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Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsgröße

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sofatutor Team
Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsgröße
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsgröße Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsgröße kannst du es wiederholen und üben.
  • Tipps

    Die Wahrscheinlichkeiten für $P(X=x_i)$ kannst du mit einem Baumdiagramm und den Pfadregeln berechnen.

    Die Wahrscheinlichkeiten für $P(X\leq x_i)$ kannst du durch Aufsummieren der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten von $P(X=x_i)$ berechnen.

    Lösung
    • $P(X=1)$
    Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für einmal Wappen, also $P(W,Z)+P(Z,W)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} =\frac{2}{4}\quad \left(=\frac{1}{2}\right)$
    • $P(X=2)$
    Zweimal Wappen: $P(W,W)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
    • $P(X\leq 1)$
    Höchstens einmal Wappen: $P(X=0)+P(X=1)=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}=\frac{3}{4}$
    • $P(X\leq 2)$
    höchstens zweimal Wappen: $P(X\leq 1)+P(X=2)=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{4}{4}\quad(=1)$
  • Tipps

    Die Verteilungsfunktion wird auch die kumulierte Wahrscheinlichkeitsfunktion genannt.

    Es ist nur eine Antwortmöglichkeit richtig.

    Lösung

    Für eine Zufallsgröße $x_i$ ist der Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle $x_i$ ist immer mindestens so groß wie der Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion bei $x_i$.

    Für den kleinsten Wert von $x_i$ gilt $P(X\leq x_i)=P(X=x_i)$. Für den nächstgrößeren Wert von $x_j$ wird dessen Wahrscheinlichkeit zur vorherigen dazu addiert und so gilt $P(X\leq x_j)=P(X=x_i)+P(x_j) > P(x_j)$.

  • Tipps

    Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von dem Ereignis „Die gewürfelte Augenzahl ist kleiner als $5$, aber größer als $2$“.

    Das Ereignis „kleiner als $5$“ ist hier gleichbedeutend mit „höchstens $4$“.

    Lösung

    $P(2 < X < 5)= P(X=3)+P(X=4)=P(X\leq 4)-P(X\leq 2)$

  • Tipps

    Versuche, die gesuchten Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe von Ausdrücken der Form $P(X \leq x_i)$ darzustellen.

    Nutze dafür wenn nötig die Gegenwahrscheinlichkeit:

    $P(A)=1-P(\overline{A})$.

    Lösung
    • $P(X\leq 5)=\frac{10}{16}$
    Diesen Wert kann man direkt aus der Tabelle ablesen.
    • $P(4\leq X\leq 7)=P(X\leq 7) - P(X\leq 3)=\frac{15}{16}-\frac{3}{16}=\frac{12}{16}$
    Alternativer Lösungsweg: $P(4\leq X\leq 7)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)=\frac{3}{16}+\frac{4}{16}+\frac{3}{16}+\frac{2}{16}=\frac{12}{16}$
    • $P(X< 7) = P(X\leq 6)=\frac{13}{16}$
    "Die Augensumme ist kleiner als $7$" bedeutet "Die Augensumme ist höchstens $6$" und die zugehörige Wahrscheinlichkeit kann direkt in der Tabelle abgelesen werden.
    • $P(X\geq 6)=1-P(X\leq 5)= 1 -\frac{10}{16}=\frac{6}{16}$.
    Das Gegenereignis zu "Augensumme mindestens $6$" ist "Augensumme höchstens $5$" und kann über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet werden.
  • Tipps

    Kumulieren bedeutet „anhäufen” oder „ansammeln”.

    Lösung

    Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ordnet jedem Wert, den die Zufallsgröße $X$ annehmen kann, seine Wahrscheinlichkeit zu:

    $x_i\mapsto P(X=x_i)$

    Die Verteilungsfunktion ordnet jedem Wert, den die Zufallsgröße $X$ annehmen kann, seine kumulierte Wahrscheinlichkeit zu:

    $x_i\mapsto P(X\leq x_i)$

  • Tipps

    Bei einem doppelten Tetraederwurf gibt es $16$ verschiedene Ergebnisse.

    Lösung

    $P(X=2)=\frac{1}{16}$

    Die Summe $2$ erhält man, wenn man eine $1$ und nochmal eine $1$ würfelt, also $1$ von $16$ Möglichkeiten oder mit der Pfadregel $\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{16}$.

    $P(X\leq 3)=\frac{3}{16}$

    Die Summe $3$ erhält man bei den Würfelergebnissen $(2,1)$ und $(1,2)$. Damit ist die Wahrscheinlichkeit $\frac{2}{16}$. Für höchstens die Summe $3$ addieren wir die vorherige Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{16}+\frac{2}{16}=\frac{3}{16}$.

    $P(X\geq 4)=\frac{13}{16}$

    Mit mindestens $4$ als Gegenereignis von höchstens $3$ rechnen wir mit der Gegenwahrscheinlichkeit: $1-\frac{3}{16}=\frac{13}{16}$.

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