Brüche erweitern und kürzen

Brüche erweitern und kürzen Übung

• Welche Aussagen zum Kürzen und Erweitern von Brüchen stimmen?

  Tipps

  Zwei der Aussagen stimmen.

  Beispiel:

  • Erweitern:

  $\qquad \dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \dfrac{10}{15}$

  
  

  • Kürzen:

  $\qquad \dfrac{10}{15} = \dfrac{10 : 5}{15 : 5} = \dfrac{2}{3}$

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  • „Beim Kürzen ziehst du von Nenner und Zähler die gleiche Zahl ab.“ – Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividiert.
  • „Erweiterst du einen Bruch, hat er danach einen anderen Wert.“ – Durch Erweitern und Kürzen verändert sich der Wert eines Bruchs nicht.

  
  

  Diese Aussagen sind richtig:

  • „Beim Erweitern eines Bruchs werden Nenner und Zähler mit der gleichen Zahl multipliziert.“
  • „Hast du einen Bruch mit einer Zahl erweitert, kannst du ihn anschließend mit derselben Zahl kürzen.“ – Beispiel:

  $\quad \dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \dfrac{10}{15} = \dfrac{10 : 5}{15 : 5} = \dfrac{2}{3}$

• Beschreibe das Kürzen und Erweitern von Brüchen.

  Tipps

  Beim Erweitern eines Bruchs werden Nenner und Zähler mit der gleichen Zahl multipliziert.

  Multiplizierst du $3$ mit einer Zahl und teilst anschließend wieder durch dieselbe Zahl, erhältst du wieder $3$.

  Lösung

  Den Lückentext kannst du so vervollständigen:

  „(...) Sie wollen am Ende zwei Stücke besitzen, also müssen sie den Bruch mit $2$ erweitern. Dazu multiplizieren sie den Nenner und den Zähler des Bruchs mit $2$.

  $\frac{1}{3}=\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}=\frac{2}{6}$“

  • Beim Erweitern eines Bruchs werden Nenner und Zähler mit der gleichen Zahl multipliziert. $\frac{1}{3}$ kannst du also zu $\frac{2}{6}$ umschreiben. Diesen Bruch kannst du einfach auf zwei Piraten aufteilen.

  „Der Wert dieses Bruchs hat sich beim Erweitern nicht verändert. Das können sie durch die Umkehrung der Rechnung, also indem sie den Bruch kürzen, bestätigen. Dabei dividieren sie den Nenner und den Zähler des Bruchs durch $2$.“

  • Weder Erweitern noch Kürzen verändert den Wert des Bruchs.

• Wende dein Wissen zum Kürzen und Erweitern an.

  Tipps

  Durch Kürzen und Erweitern kannst du berechnen, welche Brüche gleich sind. Denn dabei ändert sich der Wert der Brüche nicht.

  Beim Kürzen eines Bruchs werden Nenner und Zähler durch die gleiche Zahl geteilt.

  Lösung

  Durch Kürzen bzw. Erweitern kannst du bestimmen, welche Brüche gleich sind. Denn dabei ändert sich der Wert der Brüche nicht. Für die gegebenen Brüche erhalten wir folgende gekürzte oder erweiterte Brüche:

  Hier wurde mit $4$ erweitert:

  • $\dfrac{1}{4}=\dfrac{1 \cdot 4}{4 \cdot 4}=\dfrac{4}{16}$.

  Hier wurde mit $4$ gekürzt:

  • $\dfrac{12}{32}=\dfrac{12:4}{32:4}=\dfrac{3}{8}$.

  Hier wurde mit $12$ gekürzt:

  • $\dfrac{12}{36}=\dfrac{12:12}{36:12}=\dfrac{1}{3}$.

  Hier wurde mit $4$ erweitert:

  • $\dfrac{2}{5}=\dfrac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4}=\dfrac{8}{20}$.

• Ermittle die gleichen Brüche.

  Tipps

  Um die gegebenen Brüche zuzuordnen, musst du sie so kürzen oder erweitern, dass sie gleich einem der folgenden Brüche sind:

  • $\frac 35$
  • $\frac{10}{15}$
  • $\frac {16}{6}$

  Beim Erweitern musst du dir überlegen, mit welcher Zahl du Nenner und Zähler multiplizieren kannst, dass du als Ergebnis einen der Brüche in der Mitte (zu denen zugeordnet werden soll) erhältst. Zum Beispiel:

  $\frac{4 }{3}=\frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5}=\frac{20}{15}$

  Lösung

  Um die Brüche zuzuordnen, musst du sie so kürzen oder erweitern, dass sie gleich einem der Brüche in der Mitte (zu denen zugeordnet werden soll) sind. Beim Kürzen musst du dir überlegen, durch welche Zahl Nenner und Zähler ohne Rest teilbar sind. Zum Beispiel:

  $\frac{6}{10}=\frac{6:2}{10:2}=\frac{3}{5}$ oder $\frac{15}{25}=\frac{15:5}{25:5}=\frac{3}{5}$

  Beim Erweitern musst du dir überlegen, mit welcher Zahl du Nenner und Zähler multiplizieren kannst, dass du als Ergebnis einen der Brüche in der Mitte (zu denen zugeordnet werden soll) erhältst. Zum Beispiel:

  $\frac{2 }{3}=\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}=\frac{10}{15}$

  Damit ergibt sich:

  • $\frac{6:2}{10:2}=\frac{15:5}{25:5}=\frac{30:10}{50:10}=\frac{24:8}{40:8}=\frac{3}{5}$

  • $\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}=\frac{20:2}{30:2}=\frac{50:5}{75:5}=\frac{10}{15}$

  • $\frac{8 \cdot 2}{3 \cdot 2}=\frac{32:2}{12:2}=\frac{48:3}{18:3}=\frac{16}{6}$

• Gib den gekürzten Bruch an.

  Tipps

  Um einen Bruch zu kürzen, benötigst du zunächst eine Zahl, die der größte gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner ist. Zum Beispiel erhältst du für die Zahlen $10$ und $15$ den größten gemeinsamen Teiler $5$.

  Nachdem du den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner ermittelt hast, kannst du den Bruch vollständig kürzen, indem du den Zähler und den Nenner jeweils durch den Teiler teilst.

  Lösung

  $\frac{3}{12}$ kannst du so kürzen:

  „Willst du einen Bruch kürzen, musst du dir zuerst überlegen, durch welche Zahl du den Nenner und den Zähler ohne Rest teilen kannst.“

  • Da beim Kürzen Nenner und Zähler durch dieselbe Zahl geteilt werden, musst du dir vor dem Kürzen überlegen, welche Zahl das sein könnte.

  „Bei $\frac{3}{12}$ ist das die $3$!“

  „Denn $3:3=1$ und $12:3=4$.“

  • Diese Zahl kannst du durch Ausprobieren bestimmen. Teile nacheinander Nenner und Zähler durch verschiedene Zahlen, bis du eine Zahl gefunden hast, durch die beide ohne Rest teilbar sind.

  „Mit diesen Überlegungen erhältst du folgende Rechnung: $~\frac{3:3}{12:3}$“

  „Es folgt dann der vollständig gekürzte Bruch $\frac{1}{4}$.“

• Entscheide, welche Anteile die Brüche darstellen.

  Tipps

  Du kannst einen Bruch auch zuerst kürzen und anschließend erweitern. Zum Beispiel gilt:

  $\frac{3}{12}=\frac{3:3}{12:3}=\frac{1}{4}=\frac{1 \cdot 2 }{4 \cdot 2}=\frac{2}{8}$.

  Lösung

  Die Anteile an den Figuren kannst du ablesen. Durch Erweitern und Kürzen kannst du anschließend die verschiedenen Brüche den Anteilen in den geometrischen Figuren zuordnen. Dann erhältst du:

  • Zum Dreieck gehören: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{5}{10}$.

  • Den Anteil des Quadrats kannst du beschreiben als: $\frac{3}{4}=\frac{6}{8}=\frac{9}{12}$.

  • Zum Kreis gehören: $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$.