Assoziativgesetz der Addition 06:06 min
Transkript Assoziativgesetz der Addition
Hallo. Wenn du weißt was Addieren ist, dann können wir uns jetzt mal das Assoziativgesetz der Addition ansehen. Wir schauen uns erst das Gesetz an und dann überlegen wir uns, wie wir es anwenden können und am Ende können wir uns noch anschauen warum dieses Gesetz gilt. Wir haben hier das Assoziativgesetz der Addition und es lautet (a+b)+c=a+(b+c). Wir können für die Variablen Zahlen einsetzen und erhalten dann auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens das gleiche Ergebnis. Wir können das Assoziativgesetz auf eine Rechnung anwenden. Wir haben (7+5)+2. Wir können jetzt für die Variablen Zahlen einsetzen. Für a setzen wir die 7 ein, für b setzen wir die 5 ein und für c setzen wir die 2 ein. Dann setzen wir auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens für gleiche Variablen auch gleiche Zahlen ein. Für a setzen wir 7 ein und für b setzen wir 5 ein und für c setzen wir wieder 2 ein. Und dann erhalten wir hier auf der rechten Seite eine neue Rechnung, nämlich 7+(5+2). Diese Zahlen brauchen wir jetzt nicht mehr. Und das Assoziativgesetz der Addition sagt uns jetzt, dass bei dieser Rechnung und bei dieser Rechnung das gleiche Ergebnis herauskommt. So, nachdem wir das erledigt haben, können wir uns jetzt überlegen, warum dieses Gesetz gilt. Was machen wir denn, wenn wir addieren? Wenn wir zum Beispiel rechnen (1+3)+2. Dann nehmen wir die erste Zahl, in dem Fall die 1 und wir setzen die zweite Zahl rechts daneben und zählen auf der Zahlengeraden so viele Schritte weiter wie hier steht. Nämlich in dem Fall drei Schritte. Und dann addieren wir die dritte Zahl dazu, die setzen wir wieder rechts daneben, zählen weiter auf der Zahlengeraden um zwei Schritte und kommen dann zur 6. Wenn wir die Klammer anders setzen, können wir rechnen 1+(3+2). Dann rechnen wir die Klammer zuerst aus, das heißt wir nehmen die 3, setzen die hier bei der 0 an auf der Zahlengeraden, nehmen die nächste Zahl und zählen in dem Fall zwei Schritte nach rechts weiter. Und wenn jetzt die 1 hinzukommt, also die erste Zahl, dann verschieben wir das Ganze um die Länge der ersten Zahl nach rechts. In dem Fall ist das die 1. Ja und wir haben jetzt hier gleiche Zahlen stehen, die in der gleichen Reihenfolge hintereinander liegen. Und naja die Summe ist gleich und deshalb können wir hier auch ein Gleichheitszeichen hinschreiben. Das Ganze funktioniert aber auch mit irgendwelchen Zahlen. Ja, wir brauchen gar keine konkreten Zahlen dafür, wir können uns einfach Zahlen basteln. Und das geht so. Wir können hier durchschneiden und da zum Beispiel auch und dann haben wir Zahlen, also diese Papierstreifen stehen jetzt für Zahlen, die paarweise gleich sind. Wenn wir jetzt die ersten beiden Zahlen hintereinander legen und dann die dritte Zahl dazulegen, sieht das so aus. Wir können aber auch erst die letzten beiden Zahlen hintereinander legen und dann das Ganze um die erste Zahl nach rechts verschieben und dann sieht das so aus. Naja und wie du siehst, sind auch hier beide Summen gleich, ich glaube alles andere als die Gleichheit wäre auch eine Überraschung gewesen. Ja, das war es dazu. Wir haben also gesehen, was das Assoziativgesetz der Addition ist, wie wir es anwenden können und auch wie wir es verstehen können. Das Assoziativgesetz der Addition gehört mit ein paar anderen kleinen Gesetzen zu den Grundlagen der Mathematik. Das heißt, wir haben jetzt einen schönen Ausgangspunkt, um die Welt mit anderen Augen zu sehen, nämlich mit den mathematischen. Ja und da gibt es viel zu entdecken. Viel Spaß damit. Tschüss.
Videobeschreibung
Das Assoziativgesetz der Addition lautet: (a+b)+c=a+(b+c). Wenn wir für die Variablen Zahlen einsetzen, kommt auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens das gleiche Ergebnis heraus. Das Assoziativgesetz gehört mit ein paar anderen Gesetzen (vor allem den Kommutativgesetzen und dem Distributivgesetz) zu den Grundlagen der (Zahlen-) Mathematik. Diese Gesetze haben zwar komplizierte Namen, mit ihnen werden aber nur ganz einfache Zusammenhänge beschrieben, die uns allen beim Rechnen schon aufgefallen sind. In Zukunft werden wir uns nicht mehr so sehr mit dem Rechnen beschäftigen, sondern mit den Regelmäßigkeiten und Zusammenhängen, die uns beim Umgang mit Zahlen begegnen. Das ist also der Schritt vom Rechnen in die Mathematik!
Der Tutor:
Mathematik / mathematische Logik
Assoziativgesetz der Addition
Assoziativgesetz der Addition Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Assoziativgesetz der Addition kannst du es wiederholen und üben.
-
Beschreibe das Assoziativgesetz der Addition.
Tipps
Sieh dir folgendes Beispiel an:
- $(3+4)+2=7+2=9$
- $3+(4+2)=3+6=9$
Beim Assoziativgesetz der Addition dürfen die Summanden nicht vertauscht werden. Dazu wird das Kommutativgesetz benötigt.
Lösung
Das Assoziativgesetz der Addition besagt, dass es keine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge man drei Zahlen addiert. Es gilt demnach:
- $(a+b)+c=a+(b+c)$
- $(7+5)+2=12+2=14$
- $7+(5+2)=7+7=14$
- Bei unserer ersten Rechnung addieren wir zuerst die ersten beiden Summanden. Zu dieser Summe addieren wir dann den übrigen dritten Summanden.
- In unserer zweiten Variante addieren wir zuerst den zweiten und dritten Summanden. Die Summe fassen wir dann noch mit dem übrigen ersten Summanden zusammen.
-
Berechne die jeweiligen Summen unter Angabe der Zwischenrechnung.
Tipps
Berechne zuerst den Klammerausdruck.
Sieh dir folgendes Beispiel an:
- $(1+6)+3=7+3=10$
- $1+(6+3)=1+9=10$
Lösung
Das Assoziativgesetz der Addition besagt, dass es keine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge drei Summanden addiert werden. Demnach gilt:
- $(a+b)+c=a+(b+c)$
Beispiel 1
Wir berechnen zuerst die Klammerausdrücke:
- $(7+5)+2=12+2=14$
- $7+(5+2)=7+7=14$
- $(1+3)+2=4+2=6$
- $1+(3+2)=1+5=6$
-
Wende ausschließlich das Assoziativgesetz der Addition an.
Tipps
Beachte, dass du durch Setzen der Klammern nur die Reihenfolge der Addition änderst und nicht die Reihenfolge der Summanden. Sieh dir folgendes Beispiel an:
- $1+(2+3)=(1+2)+3$.
Lösung
Wir wenden auf die jeweiligen Terme das Assoziativgesetz der Addition an. Dabei sollen wir beachten, dass wir die Anordnung der Summanden nicht ändern. Das Vertauschen der Summanden erlaubt uns nämlich das Kommutativgesetz und dieses wenden wir hier nicht an. Durch Setzen der Klammern ändern wir nur die Reihenfolge der Addition und nicht die der Summanden. So erhalten wir die folgenden Zuordnungen:
- $1+(5+7)=(1+5)+7$
- $(1+5)+7=1+(5+7)$
- $(7+5)+1= 7+(5+1)$
- $7+(5+1)=(7+5)+1$
-
Ermittle die korrekten Positionen der Klammern.
Tipps
Im ersten Schritt der Rechnung werden die Ausdrücke in den Klammern berechnet. Sieh dir folgende Beispiele an:
- $1+(2+3)+4+5=1+5+4+5=15$
- $(1+2)+(3+4)+5=3+7+5=15$
- $1+2+(3+4+5)=1+2+12=15$
Betrachte die Summanden im Zwischenschritt. Diese verraten dir die korrekten Positionen der Klammern.
Lösung
Rechnen wir eine reine Addition, die Klammerausdrücke enthält, so müssen wir zunächst die Summen in den Klammern berechnen. Das Setzen von Klammern gibt uns also die Reihenfolge der Addition vor:
- $1+(2+3)+4+5=1+5+4+5=15$
- $(1+2)+(3+4)+5=3+7+5=15$
- $1+2+(3+4+5)=1+2+12=15$
- $(5+13)+4=18+4=22$
- $4+(4+5)=4+9=13$
- $(4+4)+5+(2+3)=8+5+5=18$
-
Bestimme alle Terme, auf die das Assoziativgesetz der Addition korrekt angewandt wurde.
Tipps
Das Assoziativgesetz der Addition besagt, dass es egal ist, in welcher Reihenfolge drei Summanden addiert werden. Es gilt also:
- $(a+b)+c=a+(b+c)$
Durch Anwendung des Assoziativgesetzes änderst du die Lösung einer Additionsaufgabe nicht.
Der Ausdruck in der Klammer wird zuerst berechnet. Wenn du nur zwei Summanden in einer Klammer vertauschst, so änderst du nicht die Reihenfolge, in der die Summanden addiert werden.
Lösung
Das Assoziativgesetz der Addition besagt, dass es egal ist, in welcher Reihenfolge drei Summanden addiert werden. Es gilt also:
- $(a+b)+c=a+(b+c)$
- $(7+5)+2=7+(5+2)$
- $(1+3)+2=1+(3+2)$
- $1+(3+4)=1+(4+3)~\rightarrow~$ Hier werden nur die Summanden in der Klammer vertauscht. Die Reihenfolge der Addition der Summanden ändert sich dabei nicht. Korrekt wäre: $~1+(3+4)=(1+3)+4$.
- $(4+3)+2=4-(3+2)~\rightarrow~$ Hier liefert der Term links ein anderes Ergebnis als der Term rechts. Damit ist das eine falsche Aussage. Auf den linken Term kann man das Assoziativgesetz wie folgt anwenden: $~(4+3)+2=4+(3+2)$.
-
Prüfe, welche Rechnungen richtig durchgeführt wurden.
Tipps
Bei einer Subtraktion können die Klammern nicht beliebig gesetzt werden. Der Ausdruck in der Klammer muss immer zuerst berechnet werden.
$7-(4-3) \neq (7-4)-3$, denn
- $7-(4-3) = 7-1 = 6$
- $(7-4)-3 = 3-3 = 0$
$3-(-4) = 3+4 = 7$, denn „minus mal minus ergibt plus“
Es gilt: Die innerste Klammer wird immer zuerst berechnet und dann von links nach rechts.
Lösung
Folgende Rechnungen wurden korrekt ausgeführt:
- $((25-3)+7)+13 = 22 + 20 = 42$, denn hier wird zunächst der Ausdruck der innersten Klammer $(25-3)$ berechnet und zu $7$ addiert. Anschließend wird $13$ addiert.
- $25-(3-7)+13 = 29 + 13 = 42$. Hier wird ebenfalls zunächst die Klammer berechnet und dann von links nach rechts. Somit erhält man $25-(-4)+13 = 25+4+13 = 42$.
- $(25-(3+7))+13 = 15 + 13 = 28$. Auch hier muss die innerste Klammer zunächst berechnet werden. Wir erhalten also: $(25-10)+13 = 15+13=28$.
- $25-(3+(7+13)) = 22 + 20 = 42$. Hier kann das Assoziativgesetz auf die Ausdrücke in den Klammern angewandt werden. $(3+(7+13)) = 3+20 = 23$. Somit bleibt übrig: $25-23=2$.
- $25-(3-(7+13) = 22 - 20 = 2$. Die Klammern können hier nicht einfach weggelassen werden. Hier muss mit der innersten Klammer begonnen werden. $(7+13)=20$. Übrig bleibt $25-(3-20) = 25-(-17) = 25+17 = 42$.
9 Kommentare
Sehr lehrreich weiter so :-)
@Flan Chan: Für die Videos verwenden wir niemals Greenscreen. Bei uns ist alles echt!
super! war das video auch gegreenscreened? denn es sieht so aus
👍🏽
könnten noch mehr Übungen sein! Aber das Video ist super! :)