Assoziativgesetz der Addition

Assoziativgesetz der Addition Übung

• Beschreibe das Assoziativgesetz der Addition.

  Tipps

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  • $(3+4)+2=7+2=9$
  • $3+(4+2)=3+6=9$

  Beide Additionen enthalten dieselben Summanden und liefern dasselbe Ergebnis, obwohl wir unterschiedlich vorgehen.

  Beim Assoziativgesetz der Addition dürfen die Summanden nicht vertauscht werden. Dazu wird das Kommutativgesetz benötigt.

  Lösung

  Das Assoziativgesetz der Addition besagt, dass es keine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge man drei Zahlen addiert. Es gilt demnach:

  • $(a+b)+c=a+(b+c)$

  Wir können uns das auch an einem konkreten Beispiel ansehen:

  • $(7+5)+2=12+2=14$
  • $7+(5+2)=7+7=14$

  Beide Additionen enthalten dieselben Summanden und liefern dasselbe Ergebnis, obwohl wir unterschiedlich vorgehen.

  • Bei unserer ersten Rechnung addieren wir zuerst die ersten beiden Summanden. Zu dieser Summe addieren wir dann den übrigen dritten Summanden.
  • In unserer zweiten Variante addieren wir zuerst den zweiten und dritten Summanden. Die Summe fassen wir dann noch mit dem übrigen ersten Summanden zusammen.

• Berechne die jeweiligen Summen unter Angabe der Zwischenrechnung.

  Tipps

  Berechne zuerst den Klammerausdruck.

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  • $(1+6)+3=7+3=10$
  • $1+(6+3)=1+9=10$

  Lösung

  Das Assoziativgesetz der Addition besagt, dass es keine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge drei Summanden addiert werden. Demnach gilt:

  • $(a+b)+c=a+(b+c)$

  Folgende Beispiele zeigen die Anwendung des Assoziativgesetzes auf Additionsaufgaben:

  Beispiel 1

  Wir berechnen zuerst die Klammerausdrücke:

  • $(7+5)+2=12+2=14$
  • $7+(5+2)=7+7=14$

  Beispiel 2

  • $(1+3)+2=4+2=6$
  • $1+(3+2)=1+5=6$

• Wende ausschließlich das Assoziativgesetz der Addition an.

  Tipps

  Beachte, dass du durch Setzen der Klammern nur die Reihenfolge der Addition änderst und nicht die Reihenfolge der Summanden. Sieh dir folgendes Beispiel an:

  • $1+(2+3)=(1+2)+3$.

  Lösung

  Wir wenden auf die jeweiligen Terme das Assoziativgesetz der Addition an. Dabei sollen wir beachten, dass wir die Anordnung der Summanden nicht ändern. Das Vertauschen der Summanden erlaubt uns nämlich das Kommutativgesetz und dieses wenden wir hier nicht an. Durch Setzen der Klammern ändern wir nur die Reihenfolge der Addition und nicht die der Summanden. So erhalten wir die folgenden Zuordnungen:

  • $1+(5+7)=(1+5)+7$
  • $(1+5)+7=1+(5+7)$
  • $(7+5)+1= 7+(5+1)$
  • $7+(5+1)=(7+5)+1$

• Ermittle die korrekten Positionen der Klammern.

  Tipps

  Im ersten Schritt der Rechnung werden die Ausdrücke in den Klammern berechnet. Sieh dir folgende Beispiele an:

  • $1+(2+3)+4+5=1+5+4+5=15$
  • $(1+2)+(3+4)+5=3+7+5=15$
  • $1+2+(3+4+5)=1+2+12=15$

  Betrachte die Summanden im Zwischenschritt. Diese verraten dir die korrekten Positionen der Klammern.

  Lösung

  Rechnen wir eine reine Addition, die Klammerausdrücke enthält, so müssen wir zunächst die Summen in den Klammern berechnen. Das Setzen von Klammern gibt uns also die Reihenfolge der Addition vor:

  • $1+(2+3)+4+5=1+5+4+5=15$
  • $(1+2)+(3+4)+5=3+7+5=15$
  • $1+2+(3+4+5)=1+2+12=15$

  Auch wenn alle Ergebnisse identisch sind, so unterscheiden sich durch die Position der Klammern die Zwischenschritte. Betrachten wir also die Summanden in den Zwischenschritten, so verraten uns diese die Positionen der Klammern. Damit erhalten wir folgende Lösungen:

  • $(5+13)+4=18+4=22$
  • $4+(4+5)=4+9=13$
  • $(4+4)+5+(2+3)=8+5+5=18$

• Bestimme alle Terme, auf die das Assoziativgesetz der Addition korrekt angewandt wurde.

  Tipps

  Das Assoziativgesetz der Addition besagt, dass es egal ist, in welcher Reihenfolge drei Summanden addiert werden. Es gilt also:

  • $(a+b)+c=a+(b+c)$

  Durch Anwendung des Assoziativgesetzes änderst du die Lösung einer Additionsaufgabe nicht.

  Der Ausdruck in der Klammer wird zuerst berechnet. Wenn du nur zwei Summanden in einer Klammer vertauschst, so änderst du nicht die Reihenfolge, in der die Summanden addiert werden.

  Lösung

  Das Assoziativgesetz der Addition besagt, dass es egal ist, in welcher Reihenfolge drei Summanden addiert werden. Es gilt also:

  • $(a+b)+c=a+(b+c)$

  Durch Anwendung des Assoziativgesetzes änderst du die Lösung einer Additionsaufgabe nicht. Auf folgende Terme wurde das Assoziativgesetz korrekt angewandt:

  • $(7+5)+2=7+(5+2)$
  • $(1+3)+2=1+(3+2)$

  Eine falsche Anwendung liegt in folgenden Beispielen vor:

  • $1+(3+4)=1+(4+3)~\rightarrow~$ Hier werden nur die Summanden in der Klammer vertauscht. Die Reihenfolge der Addition der Summanden ändert sich dabei nicht. Korrekt wäre: $~1+(3+4)=(1+3)+4$.
  • $(4+3)+2=4-(3+2)~\rightarrow~$ Hier liefert der Term links ein anderes Ergebnis als der Term rechts. Damit ist das eine falsche Aussage. Auf den linken Term kann man das Assoziativgesetz wie folgt anwenden: $~(4+3)+2=4+(3+2)$.

• Prüfe, welche Rechnungen richtig durchgeführt wurden.

  Tipps

  Bei einer Subtraktion können die Klammern nicht beliebig gesetzt werden. Der Ausdruck in der Klammer muss immer zuerst berechnet werden.

  $7-(4-3) \neq (7-4)-3$, denn

  • $7-(4-3) = 7-1 = 6$
  • $(7-4)-3 = 3-3 = 0$

  $3-(-4) = 3+4 = 7$, denn „minus mal minus ergibt plus“

  Es gilt: Die innerste Klammer wird immer zuerst berechnet und dann von links nach rechts.

  Lösung

  Folgende Rechnungen wurden korrekt ausgeführt:

  • $((25-3)+7)+13 = 22 + 20 = 42$, denn hier wird zunächst der Ausdruck der innersten Klammer $(25-3)$ berechnet und zu $7$ addiert. Anschließend wird $13$ addiert.
  • $25-(3-7)+13 = 29 + 13 = 42$. Hier wird ebenfalls zunächst die Klammer berechnet und dann von links nach rechts. Somit erhält man $25-(-4)+13 = 25+4+13 = 42$.
  • $(25-(3+7))+13 = 15 + 13 = 28$. Auch hier muss die innerste Klammer zunächst berechnet werden. Wir erhalten also: $(25-10)+13 = 15+13=28$.

  Folgende Rechnungen wurden nicht korrekt ausgeführt:

  • $25-(3+(7+13)) = 22 + 20 = 42$. Hier kann das Assoziativgesetz auf die Ausdrücke in den Klammern angewandt werden. $(3+(7+13)) = 3+20 = 23$. Somit bleibt übrig: $25-23=2$.
  • $25-(3-(7+13) = 22 - 20 = 2$. Die Klammern können hier nicht einfach weggelassen werden. Hier muss mit der innersten Klammer begonnen werden. $(7+13)=20$. Übrig bleibt $25-(3-20) = 25-(-17) = 25+17 = 42$.