Ähnlichkeit bei Quadraten

Ähnlichkeit bei Quadraten Übung

• Beschreibe, was es bedeutet, dass zwei Quadrate zueinander ähnlich sind.

  Tipps

  Du kannst das auch einmal mit Legosteinen probieren.

  • Baue dir einen Turm, der von vorne aussieht wie ein Quadrat.
  • Halte nun eine punktförmige Lichtquelle vor diesen Turm.
  • Auf der gegenüberliegenden Wand erscheint als Schatten ein Quadrat, welches größer ist als das Legoquadrat.

  Hast du ein Smartphone? Wenn dir ein Bild oder ein Detail zu klein erscheinen, kannst du zoomen. Du machst also das Detail größer.

  Zoomen entspricht dem Näher-an-das-Auge-heranführen.

  Lösung

  Du kannst dir Ähnlichkeit durch Vergrößern oder Verkleinern klarmachen. Dabei bleiben die Verhältnisse von Seitenlängen immer gleich.

  Schau dir das einmal an einem Beispiel an.

  Lege das große rote Quadrat hin. Nun hältst du das gelbe Dreieck direkt über das rote Quadrat. Du siehst sicher noch rote Bereiche um das gelbe Quadrat herum. Nähere nun das gelbe Quadrat deinem Auge an. Die roten Bereiche werden kleiner. Irgendwann deckt das gelbe Quadrat das rote komplett ab.

  Das bedeutet Ähnlichkeit. Du vergrößerst ein kleineres Quadrat so lange, bis es deckungsgleich zu einem größeren ist. Die beiden Quadrate decken sich dann vollständig ab.

  Das kannst du natürlich auch umgekehrt durch Verkleinern machen. Du verkleinerst ein größeres Quadrat so lange, bis es deckungsgleich zu einem kleineren ist.

• Fasse Ähnlichkeit von Quadraten zusammen.

  Tipps

  Kongruente Quadrate sind deckungsgleich.

  Schneide dir einmal ein kleines blaues und ein größeres rotes Quadrat aus. Lege die beiden Quadrate übereinander:

  • Das rote Quadrat deckt das blaue komplett ab.
  • Lege nun das Blaue auf das Rote. Was fällt dir auf?

  Lösung

  Wenn du zwei beliebige Quadrate betrachtest, kannst du feststellen, dass diese durch Verkleinerung oder Vergrößerung ineinander übergehen.

  Das bedeutet insbesondere, dass alle Quadrate ähnlich zueinander sind.

  Ein besonderer Fall ist die Kongruenz. Sind zwei Quadrate kongruent zueinander, so kannst du sie so übereinander legen, dass sie sich komplett abdecken. Diese Quadrate sind dann auch ähnlich zueinander.

  Umgekehrt gilt das sicher nicht. Zum Beispiel sind das blaue und das rote Quadrat ähnlich zueinander, da ja alle Quadrate ähnlich zueinander sind. Sie decken sich allerdings nicht vollständig gegenseitig ab.

• Untersuche die Vierecke auf Ähnlichkeit.

  Tipps

  Beachte, dass alle Quadrate ähnlich zueinander sind.

  Du kannst die Aussage, dass alle Quadrate ähnlich zueinander sind, auch umkehren:

  Wenn ein Viereck kein Quadrat ist, dann kann es nicht ähnlich zu einem Quadrat sein.

  Orientiere dich an den Gitterlinien. Alle abgebildeten Vierecke sind Rechtecke. Bei einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang.

  Lösung

  In dieser Aufgabe kannst du die Tatsache verwenden, dass alle Quadrate ähnlich zueinander sind.

  Was zeichnet eigentlich ein Quadrat aus? In einem Quadrat sind alle Innenwinkel rechte Winkel. Das gilt auch für Rechtecke. Bei einem Quadrat sind zusätzlich alle vier Seiten gleich lang.

  Wenn also ein Viereck kein Quadrat ist, kann es nicht ähnlich zu einem Quadrat sein.

  Bei den dargestellten Vierecken handelt es sich ausschließlich um Rechtecke. Du kannst nun durch Abzählen der Kästchen entscheiden, ob es sich bei dem entsprechenden Rechteck um ein Quadrat handelt.

  Quadrate sind die Vierecke mit den folgenden Nummern: (1), (4) sowie (5). Diese sind ähnlich zu dem abgebildeten roten Quadrat. Alle übrigen Vierecke sind nicht ähnlich zu diesem Quadrat.

• Entscheide, welche der Umformungen zu ähnlichen Quadraten führen.

  Tipps

  Kongruente Quadrate sind deckungsgleich. Sie sind insbesondere auch ähnlich zueinander.

  Umgekehrt gilt das im Allgemeinen nicht.

  Zentrische Streckungen führen entweder zu Vergrößerungen oder zu Verkleinerungen.

  Dabei kann die Figur auch gespiegelt werden.

  Schneide ein Quadrat aus und verschiebe oder drehe dieses Quadrat. Was fällt dir auf?

  Beachte, dass alle Quadrate ähnlich zueinander sind.

  Lösung

  Umformungen, welche zu ähnlichen Figuren führen, werden Ähnlichkeitsabbildungen genannt. Kennst du vielleicht schon welche?

  Du weißt ja bereits, dass ähnliche Quadrate durch Vergrößerung oder Verkleinerung entstehen. Vergrößerungen und Verkleinerungen sind zentrische Streckungen. Bei zentrischen Streckungen kann eine Figur auch gespiegelt werden. Paul erhält also ein ähnliches Quadrat.

  Weitere Ähnlichkeitsabbildungen sind das parallele Verschieben und das Drehen. Schneide doch einmal ein Quadrat aus und verschiebe oder drehe es auf der Tischplatte. Du siehst, dass sich das Quadrat weder in der Form noch in der Größe dadurch verändert. Die so erhaltenen Quadrate sind also ähnlich und, mehr noch, kongruent zueinander.

  So erhält Lisa ebenfalls ein ähnliches und auch kongruentes Quadrat.

  Übrigens: Marie führt zwei solcher Ähnlichkeitsabbildungen hintereinander durch. Das führt auch zu einem ähnlichen Quadrat.

  Was ist nun mit Frida? Sie schneidet eine Ecke so aus, dass ein Fünfeck entsteht.

  Das kannst du in dem Bild sehen.

  Ein Fünfeck kann sicher nicht ähnlich zu einem Quadrat, also einem Viereck, sein.

• Gib an, ob eine Vergrößerung oder Verkleinerung vorliegt.

  Tipps

  Du kannst dir eine Vergrößerung so vorstellen: Du hältst das Quadrat immer näher an deine Augen.

  Schau genau hin. Welches Quadrat ist das kleinste und welches das größte?

  Wenn du die Quadrate der Größe nach ordnest, liegt das gelbe Quadrat genau in der Mitte.

  Lösung

  Für ähnliche Quadrate gilt: Sie gehen durch Vergößerung oder Verkleinerung ineinander über.

  Das kannst du hier sehen:

  • Wenn du das blaue Quadrat vergrößerst, kommst du zu dem gelben. Vergrößerst du das blaue Quadrat noch mehr, gelangst du zu dem roten.
  • Du kannst auch das gelbe Quadrat vergrößern. Dann kommst du zu dem roten Quadrat.

  Die roten Pfeile zeigen hier die Vergrößerungen an.

  Umgekehrt kannst du auch größere Quadrate verkleinern. Dies zeigen die blauen Pfeile an.

• Prüfe, wie sich die Anzahl der Kästchen in dem Quadrat verändert.

  Tipps

  Wenn du dir ein Quadrat mit der Seitenlänge $4$ anschaust, kannst du feststellen:

  • Die Seitenlänge ist $4$-mal so lang wie die des grünen Quadrates.
  • Das Quadrat besteht aus $4\cdot 4=16$ Kästchen.

  Die Anzahl der Kästchen wird nicht mit dem gleichen Faktor wie die Seitenlänge multipliziert.

  Bei kongruenten Quadraten stimmt auch die Anzahl der Kästchen überein.

  Lösung

  Schau dir ganz links das grüne Dreieck an.

  • Die Seitenlänge ist $1$.
  • Die Anzahl der Kästchen ist $1\cdot 1=1$. Das ist jetzt nicht sehr kompliziert. Aber du wirst gleich merken, warum das so aufgeschrieben ist.

  Das rote Quadrat

  ~ hat eine $2$-mal so lange Seitenlänge. Ist die Anzahl der Kästchen auch $2$-mal so groß wie die des grünen Quadrates? Nein! Zähl doch einmal die Kästchen. Du hast in der unteren Reihe $2$ und in der oberen ebenfalls $2$. Das macht gesamt $2+2=2\cdot 2=4$ Kästchen.

  Das blaue Dreieck

  ~ hat eine $3$-mal so lange Seitenlänge wie das grüne und eine $1,5$-mal so lange Seitenlänge wie das rote Quadrat. Dann probieren wir doch einmal, ob das mit den Kästchen auch so geht: $3\cdot 3=9$ Kästchen? Zähle nach, es stimmt.