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Assoziativgesetz der Multiplikation 05:16 min

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Transkript Assoziativgesetz der Multiplikation

Hallo. Es gibt das Assoziativgesetz der Multiplikation. Und darüber können wir uns jetzt mal Gedanken machen. Wir schauen uns erst an wie dieses Gesetz aussieht, dann wie wir es anwenden und am Ende noch wie wir es begründen können. Das hier ist das Assoziativgesetz der Multiplikation. Es lautet (a×b)×c=a×(b×c). Und es bedeutet umgangssprachlich formuliert: Wenn wir drei Faktoren a, b, c multiplizieren möchten, können wir erst die ersten beiden Faktoren a und b multiplizieren und dann dieses Produkt mit dem dritten Faktor c multiplizieren. Wir können aber auch erst die beiden letzten Faktoren b und c miteinander multiplizieren und dann den ersten Faktor a mit diesem Produkt multiplizieren. Die Ergebnisse werden auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens dann gleich sein. Das ist die Aussage dieses Assoziativgesetzes der Multiplikation. Wie bei Formeln so üblich, können wir für die Variablen Zahlen einsetzen und die Ergebnisse auf beiden Seiten der Gleichung sind dann gleich. Wir können für a zum Beispiel die 7 einsetzen und dann setzen wir hier natürlich auch die sieben ein. Wir können für b zum Beispiel die 5 einsetzen, warum nicht. Und für c können wir 20 einsetzen, da müssen die ein bisschen Mal rücken. So, 20 und dieses c bekommt auch die 20, bitteschön. Wir können erst 7×5 rechnen, das ist 35. Und dann können wir 35 mit 20 multiplizieren. Wir können aber auch erst 5×20 rechnen, das ist 100 das weiß ich im Kopf und wir können dann 7×100 rechnen, naja das ist 700. Und auf diese 700 kommen wir vielleicht schneller wenn wir so rum rechnen als wenn wir so rum rechnen. So, damit haben wir gesehen, dass das Assoziativgesetz durchaus Rechenvorteile bringen kann. Jetzt müssen wir nur noch begründen, dass es tatsächlich gilt. Und das können wir mit kleinen Würfelchen. Wir haben hier zwei gleiche Quader, die unterscheiden sich nur in der Farbe. Und wir können uns jetzt überlegen, dass dieses Assoziativgesetz der Multiplikation zweimal die gleiche Situation beschreibt, nur auf unterschiedlicher Art und Weise. Wir haben hier viermal drei Steine, also 4×3 und das Ganze haben wir zweimal. Wir haben hier dreimal zwei Steine und das Ganze haben wir viermal. Es wird also hier auf beiden Seite des Gleichheitszeichens der gleiche Quader beschrieben, nur eben mit unterschiedlichen Einteilungen. Aber was das Assoziativgesetz behauptet, ist letzten Endes nur, dass die Anzahl der Steine woraus sich diese Quader zusammensetzen, gleich sind. Naja und das ist das, was mit unserem Alltagsverständnis auch übereinstimmt, zwei gleiche Quader haben die gleiche Anzahl von Steinen. Und daran ändert sich übrigens auch nichts, wenn wir hier für a, b und c andere Zahlen einsetzen. Die Quader könnten hier aus mehr oder weniger Steinen bestehen, es würden immer noch die gleichen Quader so beschrieben werden. So, das war’s dazu. Wir haben das Assoziativgesetz der Multiplikation gesehen, wir haben gesehen, wie wir es anwenden und auch wie wir es begründen können. Und vielleicht denkst du dir ja jetzt: Naja wozu braucht man eigentlich so eine Formel? Der Rechenvorteil war doch jetzt vielleicht nicht so groß. Nun ja, man kann mit dieser Formel und mit ein paar kleinen anderen Formeln allgemeine Rechnungen, komplizierte Rechnungen doch sehr vereinfachen. Das ist aber schon Thema der Buchstabenmathematik also der Algebra, insbesondere der Termumformung. Das machen wir in diesem Video nicht mehr. Hier sind wir fertig. Viel Spaß damit. Tschüss.

2 Kommentare
  1. es geht

    Von Karusuj, vor 20 Tagen
  2. sehr hielfreich danke für dieses Video weiter so :) ;)

    Von Philipp Padalko, vor fast 2 Jahren

Assoziativgesetz der Multiplikation Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Assoziativgesetz der Multiplikation kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe das Assoziativgesetz der Multiplikation.

    Tipps

    Reine Multiplikation bedeutet, dass die Rechenaufgabe ausschließlich aus Multiplikationen besteht. Für so einen Fall gilt das Assoziativgesetz der Multiplikation:

    $\left( a\cdot b\right)\cdot c= a\cdot\left( b\cdot c\right)$

    Schau dir die Beispielaufgabe an:

    $\left( 3\cdot 5\right)\cdot 2=15\cdot 2=30$

    $3\cdot\left( 5\cdot 2\right) =3\cdot 10=30$

    Lösung

    Das Assoziativgesetz der Multiplikation besagt, dass bei einer reinen Multiplikationsaufgabe durch das Setzen von Klammern die Reihenfolge der Berechnung verändert werden darf. Es lautet:

    $\left( a\cdot b\right)\cdot c= a\cdot\left( b\cdot c\right)$

    Das folgende Beispiel soll dies veranschaulichen:

    $\left( 7\cdot 5\right)\cdot 2=35\cdot 2=70$

    $7\cdot\left( 5\cdot 2\right) =7\cdot 10=70$

    $5\cdot\left( 7\cdot 2\right) =5\cdot 14=70$

    Wie du siehst, spielt die Reihenfolge der Faktoren bei der Berechnung keine Rolle. Am einfachsten scheint die zweite Variante zu sein. Du kannst das Assoziativgesetz der Multiplikation also nutzen, um Rechenaufgaben mit reiner Multiplikation für dich einfacher zu machen.

  • Gib das Assoziativgesetz der Multiplikation an.

    Tipps

    Das Assoziativgesetz der Multiplikation besagt, dass bei der reinen Multiplikation die Klammern um die Faktoren beliebig gesetzt werden dürfen.

    Im Folgenden ist ein Beispiel zum Assoziativgesetz der Multiplikation aufgeführt.

    Beispiel

    $\left(2\cdot 5\right)\cdot 3 = 2\cdot \left( 5\cdot 3\right)$

    Erkennst du eine Ähnlichkeit mit einem der vorgegebenen Gesetze?

    Lösung

    Das Assoziativgesetz der Multiplikation besagt, dass bei der reinen Multiplikation die Rechenreihenfolge keine Rolle spielt und somit die Klammern um die Faktoren beliebig gesetzt werden dürfen.

    Man kann sich das folgendermaßen vorstellen:

    Angenommen wir haben $3$ Kisten mit je $2$ Tüten. Die Tüten sind gefüllt mit je $5$ Äpfeln. Nun möchten wir berechnen, wie viele Äpfel sich insgesamt in den $3$ Kisten befinden. Dafür können wir folgende Rechnungen durchführen:

    $3\cdot (2\cdot 5) = 30$

    oder

    $(3\cdot 2)\cdot 5 = 30$.

    Die Ergebnisse sind unabhängig von der Reihenfolge der Faktoren.

    Das Assoziativgesetz der Multiplikation lautet allgemein also:

    $\left(a\cdot b\right)\cdot c = a\cdot\left( b\cdot c\right)$.

  • Vereinfache die Berechnung der Multiplikationsaufgaben durch vorteilhaft gesetzte Klammern.

    Tipps

    Aus der Multiplikation einer Zahl, welche eine $5$ als der Einerstelle besitzt (z.B. $15, 25, 145$ usw.), mit einer geraden Zahl (z.B. $2, 4, 6$ usw.) resultieren immer ganze Zehnerstellen. In einem solchen Fall ist es sinnvoll, die Klammern um die gerade Zahl und die Zahl mit der $5$ auf der Einerstelle zu setzen.

    Betrachte folgende Multiplikation:

    $3\cdot 225\cdot 4$.

    Diese kann auf mindestens zwei Arten gerechnet werden. Eine Klammerung um die hinteren beiden Faktoren ist jedoch geschickter:

    $3\cdot 225\cdot 4 = 3\cdot (225\cdot 4) = 3\cdot 900 = 2700$.

    Lösung

    Es gilt Klammer- vor Punktrechnung, das heißt Rechnungen in Klammern werden zuerst berechnet. Die Reihenfolge der Rechnung kann also durch das Setzen von Klammern beeinflusst werden. Das Setzen von Klammern kann somit für die Vereinfachung einer Rechnung genutzt werden.

    Hinweis: Natürlich darfst du nur dann Klammern in einer Aufgabe setzen, wenn das die Lösung der Aufgabe nicht verändert.

    Nun schauen wir uns an drei Beispielen an, wie man Klammern vorteilhaft setzt.

    Beispiel 1

    $6\cdot 2\cdot 5 = 6\cdot (2\cdot 5)$

    Durch das Setzen der Klammern um die Faktoren $2$ und $5$ wird die Aufgabe vereinfacht zu:

    $6\cdot 2\cdot 5 = 6\cdot (2\cdot 5) = 6\cdot 10 = 60$.

    Somit wird das Assoziativgesetz der Multiplikation in diesem Beispiel sinnvoll verwendet.

    Beispiel 2

    $4\cdot 25\cdot 7 = 4\cdot (25\cdot 7)$

    Durch das Setzen der Klammern um die Faktoren $25$ und $7$ wird die Aufgabe nicht vereinfacht. Es resultiert nämlich folgende Rechnung:

    $4\cdot 25\cdot 7 = 4\cdot (25\cdot 7) = 4\cdot 175 = 700$.

    Eine sinnvollere Wahl ist hier das Setzen der Klammern um die Zahlen $4$ und $25$, sodass ein neuer Faktor mit einer $0$ auf der Einerstelle resultiert:

    $4\cdot 25\cdot 7 = (4\cdot 25)\cdot 7 = 100\cdot 7 = 700$.

    In diesem Beispiel kann das Assoziativgesetz der Multiplikation zur Vereinfachung der Rechnung also besser eingesetzt werden.

    Beispiel 3

    $5\cdot 20\cdot 3 = (5\cdot 20)\cdot 3$

    Durch das Setzen der Klammern um die Faktoren $5$ und $20$ wird die Aufgabe vereinfacht zu:

    $5\cdot 20\cdot 3 = (5\cdot 20)\cdot 3 = 100\cdot 3 = 300$.

    Somit wird das Assoziativgesetz der Multiplikation in diesem Beispiel sinnvoll verwendet.

    Das Vorgehen bei den anderen Aufgaben erfolgt wie bei den hier vorgerechneten Beispielen.

  • Bilde die verschiedenen Terme geschickt und berechne sie.

    Tipps

    Es gilt Klammer- vor Punktrechnung. Somit muss die Berechnung des ersten Produktes in der Klammer erfolgen.

    Die Reihenfolge der Rechnung ändert nichts am Ergebnis, kann aber Auswirkung auf die Schwierigkeit der Berechnung haben.

    Schauen wir uns zum Beispiel das Produkt aus den Faktoren $9, 15$ und $4$ an.

    Geschickt berechnen wir dies, indem wir zuerst $15\cdot 4 = 60$ rechnen und im Anschluss $9\cdot 60 = 540$.

    Ungeschickt wäre es z.B. gewesen, zuerst $9\cdot 4 = 36$ zu rechnen, da wir dann danach $36\cdot15$ rechnen müssten, was sicherlich etwas schwieriger ist.

    Lösung

    Da in einer Rechnung immer Klammer- vor Punktrechnung gilt, muss die Berechnung des Produktes, mit welchem dann der nächste Faktor multipliziert werden soll, in einer Klammer erfolgen. Es gilt für alle drei Aufgaben folgende Form:

    Faktor $\cdot$ (Faktor $\cdot$ Faktor) $=$ Produkt

    Zuerst wird das Produkt in der Klammer berechnet und es folgt:

    Faktor $\cdot$ Produkt $=$ Produkt
    $\\$

    Für die drei gegebenen Beispiele bekommen wir dann folgende Rechnungen heraus:

    Beispiel 1: Multipliziere die Faktoren $4, 8$ und $25$ geschickt miteinander.

    $\left( 4\cdot 25\right)\cdot 8 = 800 $
    $\\$

    Beispiel 2: Multipliziere die Faktoren $7, 6$ und $50$ geschickt miteinander.

    $7\cdot\left( 6\cdot 50\right) = 2100$
    $\\$

    Beispiel 3: Multipliziere die Faktoren $8,9$ und $25$ geschickt miteinander.

    $\left( 8\cdot 25\right)\cdot 9 = 1800$
    $\\$

  • Bilde die Gleichungen, mit denen die kleinen Würfel des jeweiligen Quaders berechnet werden.

    Tipps

    Für die Berechnung der Anzahl der kleinen Würfel in einem Quader kannst du dich an der Berechnung des Volumens eines Quaders orientieren.

    Volumen $=$ Breite $\cdot$ Höhe $\cdot$ Tiefe

    Also musst du das Produkt aus der Anzahl der Würfel in der Breite, der Anzahl der Würfel in der Höhe und der Anzahl der Würfel in der Tiefe des Quaders bilden.

    Für den hier abgebildeten Quader folgt:

    • Anzahl der Würfel in der Breite: $ 2$
    • Anzahl der Würfel in der Höhe: $2$
    • Anzahl der Würfel in der Tiefe: $1$
    Gesamtanzahl der Würfel im Quader:

    $2\cdot 2\cdot 1 = 4$

    Die Anzahl der Würfel in dem Quader aus Tipp 1 kann man unter Verwendung des Assoziativgesetzes der Multiplikation auch wie folgt berechnen:

    • $(2\cdot 2)\cdot 1 = 4$
    • $(2\cdot 1)\cdot 2 = 4$
    • $(1\cdot 2)\cdot 2 = 4$
    Auf diese Weise kann die Berechnung der Würfelanzahl mit Hilfe von drei unterschiedlichen Rechenwegen erfolgen.

    Lösung

    Die Gesamtanzahl der Würfel in einem Quader berechnet sich aus dem Produkt der Faktoren:

    • Anzahl der Würfel in der Breite des Quaders,
    • Anzahl der Würfel in der Höhe des Quaders und
    • Anzahl der Würfel in der Tiefe des Quaders.
    Beispiel 1:

    • Anzahl der Würfel in der Breite: $3$
    • Anzahl der Würfel in der Höhe: $2$
    • Anzahl der Würfel in der Tiefe: $1$
    Gesamtanzahl der Würfel im Quader:

    Rechenweg 1:
    $\left( 2\cdot 3\right)\cdot 1 = 6$

    Rechenweg 2:
    $\left( 3\cdot 1\right)\cdot 2 = 6$

    Basierend auf dem Assoziativgesetz der Multiplikation wäre natürlich auch folgende Rechnung möglich gewesen:

    $\left( 1\cdot 2\right)\cdot 3 = 6$.

    Diese war hier aber nicht gefordert.

    Beispiel 2:

    • Anzahl der Würfel in der Breite: $3$
    • Anzahl der Würfel in der Höhe: $2$
    • Anzahl der Würfel in der Tiefe: $2$
    Gesamtanzahl der Würfel im Quader:

    Rechenweg 1:
    $\left( 2\cdot 3\right)\cdot 2 = 12$

    Rechenweg 2:
    $\left( 2\cdot 2\right)\cdot 3 = 12$

    Beispiel 3:

    • Anzahl der Würfel in der Breite: $2$
    • Anzahl der Würfel in der Höhe: $1$
    • Anzahl der Würfel in der Tiefe: $1$
    Gesamtanzahl der Würfel im Quader:

    Rechenweg 1:
    $\left( 2\cdot 1\right)\cdot 1 = 2$

    Rechenweg 2:
    $\left( 1\cdot 1\right)\cdot 2 = 2$

  • Ermittle die Lösung durch geschicktes Vertauschen der Faktoren.

    Tipps

    Es gilt Klammer- vor Punktrechnung. Daher sollten die beiden Faktoren in der Klammer möglichst so gewählt werden, dass ihr Produkt mindestens eine ganze Zehnerstelle besitzt.

    Beispiel

    $65\cdot 2 = 130$

    Das vereinfacht den weiteren Rechenweg.

    Ein kleines Beispiel könnte dir bei deinen Überlegungen helfen.

    Beispiel

    $45\cdot 7\cdot 4 = \left( 45\cdot 4\right)\cdot 7 = 180\cdot 7 = 1260$

    Lösung

    Da Klammer- vor Punktrechnung gilt, sollten die Faktoren in der Klammer geschickt gewählt werden. Wenn diese so gewählt werden, dass ihr Produkt eine $0$ auf mindestens der Einerstelle hat, dann wird der weitere Rechenweg deutlich vereinfacht.

    Aufgabe 1: Durch das Setzen der Klammern um die Faktoren $4$ und $25$ wird die Rechnung geschickt vereinfacht.

    $4 \cdot 13\cdot 25 = \left( 4\cdot 25\right)\cdot 13 = 100\cdot 13 = 1300$

    Deutlich komplizierter zu lösen wäre diese Aufgabe, wenn das Kommutativgesetz nicht verwendet und die Klammern um die ersten beiden Faktoren gesetzt werden würde. Folgende Rechnung würde dann resultieren:

    $4 \cdot 13\cdot 25 = \left( 4\cdot 13\right)\cdot 25 = 52\cdot 25= 1300$.

    Die Multiplikation der beiden Faktoren $100$ und $13$ ist einfacher als die Multiplikation der beiden Faktoren $52$ und $25$, während das Resultat identisch ist.

    Aufgabe 2: Durch das Setzen der Klammern um die Faktoren $8$ und $125$ wird der weitere Rechenweg deutlich vereinfacht.

    $8 \cdot 7\cdot 125 = \left( 8\cdot 125\right)\cdot 7 = 1000\cdot 7 = 7000$

    Aufgabe 3: Klammern um die Faktoren $6$ und $35$ ermöglichen hier das Kopfrechnen einer etwas komplizierteren Multiplikationsaufgabe.

    $11 \cdot 6\cdot 35 = \left( 6\cdot 35\right)\cdot 11 = 210\cdot 11 = 2310$