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Ähnlichkeit bei Quadraten

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Ø 4.0 / 4 Bewertungen

Die Autor*innen
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André Otto
Ähnlichkeit bei Quadraten
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Ähnlichkeit bei Quadraten

Einen schönen Guten Tag liebe Schülerinnen und Schüler. Das Video trägt den Titel „ Ähnlichkeit von Quadraten “. In diesem Video werden wir überprüfen, ob bestimmte Quadrate zueinander ähnlich sind. Hierzu benötigst du dein Vorwissen über die Ähnlichkeit von Dreiecken. Gibt es Quadrate, welche nicht zueinander ähnlich sind? Nutze die Gelegenheit und versuche dir zu überlegen, ob du Quadrate findest, welche nicht ähnlich zueinander sind. Versuche deine Vermutung zu begründen. Im Anschluss kannst du dir im Video anschauen, ob deine Vermutung richtig ist. Viel Spaß!

Transkript Ähnlichkeit bei Quadraten

Einen schönen guten Tag, liebe Schülerinnen und Schüler. Ich begrüße Euch ganz herzlich zum Video Geometrie Teil 48. Das Video trägt den Titel "Ähnlichkeit bei Quadraten". Ich nehme mir zum Beispiel ein kleines, blaues Quadrat und noch ein größeres, gelbes Quadrat und schließlich ein großes, rotes Quadrat. Sind diese Quadrate zueinander ähnlich? Könnt ihr Euch noch daran erinnern, wie wir die Ähnlichkeit bei Dreiecken festgestellt hatten? Das war im Video Geometrie Teil 45. Dieses Verfahren wollen wir jetzt auch bei Quadraten anwenden. Ich nehme das große Quadrat und jetzt noch dieses kleinere, gelbe hinzu und versuche nun, durch Vergrößerung, das heißt durch Annäherung an meine Kamera, die beiden deckungsgleich zu machen. Und tatsächlich, es gelingt mir. Offensichtlich sind beide Quadrate zueinander ähnlich. Den gleichen Versuch möchte ich jetzt mit dem großem rotem Quadrat und dem kleinen, blauen Quadrat durchführen. Hier liegen sie übereinander und jetzt nähere ich das kleine Quadrat an die Kamera an und tatsächlich, es ist nicht so einfach. Aber es gelingt mir, es so zu halten, dass es das rote Quadrat gerade überdeckt. So, und das bedeutet, dass das kleine blaue Quadrat und das große rote Quadrat ähnlich zueinander sind. Jetzt nehme ich das mittlere gelbe Quadrat und das kleine Blaue. Auch hier mache ich den Versuch der Ähnlichkeit. Annäherung an die Kamera, das kleine Blaue wird scheinbar immer größer und schließlich überdeckt es das gelbe Quadrat vollständig. Beide sind deckungsgleich. Das heißt, sie sind zueinander ähnlich. Und nun der schwerste Versuch. Wer das Dreieckvideo gesehen hat, weiß, was jetzt kommt. Alle 3 Quadrate. Unten das große Rote, darüber das mittlere Gelbe und ganz oben dann das kleine Blaue. So und die beiden kleineren halten wir jetzt so nah an die Kamera ran, dass sie das große Rote überdecken. Aha, gelb überdeckt rot, blau überdeckt gelb und auch damit rot. Alle 3 Quadrate sind scheinbar deckungsgleich. Die Vergrößerung hat zum Erfolg geführt. Das heißt, alle 3 sind zueinander ähnlich. Versuchen wir doch ein Mal die gefunden Ergebnisse schematisch darzustellen. Wir haben Versuche mit 3 Quadraten unterschiedlicher Größe durchgeführt. Mit einem Kleinem blauen, einen mittlerem Gelben und einem Großem roten. Wir haben dabei die jeweils kleineren Quadrate über die größeren gelegt und durch Annäherung an die Kamera eine Vergrößerung der kleineren Quadrate erzielt. Vergrößerung des kleinen Blauen ergab die Umrisse des mittleren gelben und die Vergrößerung des mittleren Gelben ergab schließlich die Umrisse des großen Roten und auch das kleine Blaue konnten wir vergrößern, indem wir es an die Kamera angenähert haben. Und wir haben die Umrisse des großen roten Quadrates erzielt. Der rote Pfeil bedeutet jeweils Vergrößerung. Aber auch umgekehrt ist es möglich, aus den größeren Quadraten die kleineren darzustellen. Aus dem großen roten Quadrat kann man das kleinere Gelbe herstellen und auch die Umrisse des kleinen Blauen werden durch Verkleinerung des mittleren Gelben erzielt. Und natürlich ist es auch möglich, durch Verkleinerung des großen roten Quadrates auf die Umrisse des kleinen blauen Quadrates zu kommen. Der blaue Pfeil bedeutet jeweils Verkleinerung. Wir können also als Erstes feststellen: Quadrate gehen durch Vergrößerung oder Verkleinerung ineinander über. Eine kleine Bemerkung zu diesem Merksatz, die ich nicht aufschreibe: Wenn Quadrate kongruent sind, sind sie auch ähnlich und brauchen dann nicht vergrößert oder verkleinert zu werden. Wir wollen ein Mal überlegen, was unsere 3 Beispielquadrate gemeinsam haben. Das kleine Blaue, das mittlere Gelbe und das große Rote. Alle 3 haben jeweils 2 gleich lange Seiten und sogar 3 gleich lange Seiten und sogar 4 gleich lange Seiten. Alle 3 Quadrate haben 4 gleich lange Seiten. Aber das reicht noch nicht. Was brauchen wir noch? Könnt ihr das sagen? Ich baue es schon auf. Denkt ein Mal nach. Richtig! Sie brauchen mindestens einen rechten Winkel. Ihr wisst genau, dass sie 4 rechte Winkel haben. Aber der eine rechte Winkel reicht aus. Das haben wir noch nicht bewiesen, aber das ist so. Wir werden jetzt einen Merksatz formulieren, der Euch vielleicht selbstverständlich und einfach erscheint. Wir werden aber später feststellen, dass durchaus nicht alle Vierecke diese Eigenschaft besitzen. 2. Alle Quadrate sind untereinander ähnlich. Eine wichtige Bemerkung möchte ich an dieser Stelle noch machen. Einige von Euch sind sicher schon selbst darauf gekommen, aber ich möchte es noch ein Mal sagen. Kongruente Quadrate sind spezielle ähnliche Quadrate. So, das war es schon wieder für heute. Auf Wiedersehen.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Sehr gut erklärt, Danke! Top!

    Von Batuhan Atalay, vor fast 7 Jahren

Ähnlichkeit bei Quadraten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ähnlichkeit bei Quadraten kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was es bedeutet, dass zwei Quadrate zueinander ähnlich sind.

    Tipps

    Du kannst das auch einmal mit Legosteinen probieren.

    • Baue dir einen Turm, der von vorne aussieht wie ein Quadrat.
    • Halte nun eine punktförmige Lichtquelle vor diesen Turm.
    • Auf der gegenüberliegenden Wand erscheint als Schatten ein Quadrat, welches größer ist als das Legoquadrat.

    Hast du ein Smartphone? Wenn dir ein Bild oder ein Detail zu klein erscheinen, kannst du zoomen. Du machst also das Detail größer.

    Zoomen entspricht dem Näher-an-das-Auge-heranführen.

    Lösung

    Du kannst dir Ähnlichkeit durch Vergrößern oder Verkleinern klarmachen. Dabei bleiben die Verhältnisse von Seitenlängen immer gleich.

    Schau dir das einmal an einem Beispiel an.

    Lege das große rote Quadrat hin. Nun hältst du das gelbe Dreieck direkt über das rote Quadrat. Du siehst sicher noch rote Bereiche um das gelbe Quadrat herum. Nähere nun das gelbe Quadrat deinem Auge an. Die roten Bereiche werden kleiner. Irgendwann deckt das gelbe Quadrat das rote komplett ab.

    Das bedeutet Ähnlichkeit. Du vergrößerst ein kleineres Quadrat so lange, bis es deckungsgleich zu einem größeren ist. Die beiden Quadrate decken sich dann vollständig ab.

    Das kannst du natürlich auch umgekehrt durch Verkleinern machen. Du verkleinerst ein größeres Quadrat so lange, bis es deckungsgleich zu einem kleineren ist.

  • Fasse Ähnlichkeit von Quadraten zusammen.

    Tipps

    Kongruente Quadrate sind deckungsgleich.

    Schneide dir einmal ein kleines blaues und ein größeres rotes Quadrat aus. Lege die beiden Quadrate übereinander:

    • Das rote Quadrat deckt das blaue komplett ab.
    • Lege nun das Blaue auf das Rote. Was fällt dir auf?
    Lösung

    Wenn du zwei beliebige Quadrate betrachtest, kannst du feststellen, dass diese durch Verkleinerung oder Vergrößerung ineinander übergehen.

    Das bedeutet insbesondere, dass alle Quadrate ähnlich zueinander sind.

    Ein besonderer Fall ist die Kongruenz. Sind zwei Quadrate kongruent zueinander, so kannst du sie so übereinander legen, dass sie sich komplett abdecken. Diese Quadrate sind dann auch ähnlich zueinander.

    Umgekehrt gilt das sicher nicht. Zum Beispiel sind das blaue und das rote Quadrat ähnlich zueinander, da ja alle Quadrate ähnlich zueinander sind. Sie decken sich allerdings nicht vollständig gegenseitig ab.

  • Untersuche die Vierecke auf Ähnlichkeit.

    Tipps

    Beachte, dass alle Quadrate ähnlich zueinander sind.

    Du kannst die Aussage, dass alle Quadrate ähnlich zueinander sind, auch umkehren:

    Wenn ein Viereck kein Quadrat ist, dann kann es nicht ähnlich zu einem Quadrat sein.

    Orientiere dich an den Gitterlinien. Alle abgebildeten Vierecke sind Rechtecke. Bei einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang.

    Lösung

    In dieser Aufgabe kannst du die Tatsache verwenden, dass alle Quadrate ähnlich zueinander sind.

    Was zeichnet eigentlich ein Quadrat aus? In einem Quadrat sind alle Innenwinkel rechte Winkel. Das gilt auch für Rechtecke. Bei einem Quadrat sind zusätzlich alle vier Seiten gleich lang.

    Wenn also ein Viereck kein Quadrat ist, kann es nicht ähnlich zu einem Quadrat sein.

    Bei den dargestellten Vierecken handelt es sich ausschließlich um Rechtecke. Du kannst nun durch Abzählen der Kästchen entscheiden, ob es sich bei dem entsprechenden Rechteck um ein Quadrat handelt.

    Quadrate sind die Vierecke mit den folgenden Nummern: (1), (4) sowie (5). Diese sind ähnlich zu dem abgebildeten roten Quadrat. Alle übrigen Vierecke sind nicht ähnlich zu diesem Quadrat.

  • Entscheide, welche der Umformungen zu ähnlichen Quadraten führen.

    Tipps

    Kongruente Quadrate sind deckungsgleich. Sie sind insbesondere auch ähnlich zueinander.

    Umgekehrt gilt das im Allgemeinen nicht.

    Zentrische Streckungen führen entweder zu Vergrößerungen oder zu Verkleinerungen.

    Dabei kann die Figur auch gespiegelt werden.

    Schneide ein Quadrat aus und verschiebe oder drehe dieses Quadrat. Was fällt dir auf?

    Beachte, dass alle Quadrate ähnlich zueinander sind.

    Lösung

    Umformungen, welche zu ähnlichen Figuren führen, werden Ähnlichkeitsabbildungen genannt. Kennst du vielleicht schon welche?

    Du weißt ja bereits, dass ähnliche Quadrate durch Vergrößerung oder Verkleinerung entstehen. Vergrößerungen und Verkleinerungen sind zentrische Streckungen. Bei zentrischen Streckungen kann eine Figur auch gespiegelt werden. Paul erhält also ein ähnliches Quadrat.

    Weitere Ähnlichkeitsabbildungen sind das parallele Verschieben und das Drehen. Schneide doch einmal ein Quadrat aus und verschiebe oder drehe es auf der Tischplatte. Du siehst, dass sich das Quadrat weder in der Form noch in der Größe dadurch verändert. Die so erhaltenen Quadrate sind also ähnlich und, mehr noch, kongruent zueinander.

    So erhält Lisa ebenfalls ein ähnliches und auch kongruentes Quadrat.

    Übrigens: Marie führt zwei solcher Ähnlichkeitsabbildungen hintereinander durch. Das führt auch zu einem ähnlichen Quadrat.

    Was ist nun mit Frida? Sie schneidet eine Ecke so aus, dass ein Fünfeck entsteht.

    Das kannst du in dem Bild sehen.

    Ein Fünfeck kann sicher nicht ähnlich zu einem Quadrat, also einem Viereck, sein.

  • Gib an, ob eine Vergrößerung oder Verkleinerung vorliegt.

    Tipps

    Du kannst dir eine Vergrößerung so vorstellen: Du hältst das Quadrat immer näher an deine Augen.

    Schau genau hin. Welches Quadrat ist das kleinste und welches das größte?

    Wenn du die Quadrate der Größe nach ordnest, liegt das gelbe Quadrat genau in der Mitte.

    Lösung

    Für ähnliche Quadrate gilt: Sie gehen durch Vergößerung oder Verkleinerung ineinander über.

    Das kannst du hier sehen:

    • Wenn du das blaue Quadrat vergrößerst, kommst du zu dem gelben. Vergrößerst du das blaue Quadrat noch mehr, gelangst du zu dem roten.
    • Du kannst auch das gelbe Quadrat vergrößern. Dann kommst du zu dem roten Quadrat.
    Die roten Pfeile zeigen hier die Vergrößerungen an.

    Umgekehrt kannst du auch größere Quadrate verkleinern. Dies zeigen die blauen Pfeile an.

  • Prüfe, wie sich die Anzahl der Kästchen in dem Quadrat verändert.

    Tipps

    Wenn du dir ein Quadrat mit der Seitenlänge $4$ anschaust, kannst du feststellen:

    • Die Seitenlänge ist $4$-mal so lang wie die des grünen Quadrates.
    • Das Quadrat besteht aus $4\cdot 4=16$ Kästchen.

    Die Anzahl der Kästchen wird nicht mit dem gleichen Faktor wie die Seitenlänge multipliziert.

    Bei kongruenten Quadraten stimmt auch die Anzahl der Kästchen überein.

    Lösung

    Schau dir ganz links das grüne Dreieck an.

    • Die Seitenlänge ist $1$.
    • Die Anzahl der Kästchen ist $1\cdot 1=1$. Das ist jetzt nicht sehr kompliziert. Aber du wirst gleich merken, warum das so aufgeschrieben ist.
    Das rote Quadrat

    ~ hat eine $2$-mal so lange Seitenlänge. Ist die Anzahl der Kästchen auch $2$-mal so groß wie die des grünen Quadrates? Nein! Zähl doch einmal die Kästchen. Du hast in der unteren Reihe $2$ und in der oberen ebenfalls $2$. Das macht gesamt $2+2=2\cdot 2=4$ Kästchen.

    Das blaue Dreieck

    ~ hat eine $3$-mal so lange Seitenlänge wie das grüne und eine $1,5$-mal so lange Seitenlänge wie das rote Quadrat. Dann probieren wir doch einmal, ob das mit den Kästchen auch so geht: $3\cdot 3=9$ Kästchen? Zähle nach, es stimmt.

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