Baumdiagramme und Pfadregel – Erklärung mit Knete

Baumdiagramme und Pfadregel – Erklärung mit Knete Übung

• Beschreibe die Pfadmultiplikationsregel.

  Tipps

  Was ist die Hälfte einer Hälfte?

  Mache dir dies an einem Beispiel klar.

  Teile einen Kuchen in zwei gleich große Hälften. Halbiere nun jede Hälfte. Nun hast du vier Stücke, die jeweils ein Viertel groß sind.

  Die Hälfte der Hälfte ist also ein Viertel.

  Du kannst dir die Aufgabe auch klarmachen, wenn du statt des orangen Kreises $24$ Stifte hernimmst. Teile diese entsprechend der Zahlen entlang der Äste auf.

  Teile am Schluss die Anzahl der Stifte am Ende jedes Pfades durch $24$.

  Du wirst sehen, dass du nach dem Kürzen auf dieselben Werte kommst.

  Lösung

  Hier siehst du nun eine anschauliche Begründung für die Pfadmultiplikationsregel:

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man durch Multiplizieren der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades.

  Man verteilt die Gesamtwahrscheinlichkeit $1$, also das Ganze, entsprechend der Brüche auf die Äste:

  • $\frac14$ geht jeweils auf die beiden oberen Äste.
  • Die verbleibende Hälfte geht auf den unteren Ast.

  Jeder dieser Anteile wird wieder aufgeteilt:

  • $\frac14$ wird auf die beiden oberen Äste zu jeweils $\frac12$ aufgeteilt.
  • $\frac14$ wird auf die beiden folgenden Äste einmal zu $\frac13$ und einmal zu $\frac23$ aufgeteilt.
  • Zuletzt wird die untere Hälfte auf die verbleibenden drei Äste aufgeteilt: Zur Hälfte auf den oberen der drei Äste, zu einem Sechstel auf den mittleren und zu zwei Sechsteln auf den unteren.

  Schauen wir uns nun die Anteile ganz rechts am Ende der Pfade an. Zum Beispiel am Ende des obersten Pfades befindet sich die Hälfte von einem Viertel, also ein Achtel. Das ergibt sich auch, wenn man die Wahrscheinlichkeiten des jeweiligen Pfades multipliziert.

  Dies ist gerade die Aussage der Pfadmultiplikationsregel.

• Gib die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten an.

  Tipps

  Schau dir dieses Beispiel an. Du musst die Brüche multiplizieren:

  $\frac14\cdot \frac23$

  Zwei Brüche werden multipliziert, indem du Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizierst.

  Lösung

  Wenn du die Wahrscheinlichkeiten eines Ergebnisses am Ende eines Pfades berechnen möchtest, musst du die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren.

  Dies üben wir nun einmal an diesem Baum von oben nach unten:

  1. Pfad: $\frac14\cdot \frac12=\frac18$
  2. Pfad: $\frac14\cdot \frac12=\frac18$
  3. Pfad: $\frac14\cdot \frac13=\frac1{12}$
  4. Pfad: $\frac14\cdot \frac23=\frac2{12}=\frac16$
  5. Pfad: $\frac12\cdot \frac12=\frac14$
  6. Pfad: $\frac12\cdot \frac16=\frac1{12}$
  7. Pfad: $\frac12\cdot \frac26=\frac2{12}=\frac16$

• Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse.

  Tipps

  Verwende die Pfadmultiplikationsregel. Diese besagt:

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man durch Multiplizieren der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades.

  Schaue dir das folgende Beispiel an:

  $P($r;g$)=\frac15\cdot \frac25=\frac2{25}=0,08$

  Lösung

  Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse des obigen Zufallsversuchs verwendest du die Pfadmultiplikationsregel.

  Das heißt, dass du die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu einem Ergebnis führt, multiplizierst.

  • $P($r;r$)=\frac15\cdot \frac15=\frac1{25}=0,04$
  • $P($r;b$)=\frac15\cdot \frac25=\frac2{25}=0,08$
  • Es gilt übrigens $P($r;b$)=P($b;r$)=P($r;g$)=P($g;r$)$.
  • Alle übrigen Ergebnisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit, nämlich $0,16$.
  • $P($g;b$)=\frac25\cdot \frac25=\frac4{25}=0,16$
  • $P($b;b$)=\frac25\cdot \frac25=\frac4{25}=0,16$

• Ermittle die Wahrscheinlichkeiten für gleichfarbige Socken.

  Tipps

  Da Paul zwei Socken herausnimmt, handelt es sich hier um ein Modell ohne Zurücklegen.

  Hier siehst du die Darstellung des Baumdiagramms ohne Wahrscheinlichkeiten.

  Die Wahrscheinlichkeiten in der ersten Stufe siehst du hier.

  In der zweiten Stufe ändern sich die Wahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit des Ergebnisses in der ersten Stufe.

  Zum Beispiel ist die Wahrscheinlickeit dafür, dass Paul zuerst eine rote und dann eine blaue Socke zieht, durch folgende Rechnung gegeben:

  $\frac25\cdot \frac49=\frac8{45}$

  Lösung

  Hier siehst du die Wahrscheinlichkeiten, die sich durch Pauls Verschlafenheit ergeben.

  Zwei rote Socken

  $P(r;r)=\frac25\cdot\frac13=\frac2{15}$

  Zwei blaue Socken

  $P(b;b)=\frac25\cdot\frac13=\frac2{15}$

  Zwei grüne Socken

  $P(g;g)=\frac15\cdot\frac19=\frac1{45}$

• Gib die Pfadmultiplikationsregel wieder.

  Tipps

  Du kannst mit der Pfadmultiplikationsregel zum Beispiel die folgende Wahrscheinlichkeit berechnen:

  $P($r;r$)=\frac1{25}$

  Es gibt übrigens noch eine Pfadadditionsregel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen.

  Sie besagt:

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man durch Addieren der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade.

  Wenn du ein Baumdiagramm so zeichnest, kannst du dir – stark verkürzt – merken:

  • Von links nach rechts werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert.
  • Von oben nach unten werden die Wahrscheinlichkeiten addiert.

  Lösung

  Mit der Pfadmultiplikationsregel berechnest du die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen.

  Die Pfadmultiplikationsregel wird auch als Produktregel oder Pfadregel oder 1. Pfadregel bezeichnet. Sie besagt:

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man durch Multiplizieren der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades.

  Ein Pfad eines Baumdiagrammes führt zu einem Ergebnis. Bei dem dargestellten Baum führt zum Beispiel der oberste Pfad über „rot“ und noch einmal „rot“ zu dem Ergebnis $($r;r$)$.

  Die zugehörige Wahrscheinlichkeit lässt sich wie folgt berechnen:

  $P($r;r$)=\frac15\cdot \frac15=\frac1{25}$

  Übrigens: Es gibt noch eine weitere Regel, die Pfadadditionsregel. Mit dieser kannst du die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen berechnen.

  Sie besagt:

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man durch Addieren der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade.

• Leite die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse her.

  Tipps

  Überlege dir jeweils, welche Ergebnisse zu dem angegebenen Ereignis gehören.

  Betrachten wir als Beispiel den zweimaligen Würfelwurf.

  Dann gehören die Ergebnisse $(1;1),(1;2),(2;1)$ zum Ereignis: „Die Summe der Augenzahlen ist maximal $3$.“

  Die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse erhältst du durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu dem Ergebnis führt.

  Dies ist die Pfadmultiplikationsregel.

  Schaue dir ein Beispiel an:

  D: Die zweite gezogene Kugel ist rot.

  • D $=\{($R,R$); ($G,R$)\}$
  • Damit ist $P($D$)=P($R,R$)+P($G,R$)=0,1+0,3=0,4$.

  Lösung

  Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse kannst du mit der Pfadmultiplikationsregel berechnen. Hierfür multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades:

  • $P($G,G$)=\frac35\cdot \frac12=\frac3{10}=0,3$
  • $P($G,R$)=\frac35\cdot \frac12=\frac3{10}=0,3$
  • $P($R,G$)=\frac25\cdot \frac34=\frac6{20}=\frac3{10}=0,3$
  • $P($R,R$)=\frac25\cdot \frac14=\frac2{20}=\frac1{10}=0,1$

  Um die Pfadadditionsregel anzuwenden, machst du dir bei jedem der Ereignisse klar, welche Ergebnisse zu diesem Ereignis gehören.

  A: Es wird genau eine grüne Kugel gezogen.

  • A $=\{($G,R$),($R,G$)\}$
  • Dann ist $P($A$)=P($G,R$)+P($R,G$)=0,3+0,3=0,6$.

  B: Es wird mindestens eine grüne Kugel gezogen.

  • B $=\{($G,G$), ($G,R$),($R,G$)\}$
  • Dann ist $P($B$)=P($G,G$)+P($G,R$)+P($R,G$)=0,3+0,3+0,3=0,9$.

  Du hättest hier übrigens auch das Gegenereignis „beide Kugeln sind rot“ betrachten und die entsprechende Wahrscheinlichkeit von $1$ subtrahieren können.

  C: Es ist höchstens eine Kugel grün.

  • C $=\{($G,R$),($R,G$),($R,R$)\}$
  • Dann ist $P($C$)=P($G,R$)+P($R,G$)+P($R,R$)=0,3+0,3+0,1=0,7$.