Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsgröße

Hallo! In diesem Video geht es um die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße. Dazu brauchen wir als Erstes erst mal ein Zufallsexperiment. Und zwar machen wir ein Gewinnspiel. Wir haben 2 faire Würfel, einen blauen und einen roten, nur sind die Zahlen nicht ganz so verteilt wie bei normalen Würfeln, sondern der eine Würfel hat 1×1, 3×2 und 2×6, und der rote Würfel hat 3×3, 2×4 und 1×5. Es gibt 2 Spieler. Ein Spieler soll mit dem blauen, der andere mit dem roten Würfel würfeln. Und dann wird bei jedem Wurf geschaut, wer die größere Zahl hat, und der bekommt die Differenz in Euro ausgezahlt. Unsere Zufallsgröße X soll jetzt den Gewinn des Spielers mit dem blauen Würfel beschreiben. Und dann ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion die Funktion, die jedem Wert, den die Zufallsgröße annehmen kann, seine Wahrscheinlichkeit zuordnet, also einen Wert zwischen 0 und 1. Deswegen schreiben wir auch P(X=xi), also die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße X den Wert xi annimmt. Als Erstes überlegen wir uns, welche Werte die Zufallsgröße überhaupt annehmen kann. Wenn zum Beispiel der blaue Spieler eine 6 würfelt und der rote eine 3, dann ist die Differenz also 3 zugunsten des blauen Spielers. Würfelt der blaue Spieler eine 6 und der rote eine 4, dann ist die Differenz +2 aus Sicht des blauen. Bei 6 und 5 ist die Differenz dementsprechend +1. Würfelt der Blaue eine 2 und der Rote eine 3, sind wir schon bei -1. Bei 2 und 4 sind wir bei -2 und bei 2 und 5 bei -3. Der Fall Blau würfelt 1 und Rot würfelt 3 gehört auch noch zum Fall -2, und der Fall 1 - 4 gehört auch noch zur Differenz -3. Und im schlimmsten Fall würfelt Blau eine 1 und Rot eine 5 und die Differenz ist -4. Jetzt haben wir also schon alle möglichen Werte xi der Zufallsgröße X und interessieren uns jetzt noch für deren Wahrscheinlichkeit, und das ist im Prinzip genau das, was die Wahrscheinlichkeitsfunktion macht. Zu jedem möglichen Wert xi berechnet sie dessen Wahrscheinlichkeit. Beim Berechnen der Wahrscheinlichkeit können wir jetzt gerade noch mal die Pfadregeln üben. Die Wahrscheinlichkeit für eine blaue 6 ist 1/3, weil es ja 2 davon gibt, und die Wahrscheinlichkeit für eine rote 3 ist 1/2, weil wir ja 3 davon haben. Damit ist die Wahrscheinlichkeit für blaue 6 und rote 3 also 1/6. Entsprechend rechnet man jetzt weiter und an den Stellen, wo man für eine Differenz mehrere Würfelmöglichkeiten hat, muss man die einzelnen Wahrscheinlichkeiten addieren. So ergibt sich für -2 zum Beispiel 1/4. So, und jetzt haben wir für unsere Wahrscheinlichkeitsfunktion auch schon die komplette Wertetabelle angelegt. Es gibt aber auch noch 2 andere sehr gebräuchliche Möglichkeiten, die Wahrscheinlichkeitsfunktion darzustellen. Das ist einmal das Stabdiagramm, da zeichnet man sich auf der x-Achse die möglichen Werte für die Zufallsgröße ein und auf der y-Achse jeweils deren Wahrscheinlichkeit. Das heißt bei -4 trage ich jetzt zum Beispiel einen Strich der Länge 1/36 ein, bei -3 mache ich einen Strich der Länge 5/36 und so weiter. Man bekommt so einen sehr guten Eindruck der Verteilung der Wahrscheinlichkeiten auf die einzelnen Werte. Die 2. Möglichkeit, das darzustellen, ist das Histogramm. Das Grundgerüst sieht da genauso aus, nur zeichnet man dann statt der Stäbe Säulen ein. Kommen wir jetzt noch zum Begriff der Verteilungsfunktion. Die Verteilungsfunktion ordnet jedem xi die Wahrscheinlichkeit zu, das die Zufallsgröße ≤ xi ist. Sie summiert also sozusagen alle Wahrscheinlichkeiten von Werten ≤ xi auf, und deswegen heißt sie auch akkumulierte Wahrscheinlichkeit. Wenn man die Wertetabelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion schon hat, ist es auch ganz einfach, die Wertetabelle der Verteilungsfunktion noch dazu zu schreiben. Man fängt beim kleinsten Wert an, übernimmt dort die Wahrscheinlichkeit und beim 2. addiert man die Wahrscheinlichkeiten des 1. und des 2. Wertes, hier also 6/36. Beim 3. kommt dann noch die Wahrscheinlichkeit des 3. dazu, also hier 9/36, das ergibt dann insgesamt 15/36 und so weiter. Beim größten Wert der xi muss dann 1 rauskommen. So hat man gleich noch eine Probe, ob man richtig gerechnet hat. Auch hier kann man zur Veranschaulichung den Graphen der Funktion zeichnen. Dabei muss man diesmal auf der senkrechten Achse die Werte bis 1 eintragen. Der Wert für -4 ist 1/36, und bis kurz vor die -3 bleibt er auch 1/36, weil dazwischen keine Werte infrage kommen. Genau ab -3 ist der Wert dann 6/36, bis kurz vor die -2, und ab der -2 15/36. Man erhält also eine Treppenfunktion, und der letzte Funktionswert ist dann 1. Jetzt können wir ganz einfach die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass wir bei dem Spiel verlieren, also dass die Zufallsgröße einen Wert ≤ -1 hat. Das lesen wir einfach ab, das sind 24/36, also 2/3. Das heißt mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 verlieren wir. Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist dann natürlich genau die Gegenwahrscheinlichkeit, also 1/3. Wir hätten bei dem Spiel also besser den roten Würfel genommen. Okay, das war es, und jetzt müsste euch eigentlich bei einem Gewinnspiel keiner mehr übers Ohr hauen können.