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Achsen- und Punktspiegelung – Einführung 06:49 min

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Transkript Achsen- und Punktspiegelung – Einführung

Hallo! In diesem Video geht es um ein Thema aus der Geometrie, der Symmetrie. Genauer: der Achsen- und Punktspiegelungen.
Zunächst wollen wir auf die Suche nach Spiegelungen im Alltag gehen. Dann untersuchen wir, welche Eigenschaften jeweils die Achsenspiegelungen und Punktspiegelungen haben. Mit diesem Wissen betrachten wir die anfangs gesammelten Beispiele noch einmal genauer und unterscheiden, welcher Typ der Spiegelung vorliegt. Zuletzt gebe ich dann noch keine kurze Anleitung wie du selber spiegeln kannst. Genug der Vorrede.
Hier steht ein A und ein R. Welchen deutlichen Unterschied gibt es zwischen den beiden Buchstaben? Das A kommt häufiger vor. Okay, mag sein. Aber ins Auge springt sofort: Das A sieht links so aus wie rechts. Das heißt: schneiden wir das A durch und halten es vor einen Spiegel, haben wir wieder ein komplettes A. Das A ist also spiegelsymmetrisch, das R hingegen nicht. Wir können das R nirgendwo durchschneiden, spiegeln und wieder ein komplettes R bekommen. Heraus kommt eher ein M mit einem Loch. Es gibt natürlich noch viel mehr Beispiele für Spiegelungen. Sammeln wir ein bisschen: Wo begegnen uns im Alltag Spiegelungen? Nun, neben dem A gibt es noch viele andere Buchstaben, die spiegelsymmetrisch sind, zum Beispiel das H, das I oder das O. Und das E? Sieht auch symmetrisch aus. Und das S? Aber anders, als die anderen Buchstaben. Wir kommen darauf zurück. In der Natur fällt uns sicher zuerst der Schmetterling ein. Der Marienkäfer ist ebenfalls symmetrisch, genauso wie zahlreiche Bauwerke, etwa Brücken, Türme und andere Gebäude. Spielkarten sind symmetrisch und natürlich fast alle geometrischen Formen, die wir kennen: Rechtecke, Kreise, Dreiecke und so weiter.
Jetzt wollen wir genauer untersuchen, worin sich Achsen- und Punktspiegelungen unterscheiden. Dazu nehmen wir nochmal den Buchstaben A. Wenn wir eine Achse durch das A legen, welche den Buchstabe halbiert und jeden Punkt links von der Achse nach rechts spiegeln und umgekehrt, dann bleibt das A unverändert. Es ist demnach achsensymmetrisch. Das können wir nun verallgemeinern: Jede Figur, die bei der Spiegelung an einer Achse in sich selbst übergeht, heißt achsensymmetrisch. Punkt A wird zu A‘ und umgekehrt, B zu B‘, C zu C‘. Die Achse, an der gespiegelt wird, heißt Symmetrieachse.
Jetzt schauen wir uns das S an, hier finden wir keine Symmetrieachse. Allerdings können wir jeden Punkt vom S an dem Punkt in der Mitte spiegeln, ohne dass das S sich ändert. Das S ist demnach punktsymmetrisch. Wir verallgemeinern: Jede Figur, die bei der Spiegelung an einem Punkt Z in sich selbst übergeht, heißt punktsymmetrisch. Der Punkt Z heißt Symmetriezentrum. Es gibt noch eine zweite Möglichkeit, Punktspiegelungen zu definieren. Auch wenn du die Figur um eine halbe Drehung drehst, kommt sie mit sich zur Deckung. Die Punktspiegelung ist also gleichbedeutend mit einer halben Drehung.
Bei unseren Beispielen von vorhin können wir nun prüfen, welche Symmetrie vorliegt. Schmetterlinge und Marienkäfer sind annähernd achsensymmetrisch. Perfekte Symmetrien gibt es in der Natur nicht. Spielkarten sind punktsymmetrisch, prüfe es mit einer halben Drehung. Der Kreis hat viele Symmetrien, er hat zum Beispiel unendlich viele Symmetrieachsen: jede Gerade, die durch den Mittelpunkt geht. Punktsymmetrisch ist er auch, sogar symmetrisch unter jeder Drehung. Das Dreieck ist hingegen nur achsensymmetrisch, wenn es gleichseitig oder gleichschenklig ist. Punktsymmetrisch ist es nicht, denn eine Figur mit einer ungeraden Anzahl an Ecken kann niemals punktsymmetrisch sein.
Jetzt noch eine kurze Anleitung zum selber Spiegeln. Am besten geht es mit dem Geodreieck. Willst du Achsenspiegelungen machen, lege die Mittellinie des Geodreiecks so auf die Symmetrieachse, das der Punkt, den du spiegeln möchtest, an der langen Seite liegt. Dann markiere auf der anderen Seite im gleichen Abstand den gespiegelten Punkt. Bei Punktspiegelungen legst du den Nullpunkt des Geodreiecks so in das Symmetriezentrum, dass der Punkt, den du spiegeln möchtest, an der langen Seite liegt. Auch jetzt den gespiegelten Punkt auf der anderen im gleichen Abstand markieren.
Wir fassen kurz zusammen: Jede Figur, die bei der Spiegelung an einer Achse in sich selbst übergeht, heißt achsensymmetrisch. Die Achse, an der gespiegelt wird, heißt Symmetrieachse. Eine Figur heißt punktsymmetrisch, wenn sie bei der Spiegelung an einem Punkt Z in sich selbst übergeht. Der Punkt Z heißt dann Symmetriezentrum.
Tschüss!

76 Kommentare
  1. Das Video war an sich gut aber die Erklärung der Achsensymmetrie ging nahtlos in die,der Punktsymmetrie über ich habe das Video nur zur Wiederholung geschaut.Als unwissender hätte ich es nicht sofort verstanden.

    Von Corinna Ober, vor 6 Monaten
  2. Das war sehr langweilig macht lustigare videos!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.

    Von Manuela Rudolph, vor 7 Monaten
  3. Hat mir sehr gut gefallen und es wurde super gut erklärt. Vielen dank!!! :)

    Von Moritz R., vor 9 Monaten
  4. Fande *

    Von Daniellarathmer, vor mehr als einem Jahr
  5. Ich fände es sehr toll danke 😄

    Von Daniellarathmer, vor mehr als einem Jahr
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Achsen- und Punktspiegelung – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Achsen- und Punktspiegelung – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib Spiegelungen an, die im Alltag zu finden sind.

    Tipps

    Überlege dir, an welcher Achse du die Dinge spiegeln kannst.

    Die Begriffe Achsensymmetrie und Spiegelsymmetrie sind gleichbedeutend.

    Lösung

    Jede Figur, die bei der Spiegelung an einer Achse in sich selbst übergeht, heißt achsensymmetrisch. Achsensymmetrie und Spiegelsymmetrie sind gleichbedeutend. Die Achse, an der gespiegelt wird, heißt Symmetrieachse.

    In der Natur gibt es viele annähernd spiegelsymmetrische Figuren wie beispielsweise Schmetterlinge, Käfer, Blätter und vieles mehr. Zudem gibt es auch einige Buchstaben in unserem Alphabet wie A, H, O, I und E, die spiegelsymmetrisch sind.

  • Erkläre die Begriffe Achsenspiegelung und Punktspiegelung.

    Tipps

    Im Gegensatz zur Achsensymmetrie wird eine Figur bei der Punktsymmetrie nicht an einer Achse gespiegelt.

    In wie viele Stücke wird eine Figur geteilt, wenn man eine Achse durch diese Figur legt?

    Lösung

    In unserer Umgebung gibt es viele Figuren, die symmetrisch sind. Kann man eine Figur in zwei identische Hälften teilen, so nennt man diese achsensymmetrisch. Die Achse, die die beiden Hälften der Figur trennt, nennt man dabei Symmetrieachse.

    Punktsymmetrische Figuren besitzen ein Symmetriezentrum. Spiegelt man alle Punkte der Figur an diesem Zentrum, so bleibt die Figur unverändert. Die Punktspiegelung ist gleichbedeutend mit einer halben Drehung. Wenn eine Spielkarte um eine halbe Drehung gedreht wird, so ist das Anfangsmuster wieder zu erkennen, das heißt, die Karte kommt mit sich zur Deckung.

  • Gib die Symmetrieachsen der angegebenen Figur an.

    Tipps

    Achsensymmetrisch bedeutet, dass eine Figur in zwei spiegelgleiche Teile zerlegt werden kann.

    Wähle beliebige Punkte aus und spiegel diese an der Symmetrieachse. Sind alle Bildpunkte wieder auf der Figur?

    Lösung

    Eine Figur ist dann achsensymmetrisch, wenn sie bei der Spiegelung an einer Achse in sich selbst übergeht. Die Gerade, die beide Teile voneinander trennt, nennt man Symmetrieachse oder auch Spiegelachse. Bei der Achsenspiegelung hat ein Punkt A auf der Figur einen Bildpunkt A', der ebenfalls auf der Figur liegt. Diese beiden Punkte haben den gleichen Abstand von der Spiegelachse.

  • Erkläre, wie du die Figuren an den jeweiligen Symmetrieachsen spiegeln kannst.

    Tipps

    Durch Abzählen der Kästchen kannst du die Entfernung eines Punktes auf der Figur zur Symmetrieachse herausfinden.

    Der gespiegelte Punkt muss denselben Abstand zur Symmetrieachse haben wie der Ausgangspunkt.

    Die Verbindungslinie zwischen einem Punkt und seinem gespiegelten Punkt muss immer senkrecht zur Symmetrieachse verlaufen.

    Lösung

    Als Erstes wählen wir geeignete Punkte auf der Ausgangsfigur aus, um sie an der Symmetrieachse zu spiegeln. Dafür eignen sich besonders Eck- und Endpunkte der Figur, deren Bildpunkte man nach der Spiegelung einfach miteinander verbinden kann.

    Mit einem Geodreieck kann man am leichtesten einen gespiegelten Punkt im gleichen Abstand zur Symmetrieachse einzeichnen. Da hier Kästchen eingezeichnet sind, kannst du auch einfach die Kästchen zählen. Beachte dabei immer, dass die Verbindungslinie zwischen einem Punkt und seinem gespiegelten Punkt stets senkrecht, also im $90°$-Winkel, zur Spiegelachse stehen muss.

  • Gib an, ob die Figur punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch ist.

    Tipps

    Eine Figur mit einer ungeraden Anzahl an Ecken kann niemals punktsymmetrisch sein.

    Dreht man eine Figur um eine halbe Drehung und sieht diese Figur dann immer noch so aus wie vor der Drehung, so ist sie punktsymmetrisch.

    In der Natur kommen häufig annähernd achsenymmetrische Figuren vor.

    Lösung

    Häufig kann man bei Figuren oder Mustern erkennen, dass sie regelmäßig sind. Ist es bei einer Figur möglich, sie so zu falten, dass die beiden Hälften deckungsgleich sind, so wird diese Figur als achsensymmetrisch bezeichnet. Man kann diese Figuren also an der Symmetrieachse spiegeln.

    Bei der Punktspiegelung ist das anders. Man spiegelt die einzelnen Punkte nicht an einer Achse, sondern an einem Punkt, welchen man Symmetriezentrum nennt. Eine punktsymmetrische Figur kann man auch daran erkennen, dass sie bei einer halben Drehung mit sich zur Deckung kommt.

  • Gib die Figuren an, die am Zentrum richtig gespiegelt wurden.

    Tipps

    Die Punktspiegelung ist gleichbedeutend mit einer halben Drehung.

    Achte auch auf die Benennung der Punkte und Bildpunkte.

    Lösung

    Bei einer Punktspiegelung wird jedem Punkt P ein Bildpunkt P' zugeordnet. Die Hilfslinien, die beide Punkte miteinander verbinden, verlaufen durch das Symmetriezentrum Z. Beide Punkte haben denselben Abstand zu Z.

    Punktspiegelungen kann man auch daran erkennen, dass die gespiegelte Figur bei einer halben Drehung mit sich zur Deckung kommt.