\frac{(x-5)\cdot (x-2)}{x-2}=x-5$. Auf der rechten Seite erhalten wir $\frac{(x+1)\cdot (x-2)}{2-x}=-\frac{(x+1)\cdot (2-x)}{2-x} = -(x+1)$.

    So erhältst du die Gleichung $x-5=-x-1$:

    • Addiere auf beiden Seiten $x$ sowie $5$.
    • Dies führt zu $2x=4$.
    • Dividiere nun durch $2$. So erhältst du $x=2$.
    Da $x=2\not\in\mathbb{D}$, ist die Bruchgleichung nicht lösbar.

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