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Achsen- und Punktspiegelung – Einführung 06:49 min

Textversion des Videos

Transkript Achsen- und Punktspiegelung – Einführung

Hallo! In diesem Video geht es um ein Thema aus der Geometrie, der Symmetrie. Genauer: der Achsen- und Punktspiegelungen.
Zunächst wollen wir auf die Suche nach Spiegelungen im Alltag gehen. Dann untersuchen wir, welche Eigenschaften jeweils die Achsenspiegelungen und Punktspiegelungen haben. Mit diesem Wissen betrachten wir die anfangs gesammelten Beispiele noch einmal genauer und unterscheiden, welcher Typ der Spiegelung vorliegt. Zuletzt gebe ich dann noch keine kurze Anleitung wie du selber spiegeln kannst. Genug der Vorrede.
Hier steht ein A und ein R. Welchen deutlichen Unterschied gibt es zwischen den beiden Buchstaben? Das A kommt häufiger vor. Okay, mag sein. Aber ins Auge springt sofort: Das A sieht links so aus wie rechts. Das heißt: schneiden wir das A durch und halten es vor einen Spiegel, haben wir wieder ein komplettes A. Das A ist also spiegelsymmetrisch, das R hingegen nicht. Wir können das R nirgendwo durchschneiden, spiegeln und wieder ein komplettes R bekommen. Heraus kommt eher ein M mit einem Loch. Es gibt natürlich noch viel mehr Beispiele für Spiegelungen. Sammeln wir ein bisschen: Wo begegnen uns im Alltag Spiegelungen? Nun, neben dem A gibt es noch viele andere Buchstaben, die spiegelsymmetrisch sind, zum Beispiel das H, das I oder das O. Und das E? Sieht auch symmetrisch aus. Und das S? Aber anders, als die anderen Buchstaben. Wir kommen darauf zurück. In der Natur fällt uns sicher zuerst der Schmetterling ein. Der Marienkäfer ist ebenfalls symmetrisch, genauso wie zahlreiche Bauwerke, etwa Brücken, Türme und andere Gebäude. Spielkarten sind symmetrisch und natürlich fast alle geometrischen Formen, die wir kennen: Rechtecke, Kreise, Dreiecke und so weiter.
Jetzt wollen wir genauer untersuchen, worin sich Achsen- und Punktspiegelungen unterscheiden. Dazu nehmen wir nochmal den Buchstaben A. Wenn wir eine Achse durch das A legen, welche den Buchstabe halbiert und jeden Punkt links von der Achse nach rechts spiegeln und umgekehrt, dann bleibt das A unverändert. Es ist demnach achsensymmetrisch. Das können wir nun verallgemeinern: Jede Figur, die bei der Spiegelung an einer Achse in sich selbst übergeht, heißt achsensymmetrisch. Punkt A wird zu A‘ und umgekehrt, B zu B‘, C zu C‘. Die Achse, an der gespiegelt wird, heißt Symmetrieachse.
Jetzt schauen wir uns das S an, hier finden wir keine Symmetrieachse. Allerdings können wir jeden Punkt vom S an dem Punkt in der Mitte spiegeln, ohne dass das S sich ändert. Das S ist demnach punktsymmetrisch. Wir verallgemeinern: Jede Figur, die bei der Spiegelung an einem Punkt Z in sich selbst übergeht, heißt punktsymmetrisch. Der Punkt Z heißt Symmetriezentrum. Es gibt noch eine zweite Möglichkeit, Punktspiegelungen zu definieren. Auch wenn du die Figur um eine halbe Drehung drehst, kommt sie mit sich zur Deckung. Die Punktspiegelung ist also gleichbedeutend mit einer halben Drehung.
Bei unseren Beispielen von vorhin können wir nun prüfen, welche Symmetrie vorliegt. Schmetterlinge und Marienkäfer sind annähernd achsensymmetrisch. Perfekte Symmetrien gibt es in der Natur nicht. Spielkarten sind punktsymmetrisch, prüfe es mit einer halben Drehung. Der Kreis hat viele Symmetrien, er hat zum Beispiel unendlich viele Symmetrieachsen: jede Gerade, die durch den Mittelpunkt geht. Punktsymmetrisch ist er auch, sogar symmetrisch unter jeder Drehung. Das Dreieck ist hingegen nur achsensymmetrisch, wenn es gleichseitig oder gleichschenklig ist. Punktsymmetrisch ist es nicht, denn eine Figur mit einer ungeraden Anzahl an Ecken kann niemals punktsymmetrisch sein.
Jetzt noch eine kurze Anleitung zum selber Spiegeln. Am besten geht es mit dem Geodreieck. Willst du Achsenspiegelungen machen, lege die Mittellinie des Geodreiecks so auf die Symmetrieachse, das der Punkt, den du spiegeln möchtest, an der langen Seite liegt. Dann markiere auf der anderen Seite im gleichen Abstand den gespiegelten Punkt. Bei Punktspiegelungen legst du den Nullpunkt des Geodreiecks so in das Symmetriezentrum, dass der Punkt, den du spiegeln möchtest, an der langen Seite liegt. Auch jetzt den gespiegelten Punkt auf der anderen im gleichen Abstand markieren.
Wir fassen kurz zusammen: Jede Figur, die bei der Spiegelung an einer Achse in sich selbst übergeht, heißt achsensymmetrisch. Die Achse, an der gespiegelt wird, heißt Symmetrieachse. Eine Figur heißt punktsymmetrisch, wenn sie bei der Spiegelung an einem Punkt Z in sich selbst übergeht. Der Punkt Z heißt dann Symmetriezentrum.
Tschüss!

73 Kommentare
  1. Default

    Fande *

    Von Daniellarathmer, vor 7 Tagen
  2. Default

    Ich fände es sehr toll danke 😄

    Von Daniellarathmer, vor 7 Tagen
  3. Default

    Gut erklärt!

    Von Simon K., vor 15 Tagen
  4. Default

    ist voll cool und hat mir weitergeholfen

    Von Marko Rohde, vor 16 Tagen
  5. Default

    Ganz okay 👌

    Von Mknolli77, vor etwa einem Monat
  1. Img 4245

    Cool echt cool krass

    Von Jonas Erik S., vor etwa 2 Monaten
  2. Default

    echt gut moin

    Von Manuelalimberger, vor etwa 2 Monaten
  3. Default

    woooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooow echt tolllllllllllllllllllll

    Von Manuelalimberger, vor etwa 2 Monaten
  4. Default

    ist einfach und cool

    Von Marcus Kw3er, vor etwa 2 Monaten
  5. 20190228 114114

    besten dank für die freundliche erklärung schade das man das mann alle >Viedeos nicht in HD sehen kann mann das in Zukunft verbessern?

    Von Mystery S., vor 2 Monaten
  6. Default

    mir hat das video Geholfen weil es gut ehrklärt wurde

    Von Max Hut, vor 3 Monaten
  7. Default

    toll

    Von Kmacgowan, vor 3 Monaten
  8. Default

    Mir hat das Video geholfen

    Von Sascha Schmitt, vor 3 Monaten
  9. Default

    hat mir leider nicht geholfen nicht emphelenswert

    Von Aschabus, vor 3 Monaten
  10. Default

    bei mir wirt es nie sumotrisch ich screibe sirch

    Von PATRIK D., vor 3 Monaten
  11. Default

    verstehe das net

    Von Leon L., vor 3 Monaten
  12. Default

    ficken

    Von Leon L., vor 3 Monaten
  13. Default

    Wie schreibt man schöneeeeerrr😠😠😠😠😠😠😠😠😠😠👍👍😅😅😅😅😠😠😠😠😠😠😠😠😠😠😠😠😠😠😠😠😠😠😠😠😠😠😠😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😫😔😔😔😣😣

    Von talha D., vor 4 Monaten
  14. Default

    Wie kann man so eine schöne Schrift haben? gibt es dazu ein video?

    Von O Reichel77, vor 4 Monaten
  15. Default

    Hmmmmmmm lass mich überlegen :SSSSSUUUUPPPEER !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    Von Sophia W., vor 5 Monaten
  16. Default

    Sehr hilfreich =) =) =)

    Von Wadi Raid, vor 5 Monaten
  17. Default

    Es ist einfach (= OK=)

    Von Colorman Mike, vor 5 Monaten
  18. Default

    Endlich kapiert 💁

    Von B Sadiku, vor 5 Monaten
  19. Default

    das Video hat mir sehr geholfen !!!! DANKE !!!!!!!!!

    Von Rebeccagakis, vor 6 Monaten
  20. Florian huge 2017

    Hallo Johanna K.,
    danke für deinen Kommentar!
    Falls du die Stelle bei der Minute 3:17 meinst, dann wird da ja gesagt, dass der Punkt A zu Punkt A' wird. Bei der Spiegelung von Punkten redet man meist von Originalpunkten und Bildpunkten. Der Originalpunkt ist ein Punkt der Ausgangsfigur, die gespiegelt wird und ein Bildpunkt ist der Punkt, der durch die Spiegelung entsteht und welcher mit einem Strich versehen wird. Die beiden Punkte A und A' sind also nicht identisch. A' entsteht aus A durch Spiegelung an der Symmetrieachse.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Florian H., vor 6 Monaten
  21. Default

    Schöne Schrift übrigens 😀

    Von Christoph B., vor 6 Monaten
  22. Default

    Gut aber das aufzählen von Beispielen aus dem Alltag war nicht sooooo wichtig

    Von Christoph B., vor 6 Monaten
  23. Default

    Das mit dem A=A´habe ich nicht so ganz verstanden
    da wäre se toll wenn sie mir es nochmal erklären könnten.

    Von Johanna K., vor 6 Monaten
  24. Default

    danke es hat mir sehr geholfen

    Von Anette 10, vor 6 Monaten
  25. Jeanne

    Nur um Missverständnissen vorzubeugen: In der Leiste rechts unter dem Video "Videos im Thema" taucht auch jeweils das aktive Video selbst auf. Wenn du darauf klickst (hier z. B. auf "Achsen- und Punktspiegelung – Einführung"), dann passiert nichts. Du erkennst das aktive Video in der Leiste auch daran, dass es leicht grau hinterlegt ist.

    Von Jeanne O., vor 6 Monaten
  26. Jeanne

    Hallo Wuju,
    danke für dein Feedback. Könntest du den Link einfügen oder den Titel genau benennen? Wir möchten dir gerne schnellstmöglich helfen.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor 6 Monaten
  27. Default

    das Link zum Achsen und Punktspieglung funktioniert nicht. Es wurde immer zu einer anderen Video weitergeleitet. Bitte korrigieren Sie diesen Fehler sofort.

    Von Wuju, vor 6 Monaten
  28. Default

    gut gelungen

    Von Mika B., vor 7 Monaten
  29. Default

    :):):):):):):)

    Von Wadi Raid, vor 7 Monaten
  30. Default

    Echt lehrreich

    Von Jcsewo, vor 9 Monaten
  31. Default

    Schöne Schrift

    Von Fleissner De, vor 11 Monaten
  32. Default

    nich cool

    Von M Sanuri, vor 12 Monaten
  33. Default

    blöd

    Von M Sanuri, vor 12 Monaten
  34. Default

    Danke

    Von Benno R., vor etwa einem Jahr
  35. 1489242427575

    In Schule versteht man nichts, und hier versteht man alles . War sehr hilfreich.

    Von Kashi Keshari, vor etwa einem Jahr
  36. Img 20180314 122805 027

    @Rose Eisenach : Hallo Rose, bei einem Quadrat ist es ein bisschen wie beim Kreis. Das Quadrat ist ganz offensichtlich Achsensymmetrisch: Wenn du ein Quadrat ausschneidet kannst du es an einer Achse falten, ohne das irgendwo etwas übersteht. Es gibt hier vier Symmetrieachsen. Die Diagonalen und die Mittelsenkrechten. Außerdem ist das Quadrat Punktsymmetrisch zum Mittelpunkt. Es ist also sowohl Achsen-, als auch Punktsymmetrisch.

    Von Hjördis Leiser, vor etwa einem Jahr
  37. Default

    ?

    Von Benno R., vor etwa einem Jahr
  38. Default

    ist ein Quadrat dann Achsensesymmertrisch und Punktsymmetrisch

    Von Benno R., vor etwa einem Jahr
  39. 1489242427575

    Sehr hilfreich

    Von Kashi Keshari, vor etwa einem Jahr
  40. Albrecht

    @Ackermann Daneshpour: Die Karte ist tatsächlich nicht achsensymmetrisch, aber punktsymmetrisch. Das wird später in dem Video erklärt.
    Im Abschnitt 1) Spiegelungen im Alltag wird die Karte deshalb neben das S gestellt, weil beide diese besondere Form der Symmetrie aufweisen.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Albrecht Kröner, vor etwa einem Jahr
  41. Default

    Die KArte ist NICHT symmetrisch.

    Von Ackermann Daneshpour, vor etwa einem Jahr
  42. Default

    Die Formulierung in der Definition „ ..... Figur ..... die in sich selbst übergeht...“ finde ich schwer verständlich. Ansonsten sehr anschaulich dargestellt.

    Von Gabs, vor mehr als einem Jahr
  43. Default

    es gibt gar keine Karten die wirklich symetrisch sind
    :/?

    Von Marci W., vor mehr als einem Jahr
  44. Default

    besser geht es nicht
    super
    danke

    Von Inheld, vor mehr als einem Jahr
  45. Default

    Die Karte ist nur Punktsymmetrisch

    Von Joe Engel, vor mehr als einem Jahr
  46. Default

    Die Karte ist aber nicht Symmetrisch

    Von Joe Engel, vor mehr als einem Jahr
  47. Default

    lol

    Von Markus Pfeiffer, vor mehr als einem Jahr
  48. Default

    das Video war sehr hilfreich

    Tschüss :D

    Von Shrubbydee, vor fast 2 Jahren
  49. Default

    Tschüss :D

    Von Julian :), vor fast 2 Jahren
  50. Default

    :-)

    Von Josefpieper, vor fast 2 Jahren
  51. Default

    Tolles Video,sehr schön Schrift und gut erklärt!

    Von Monikaschroeder1, vor etwa 2 Jahren
  52. Default

    sehr hilfreich

    Von Karsten Schulz Priv, vor etwa 2 Jahren
  53. T.truncatus fichaweb

    Danke für das Video, es war sehr schön. Aber was für ein Ende! Tschüss

    Von Scuba Jack B., vor etwa 2 Jahren
  54. Default

    Ich finde das am Ende ein bisschen unhöflich nur: tschüss zu sagen.
    Vieleicht einen anderen satz aus suchen bitte. Aber schon ein tolles Video. Und euch allen ein schönes Wochenende das habt ihr euch verdient oder wie sieht ihr das ? Viel Spaß euch noch :). Und viel spaß am Montag in der Schule. Habt ihr schon eine AG wenn ja dann ist es ja schön weil in unserer Schule finden die alle am Montag statt. Gehnisst das schöne Wetter

    Von Smakulla, vor fast 3 Jahren
  55. Default

    sehr gut!

    Von Camila C., vor fast 3 Jahren
  56. Default

    Sehr hilfreich

    Von Gsiegmar, vor fast 3 Jahren
  57. Default

    sehr erklärend

    Von Friederike Breitfeld, vor etwa 3 Jahren
  58. Default

    Sehr gut erklärt und sehr schöne schrift

    Von Emresacin, vor etwa 3 Jahren
  59. Default

    gut ;D

    Von Mmalaika13, vor mehr als 3 Jahren
  60. Image

    Gute Erklärung und schöne Schrift ;)

    Von Murat46, vor etwa 4 Jahren
  61. Default

    gut;)

    Von Simon 13, vor mehr als 4 Jahren
  62. Default

    Super und Dankeschön

    Von Anisou, vor mehr als 4 Jahren
  63. Default

    Cool! Am Anfang ein Schmetterling

    Von Nadinescheifele, vor mehr als 4 Jahren
  64. Default

    Sehr schön erklärt :D

    Von Ibrahimmurat, vor mehr als 4 Jahren
  65. Default

    super vielen dank

    Von Deleted User 205638, vor mehr als 4 Jahren
  66. Default

    sehr gut erklärt :)

    Von Luca 5, vor etwa 5 Jahren
  67. Default

    sehr gut erklärt innerlich auch sehr gut und auch sehr schöne schrift

    Von Sertm1981, vor mehr als 5 Jahren
  68. Default

    sehr gut erklärt. Danke

    Von Wodo, vor mehr als 5 Jahren
Mehr Kommentare

Achsen- und Punktspiegelung – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Achsen- und Punktspiegelung – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib Spiegelungen an, die im Alltag zu finden sind.

    Tipps

    Überlege dir, an welcher Achse du die Dinge spiegeln kannst.

    Die Begriffe Achsensymmetrie und Spiegelsymmetrie sind gleichbedeutend.

    Lösung

    Jede Figur, die bei der Spiegelung an einer Achse in sich selbst übergeht, heißt achsensymmetrisch. Achsensymmetrie und Spiegelsymmetrie sind gleichbedeutend. Die Achse, an der gespiegelt wird, heißt Symmetrieachse.

    In der Natur gibt es viele annähernd spiegelsymmetrische Figuren wie beispielsweise Schmetterlinge, Käfer, Blätter und vieles mehr. Zudem gibt es auch einige Buchstaben in unserem Alphabet wie A, H, O, I und E, die spiegelsymmetrisch sind.

  • Gib an, ob die Figur punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch ist.

    Tipps

    Eine Figur mit einer ungeraden Anzahl an Ecken kann niemals punktsymmetrisch sein.

    Dreht man eine Figur um eine halbe Drehung und sieht diese Figur dann immer noch so aus wie vor der Drehung, so ist sie punktsymmetrisch.

    In der Natur kommen häufig annähernd achsenymmetrische Figuren vor.

    Lösung

    Häufig kann man bei Figuren oder Mustern erkennen, dass sie regelmäßig sind. Ist es bei einer Figur möglich, sie so zu falten, dass die beiden Hälften deckungsgleich sind, so wird diese Figur als achsensymmetrisch bezeichnet. Man kann diese Figuren also an der Symmetrieachse spiegeln.

    Bei der Punktspiegelung ist das anders. Man spiegelt die einzelnen Punkte nicht an einer Achse, sondern an einem Punkt, welchen man Symmetriezentrum nennt. Eine punktsymmetrische Figur kann man auch daran erkennen, dass sie bei einer halben Drehung mit sich zur Deckung kommt.

  • Erkläre die Begriffe Achsenspiegelung und Punktspiegelung.

    Tipps

    Im Gegensatz zur Achsensymmetrie wird eine Figur bei der Punktsymmetrie nicht an einer Achse gespiegelt.

    In wie viele Stücke wird eine Figur geteilt, wenn man eine Achse durch diese Figur legt?

    Lösung

    In unserer Umgebung gibt es viele Figuren, die symmetrisch sind. Kann man eine Figur in zwei identische Hälften teilen, so nennt man diese achsensymmetrisch. Die Achse, die die beiden Hälften der Figur trennt, nennt man dabei Symmetrieachse.

    Punktsymmetrische Figuren besitzen ein Symmetriezentrum. Spiegelt man alle Punkte der Figur an diesem Zentrum, so bleibt die Figur unverändert. Die Punktspiegelung ist gleichbedeutend mit einer halben Drehung. Wenn eine Spielkarte um eine halbe Drehung gedreht wird, so ist das Anfangsmuster wieder zu erkennen, das heißt, die Karte kommt mit sich zur Deckung.

  • Gib die Figuren an, die am Zentrum richtig gespiegelt wurden.

    Tipps

    Die Punktspiegelung ist gleichbedeutend mit einer halben Drehung.

    Achte auch auf die Benennung der Punkte und Bildpunkte.

    Lösung

    Bei einer Punktspiegelung wird jedem Punkt P ein Bildpunkt P' zugeordnet. Die Hilfslinien, die beide Punkte miteinander verbinden, verlaufen durch das Symmetriezentrum Z. Beide Punkte haben denselben Abstand zu Z.

    Punktspiegelungen kann man auch daran erkennen, dass die gespiegelte Figur bei einer halben Drehung mit sich zur Deckung kommt.

  • Gib die Symmetrieachsen der angegebenen Figur an.

    Tipps

    Achsensymmetrisch bedeutet, dass eine Figur in zwei spiegelgleiche Teile zerlegt werden kann.

    Wähle beliebige Punkte aus und spiegel diese an der Symmetrieachse. Sind alle Bildpunkte wieder auf der Figur?

    Lösung

    Eine Figur ist dann achsensymmetrisch, wenn sie bei der Spiegelung an einer Achse in sich selbst übergeht. Die Gerade, die beide Teile voneinander trennt, nennt man Symmetrieachse oder auch Spiegelachse. Bei der Achsenspiegelung hat ein Punkt A auf der Figur einen Bildpunkt A', der ebenfalls auf der Figur liegt. Diese beiden Punkte haben den gleichen Abstand von der Spiegelachse.

  • Erkläre, wie du die Figuren an den jeweiligen Symmetrieachsen spiegeln kannst.

    Tipps

    Durch Abzählen der Kästchen kannst du die Entfernung eines Punktes auf der Figur zur Symmetrieachse herausfinden.

    Der gespiegelte Punkt muss denselben Abstand zur Symmetrieachse haben wie der Ausgangspunkt.

    Die Verbindungslinie zwischen einem Punkt und seinem gespiegelten Punkt muss immer senkrecht zur Symmetrieachse verlaufen.

    Lösung

    Als Erstes wählen wir geeignete Punkte auf der Ausgangsfigur aus, um sie an der Symmetrieachse zu spiegeln. Dafür eignen sich besonders Eck- und Endpunkte der Figur, deren Bildpunkte man nach der Spiegelung einfach miteinander verbinden kann.

    Mit einem Geodreieck kann man am leichtesten einen gespiegelten Punkt im gleichen Abstand zur Symmetrieachse einzeichnen. Da hier Kästchen eingezeichnet sind, kannst du auch einfach die Kästchen zählen. Beachte dabei immer, dass die Verbindungslinie zwischen einem Punkt und seinem gespiegelten Punkt stets senkrecht, also im $90°$-Winkel, zur Spiegelachse stehen muss.