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Bewertung

Ø 4.8 / 6 Bewertungen

Die Autor*innen
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André Otto
Ähnliche Rechtecke
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Ähnliche Rechtecke

Herzlich Willkommen liebe Schülerinnen und Schüler. Wir haben uns bereits mit dem Begriff der Ähnlichkeit auseinandergesetzt und geklärt wann Dreiecke ähnlich zueinander sind. Zudem wissen wir seit dem 48. Teil der Reihe „ Geometrie “, dass alle Quadrate zueinander ähnlich sind. Nun betrachten wir die Rechtecke. Können wir einer Aussage über die Ähnlichkeit von Rechtecken machen? Ähnliche Rechtecke gehen durch Vergrößerung oder Verkleinerung ineinander über. Rechtecke sind genau dann ähnlich, wenn die Verhältnisse der Längen beider Seiten gleich sind. Im Video wird dir der Sachverhalt anschaulich erklärt. Viel Spaß!

Transkript Ähnliche Rechtecke

Einen schönen guten Tag, liebe Schülerinnen und Schüler. Herzlich willkommen zum Video "Geometrie Teil 50". Das Thema dieses Videos lautet "ähnliche Rechtecke". Stellen wir uns einmal vor, wir haben es mit diesen 5 schönen Rechtecken zu tun und wir stellen uns die Frage: Sind diese Rechtecke untereinander ähnlich? Könnt ihr euch noch daran erinnern, wie wir die Ähnlichkeit von Dreiecken und Quadraten überprüft haben? Auch hier werden wir das tun. Ich nehme mir mal die beiden größten Rechtecke vor, dass hellgrüne und das rote und werde nun feststellen, ob sie zueinander ähnlich sind. Als erstes, das wär ein Sonderfall, die Kongruenz, ist hier nicht gegeben, denn die beiden Rechtecke sind nicht deckungsgleich. Die beiden längeren Seiten der Rechtecke stimmen nicht überein. Durch Annäherung an die Kamera erziele ich eine Übereinstimmung der längeren Seiten. Aber die kürzeren Seiten stimmen nun nicht überein. Die an sich schon größere kürzere Seite des hellgrünen Rechtecks wird nun noch größer. So sehr ich mich auch bemühe, die Vergrößerung hilft nicht. Ich erziele keine Deckungsgleichheit, keine Kongruenz. Demzufolge sind beide Rechtecke nicht ähnlich. Ich sortiere daher das grüne Rechteck aus und bleibe bei meinem roten Rechteck. Ich nehme nun das kleine dunkelgrüne Rechteck und überprüfe, ob es zu dem großen roten Rechteck ähnlich ist. Ich nähere es dafür an die Kamera an, verschaffe ihm sozusagen eine Vergrößerung und tatsächlich erhalte ich eine Übereinstimmung in den längeren der beiden Seiten. Die kürzeren der beiden Seiten sind aber verschieden und daher sind beide Rechtecke nicht ähnlich zueinander. Nehme ich nun das gelbe Rechteck. Ich nähere es an die Kamera an, und man sieht sehr schön, dass es zu einer Übereinstimmung des gelben Rechtecks mit dem roten Rechteck kommt. Das gelbe Rechteck überdeckt exakt das rote Rechteck. Daher sind diese beiden Rechtecke tatsächlich ähnlich zueinander. Den gleichen Versuch führe ich nun mit dem kleinen blauen Rechteck durch. Ich nähere es an die Kamera an und ihr seht, dass es dazu kommt, dass das kleine blaue Rechteck das große rote Rechteck exakt überdeckt und das bedeutet, dass beide Rechtecke ähnlich zueinander sind. Blau, gelb und rot sind ähnlich zueinander. Das kann man noch mal schön sehen. Das blaue Rechteck überdeckt das gelbe Rechteck, das gelbe Rechteck überdeckt das rote Rechteck und schließlich überdecken sich alle 3 Rechtecke exakt. Somit sind die 3 Rechtecke links, blau, gelb und rot, ähnlich zueinander und die beiden grünen Rechtecke rechts sind zu diesen 3 Rechtecken links nicht ähnlich. Wie kann man nun die Ähnlichkeit für Rechtecke verallgemeinern? Erinnert euch an die Videos über Ähnlichkeit für Dreiecke und Quadrate. Wenn wir das kleine blaue Rechteck nehmen und vergrößern, so erhalten wir das gelbe Rechteck. Wenn wir dieses wieder vergrößern, so erhalten wir das große rote Rechteck. Und wenn wir das kleine blaue entsprechend stark vergrößern, so erhalten wir ebenfalls das große rote Rechteck. Durch die roten Pfeile wird jeweils eine Vergrößerung symbolisiert. Umgekehrt ist es natürlich möglich, dass eine Verkleinerung des mittleren gelben Rechtecks das kleine blaue Rechteck ergibt. Und natürlich kann auch eine Verkleinerung des großen roten Rechtecks zu dem kleinen blauen Rechteck führen. Und genauso ist es möglich, dass das große rote Rechteck durch Verkleinerung das gelbe Rechteck ergibt. Eine Verkleinerung wird hier durch einen blauen Pfeil symbolisiert. Formulieren wir einen Merksatz. Erstens: Ähnliche Rechtecke gehen durch Vergrößerung oder Verkleinerung ineinander über. Jetzt wollen wir einmal feststellen, wie wir mathematisch exakt formulieren können, wann wir es mit ähnlichen Rechtecken zu tun haben. Ich möchte die Rechtecke symbolhaft mit rot, gelb und blau abkürzen und anschließend ihre entsprechenden Seiten ausmessen. Die längere der beiden Seiten bezeichne ich mit a, die kürzere der beiden Seiten mit b. Die längere Seite a beträgt bei rot 24 cm, bei gelb 12 cm und bei blau 6 cm. Die Seite b wird für rot mit 16 cm, bei gelb mit 8 cm und bei blau mit 4 cm ausgemessen. Alle Seiten sind verschieden, aber trotzdem gibt es ein System. Wollen wir einmal das Verhältnis von a zu b bestimmen. Das heißt, wir berechnen den Bruch a/b. Wir erhalten für das rote Rechteck 24 cm/16 cm. Beim gelben Rechteck ergibt sich 12 cm/8 cm. Und schließlich haben wir für das blaue Dreieck 6 cm/4 cm. Der erste Schritt besteht darin, dass wir die Einheiten gegeneinander kürzen können, cm gegen cm. Anstelle der cm stehen Einsen, die dann in der weiteren Rechnung nicht mehr berücksichtigt werden müssen. Durch das Abwischverfahren erhalte ich nun 3 Brüche: 24/16, 12/8 und 6/4. Diese Brüche kann ich noch vereinfachen, indem ich Zähler und Nenner gegeneinander kürze. Im ersten Bruch habe ich den Teiler 8 und erhalte 3/2. Im zweiten Bruch habe ich den gemeinsamen Teiler 4 und erhalte 3/2. Und im dritten Bruch habe ich den gemeinsamen Teiler 2 und erhalte 3/2. Ich lösche die Zwischenrechnung weg und lasse nur die Endergebnisse stehen: dreimal 3/2. Das bedeutet somit, dass der Quotient a/b für unsere 3 untereinander ähnlichen Rechtecke jeweils 3/2 beträgt. Wir wollen nun einen Merksatz formulieren. Habt ihr eine Idee? Vielleicht so: Rechtecke sind genau dann ähnlich, wenn die Verhältnisse der Längen beider Seiten gleich sind. Wenn a die Länge der einen Seite des Rechtecks ist und b die andere Seite des Rechtecks ist, so erhalten wir als Quotient a/b=k, in unserem Falle wäre k=3/2. K ist sinnvollerweise eine Zahl, die größer als 0 ist. So, das war es schon wieder für heute. Euch, lieben Schülerinnen und Schülern, wünsche ich alles Gute und Gesundheit. Na dann, auf Wiedersehen.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Videostelle angeben!

    Von André Otto, vor mehr als 4 Jahren
  2. wieso kürzt man die cm und muss man die cm kürzen

    Von Vn Avramovic, vor mehr als 4 Jahren
  3. Das Video ist echt richtig gut gemacht! Es macht Spaß zuzuhören, außerdem habe ich selten in einer Schulstunde soviel gelernt, wie in diesem Video. Danke!

    Von Tom Kueng99, vor fast 9 Jahren

Ähnliche Rechtecke Übung

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  • Beschreibe anschaulich, was Ähnlichkeit von Rechtecken bedeutet.

    Tipps

    Das gelbe Rechteck in diesem Beispiel deckt das rote nicht komplett ab. Wenn du das gelbe Rechteck weiter vergrößerst, deckt es zwar das rote ab. Allerdings deckt umgekehrt das rote nicht das gelbe Rechteck ab. Diese Rechtecke sind nicht ähnlich.

    Hier siehst du noch einen weiteren Zwischenschritt.

    Lösung

    Wenn du das kleinere gelbe Rechteck auf das größere rote legst, decken die beiden Rechtecke sich nicht ab.

    Bewegst du allerdings das gelbe Rechteck immer mehr in Richtung deines Auges, dann erkennst du, dass der sichtbare rote Bereich immer kleiner wird. Schließlich deckt das gelbe Rechteck das rote komplett ab. Die Rechtecke sind also deckungsgleich. Das kannst du hier sehen.

    Wenn dies möglich ist, dann sind die Rechtecke ähnlich zueinander.

  • Fasse zusammen, was Ähnlichkeit von Rechtecken bedeutet.

    Tipps

    Die Seitenlängen eines Rechtecks werden häufig mit $a$ sowie $b$ bezeichnet.

    Bei ähnlichen Rechtecken gilt, mathematisch, $\frac ab=$ konstant.

    Multipliziere bei einem Rechteck mit den Seitenlängen $a=10~\text{cm}$ und $b=8~\text{cm}$ die eine Seite, zum Beispiel $a$, mit $2$. Wenn du auch $b$ mit $2$ multiplizierst, erhältst du ein ähnliches Rechteck.

    Lösung

    Du weißt nun, wie du anschaulich Ähnlichkeit nachweisen kannst. Das hat allerdings einen Nachteil: Du musst jedes Mal die Rechtecke ausschneiden und das kleinere so an dein Auge bewegen, dass es das größere komplett abdeckt. Wenn die Rechtecke sehr groß sind, wirst du merken, dass du diese gar nicht auf ein Blatt Papier zeichnen kannst, geschweige denn ausschneiden.

    Du kannst dir hierfür Merksätze einprägen:

    1. Ähnliche Rechtecke gehen durch Verkleinerung oder Vergrößerung ineinander über. Dies entspricht der oben dargestellten Anschauung.
    2. Rechtecke sind genau dann ähnlich, wenn die Verhältnisse der Längen beider Seiten gleich sind. Was bedeutet das?
    Schau dir hierfür ein Beispiel an: Rechteck $1$ hat die Seitenlängen $24~\text{cm}$ sowie $16~\text{cm}$ und Rechteck $2$ die Seitenlängen $12~\text{cm}$ sowie $8~\text{cm}$. Bestimme nun jeweils das Verhältnis der Seitenlängen:

    • $\frac{24~\text{cm}}{16~\text{cm}}=\frac{24}{16}=\frac32$ und
    • $\frac{12~\text{cm}}{8~\text{cm}}=\frac{12}{8}=\frac32$.
    Umgekehrt kannst du sehen, zum Beispiel an den längeren Seiten, dass $2\cdot12~\text{cm}=24~\text{cm}$ ist. Ebenso gilt für die kürzeren Seiten $2\cdot 8~\text{cm}=16~\text{cm}$.

  • Entscheide, welches der Rechtecke ähnlich zu dem roten Rechteck ist.

    Tipps

    Du kannst die Seitenlängen $a=8$ sowie $b=4$ des Rechtecks durch Zählen der Kästchen auf dem Papier ermitteln.

    Das Verhältnis der Seitenlängen des roten Rechtecks ist $8:4=2:1$.

    Ein zu dem roten Rechteck ähnliches Rechteck muss ebenfalls das Seitenverhältnis $2:1$ von längerer zu kürzerer Seite haben.

    Ein Quadrat hat das folgende Verhältnis der Seitenlängen zueinander: $1:1$.

    Lösung

    1. Ähnliche Rechtecke gehen durch Verkleinerung oder Vergrößerung ineinander über.
    2. Rechtecke sind genau dann ähnlich, wenn die Verhältnisse der Längen beider Seiten gleich sind.
    Die zweite Beschreibung kannst du in dieser Aufgabe üben.

    Das rote Rechteck hat das Verhältnis $8:2=2:1$ der längeren zu der kürzeren Seitenlänge.

    Jedes dazu ähnliche Rechteck muss das gleiche Seitenverhältnis aufweisen.

    Dies ist der Fall bei den folgenden Rechtecken:

    • (2) $6:3=2:1$,
    • (5) $4:2=2:1$ und
    • (6) $2:1$.
    Bei allen übrigen Rechtecken liegt ein anderes Seitenverhältnis vor. Zum Beispiel ist das Rechteck (1) ein Quadrat. Dieses hat das Seitenverhältnis $1:1$.

  • Ermittle das Verhältnis der Seitenlängen und bestimme die fehlenden Seitenlängen so, dass alle Rechtecke ähnlich zueinander sind.

    Tipps

    Wenn du einen Bruch kürzen möchtest, kannst du Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividieren.

    Wenn die längere Seite bekannt ist, multiplizierst du diese mit dem Kehrwert des ermittelten Teilungsverhältnisses.

    Wenn die kürzere Seite bekannt ist, multiplizierst du diese mit dem ermittelten Teilungsverhältnis.

    Lösung

    Ermittle zunächst das Teilungsverhältnis der längeren zu der kürzeren Seite des gegebenen Rechtecks 1: $\frac{20}8=\frac52$.

    Dieses Seitenverhältnis müssen auch die beiden anderen Rechtecke aufweisen, damit sie ähnlich zu Rechteck 1 sind.

    Rechteck $2$

    Bekannt ist die kürzere Seite $b=6~\text{cm}$. Es muss also gelten:

    $\frac{a}{6~\text{cm}}=\frac52$.

    Multipliziere mit $6~\text{cm}$. Dies führt zu $a=\frac52 \cdot 6~\text{cm}=15~\text{cm}$.

    Rechteck $3$

    Bei diesem Rechteck ist die längere der beiden Seiten bekannt. Es ist sinnvoll, hier den Kehrwert des Teilungsverhältnisses zu verwenden:

    $\frac{b}{10~\text{cm}}=\frac25$.

    Multipliziere mit $10~\text{cm}$. Dies führt zu $b=\frac25 \cdot 10~\text{cm}=4~\text{cm}$.

  • Gib an, ob die Rechtecke vergrößert oder verkleinert werden.

    Tipps

    Was bedeutet Vergrößerung oder Verkleinerung? Das kannst du dir zum Beispiel an den Seitenlängen klarmachen. Werden diese größer, so erhältst du ein vergrößertes Rechteck.

    • Die abgebildeten Rechtecke sind alle ähnlich zueinander.
    • Sie sind auch so angeordnet, dass die einander entsprechenden Seiten immer parallel zueinander sind.
    Lösung

    Wenn du ein Rechteck entweder verkleinerst oder vergrößerst, erhältst du ein ähnliches Rechteck. Diese beiden Umformungen der Rechtecke werden auch häufig zusammengefasst zu zentrischen Streckungen.

    Dies kannst du hier am Beispiel der abgebildeten ähnlichen Rechtecke sehen.

    • Wenn du das Rote verkleinerst, erhältst du das Gelbe oder das Blaue. Dies ist kenntlich gemacht durch die blauen Pfeile.
    • Wenn du das Blaue vergrößerst, erhältst du das Gelbe oder das Rote. Dies erkennst du an den roten Pfeilen.
  • Leite den Zusammenhang zwischen dem Verhältnis der Seitenlängen zueinander sowie dem der Flächeninhalte her.

    Tipps

    Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$ ist gegeben durch $A=a\cdot b$.

    Beachte, dass jede der beiden Seiten mit dem gleichen Faktor multipliziert wird.

    Lösung

    Wenn du die Seitenlängen des roten Rechtecks mit dem Faktor $1,5$ multiplizierst, erhältst du die Seitenlängen des grünen Rechtecks.

    Wie sieht das Teilungsverhältnis der Flächeninhalte aus?

    • Das rote Rechteck hat den Flächeninhalt $4\cdot 2=8$.
    • Das grüne Rechteck hat den Flächeninhalt $6\cdot 3=18$.
    Es gilt $\frac{18}{8}=2,25$. Dieses Ergebnis ist gerade das Quadrat des obigen Faktors $1,5^2=2,25$.

    Du kannst dies auch direkt über die Flächenberechnung des grünen Rechtecks mit dem Faktor $k=1,5$ nachweisen:

    $A=k\cdot 4\cdot k\cdot 2=k\cdot k\cdot 4\cdot 2=k^2\cdot 8$.

    Es gilt also, dass der Flächeninhalt des grünen Rechtecks das $k^2$-fache des Flächeninhaltes des roten Rechtecks ist. Hier ist $k=1,5$, also $k^2=2,25$.

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