Determinante berechnen
Lerne, wie du mit der Determinante einer Matrix deren Invertierbarkeit überprüfst, verschiedene Rechenregeln anwendest und komplexe Determinanten selbst berechnest. Neugierig? Entdecke die faszinierende Welt der Matrizen und ihrer Eigenschaften hier weiter!

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Determinante berechnen Übung
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Beschreibe, was man unter einer Determinante versteht.
TippsFür die Determinante der Matrix $A$ gibt es verschiedene Schreibweisen:
$\det (A)$
beziehungsweise:
$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
Wir können die Determinante einer $2{\times}2$-Matrix mit der folgenden Formel berechnen:
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \cdot d - c \cdot b$
Zwei der Aussagen sind falsch.
Lösung- Eine Determinante ist eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird.
Eine quadratische Matrix ist eine Matrix, die genauso viele Spalten wie Zeilen hat, also beispielsweise eine $2{\times}2$- oder eine $3{\times}3$-Matrix.
Für die Determinante der Matrix $A$ gibt es verschiedene Schreibweisen:
$\det (A)$
beziehungsweise:
$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
oder auch:
$|A|$
beziehungsweise:
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$
Dabei handelt es sich jedoch nicht um die Betragsstriche.
Die Schreibweise $\det |A|$ ist hingegen falsch, somit auch diese Aussage:
- Für die Determinante der Matrix $A$ schreiben wir kurz: $\det |A|$.
Wir können die Determinante einer $2{\times}2$-Matrix mit der folgenden Formel berechnen:
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \cdot d - c \cdot b$
- Zur Berechnung der Determinanten einer $2{\times}2$-Matrix multiplizieren wir entlang der Hauptdiagonalen und ziehen das Produkt der Nebendiagonalen ab.
Wir können die Determinante einer $3{\times}3$-Matrix mithilfe der Regel von Sarrus berechnen:
$\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - gec - hfa - ibd$
Somit ist folgende Aussage falsch:
- Die Regel von Sarrus bezieht sich auf $4{\times}4$-Matrizen.
-
Bestimme die Determinanten der $2{\times}2$-Matrizen.
TippsAchte auf negative Vorzeichen.
LösungEine Determinante ist eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet ist.
Für eine $2{\times}2$-Matrix gilt zur Bestimmung der Determinante diese Rechenvorschrift:
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \cdot d - c \cdot b$
Wir berechnen nun die Determinaten der gegebenen Matrizen:
$\begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} = 2 \cdot 7 - 5 \cdot 6 = 14 - 30 = -16$
$\begin{vmatrix} -3 & -2 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = -3 \cdot (-4) - 1 \cdot (-2) = 12 + 2 = 14$
$\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-2) - 2 \cdot 2 = -4-4=-8$
$\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ -1 & 8 \end{vmatrix} = 5 \cdot 8 - (-1) \cdot 2 = 40 + 2 = 42$
-
Berechne die Determinanten der $3{\times}3$-Matrizen.
Tipps$\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - gec - hfa - ibd$
Achte auf negative Vorzeichen.
LösungUm die Determinante einer $3{\times}3$-Matrix zu berechnen, müssen wir eine ganz konkrete Zahl ermitteln. Wir können die Determinante einer $3{\times}3$-Matrix mithilfe der Regel von Sarrus berechnen:
$\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - gec - hfa - ibd$
Zur Berechnung der Determinante addieren wir die Produkte der Hauptdiagonalen und ziehen die Produkte der Nebendiagonalen ab. Die Haupt- und Nebendiagonalen können wir dabei gut erkennen, wenn wir die ersten beiden Spalten der Matrix noch einmal rechts daneben ergänzen:
$\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} \begin{matrix} a \\ d \\ g \end{matrix} \quad \begin{matrix} b \\ e \\ h \end{matrix}$
Wir kennen nun die Vorgehensweise und können so die Determinanten der gegebenen Matrizen berechnen:
Matrix 1:
$\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 9 & -2 & 1 \\ 0 & 4 & -5 \\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix} &= 9 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot (-5) \cdot 5 + 1 \cdot 0 \cdot 2 - 5 \cdot 4 \cdot 1 - 2 \cdot (-5) \cdot 9 - 1 \cdot 0 \cdot (-2) \\ &= 36 + 50 + 0 - 20 - (-90) - 0 \\ &= 156 \end{array}$
Matrix 2:
$\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 3 & -5 & 1 \\ 8 & 0 & -1 \\ 10 & 2 & 1 \end{vmatrix} &= 3 \cdot 0 \cdot 1 + (-5) \cdot (-1) \cdot 10 + 1 \cdot 8 \cdot 2 - 10 \cdot 0 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) \cdot 3 - 1 \cdot 8 \cdot (-5) \\ &= 0 + 50 + 16 - 0 - (-6) - (-40) \\ &= 112 \end{array}$
Matrix 3:
$\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 9 & 4 & -6 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} &= 0 \cdot 4 \cdot 3 + (-2) \cdot (-6) \cdot 2 + 0 \cdot 9 \cdot (-1) - 2 \cdot 4 \cdot 0 - (-1) \cdot (-6) \cdot 0 - 3 \cdot 9 \cdot (-2) \\ &= 0 + 24 + 0 - 0 - (-54) \\ &= 78 \end{array}$
-
Ordne die Matrizen nach der Größe ihrer Determinanten.
TippsUm die Determinante einer $2{\times}2$-Matrix zu berechnen, berechnen wir das Produkt der Hauptdiagonalen und ziehen das Produkt der Nebendiagonalen davon ab:
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
Berechne zuerst die Determinanten aller vier Matrizen. Arbeite schriftlich. Anschließend kannst du sortieren.
LösungUm die Determinante einer $2{\times}2$-Matrix zu berechnen, berechnen wir das Produkt der Hauptdiagonalen und ziehen das Produkt der Nebendiagonalen davon ab:
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
Wir berechnen jetzt die Determinanten der gegebenen Matrizen und sortieren anschließend:
$\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} &= 1\cdot 2 - 3\cdot 2 \\ &= 2 - 6\\ &= -4 \end{array}$
$\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} &= 1\cdot 2 - 2\cdot 0 \\ &= 2 - 0\\ &= 2 \end{array}$
$\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} &= 3\cdot 2 - 1\cdot 1 \\ &= 6 - 1\\ &= 5 \end{array}$
$\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} &= 3\cdot 3 - 1\cdot (-2) \\ &= 9 - (-2) = 9+2 \\ &= 11 \end{array}$
Die richtige Reihenfolge lautet also:
$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} \quad < \quad \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} \quad < \quad \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \quad < \quad \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}$
-
Gib an, von welchen mathematischen Objekten sich eine Determinante berechnen lässt.
TippsEine Determinante ist eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird.
Du musst zwei Objekte auswählen.
LösungEine Determinante ist eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird.
Eine quadratische Matrix ist eine Matrix, die genauso viele Spalten wie Zeilen hat, also beispielsweise eine $2{\times}2$- oder eine $3{\times}3$-Matrix.Wir betrachten die gegebenen Objekte:
- $\begin{pmatrix} 2 & 3 & 9 \\ 0 & -1 & -10 \\ 10 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{array}{ll} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 9 \\ 0 & -1 & -10 \\ -10 & 0 & 1 \end{vmatrix} &= 2 \cdot (-1) \cdot 1 + 3 \cdot (-10) \cdot (-10) + 9 \cdot 0 \cdot 0 - (-10) \cdot (-1) \cdot 9 - 0 \cdot (-10) \cdot 2 - 1 \cdot 0 \cdot 3 \\ & = -2 + 300 + 0 - 90 - 0 - 0 \\ &= 208 \end{array}$
- $\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix}-1 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$
$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 3 \cdot 2 = 4 - 6 = -2$
- $\begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 3 & -10 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}$
-
Vervollständige die Matrix mit der Zahl $a$ so, dass die Determinante genau $0$ ergibt.
TippsBestimme zunächst die Determinante mithilfe der Regel von Sarrus. Nimm dabei die Variable $a$ wie eine Zahl mit.
Du erhälst:
$2 \cdot a \cdot 10 + 5 \cdot (-10) \cdot 2 + (-2) \cdot 0 \cdot 2 - 2 \cdot a \cdot (-2) - 2 \cdot (-10) \cdot 2 - 10 \cdot 0 \cdot 5$
Vereinfache den Term und setze ihn gleich $0$. Löse ihn dann nach $a$ auf.
LösungWir betrachten die gegebene Matrix:
$\begin{pmatrix} 2 & 5 & -2 \\ 0 & a & -10 \\ 2 & 2 & 10 \end{pmatrix}$
Da es sich um eine $3{\times}3$-Matrix handelt, können wir ihre Determinante mithilfe der Regel von Sarrus berechnen:
$\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - gec - hfa - ibd$
Wir berechnen nun zunächst die Determinante unter Verwendung der obigen Formel:
$\begin{vmatrix} 2 & 5 & -2 \\ 0 & a & -10 \\ 2 & 2 & 10 \end{vmatrix} = 2 \cdot a \cdot 10 + 5 \cdot (-10) \cdot 2 + (-2) \cdot 0 \cdot 2 - 2 \cdot a \cdot (-2) - 2 \cdot (-10) \cdot 2 - 10 \cdot 0 \cdot 5$
Diesen Term vereinfachen wir zu:
$20a + (-100) + 0 - (-4a) - (-40) - 0 = 20a - 100 + 4a +40 = 24a -60$
Jetzt setzen wir den Term gleich $0$ und lösen nach $a$ auf:
$\begin{array}{lll} 24a - 60 &= 0 &|+60 \\ 24a &= 60 &|:24 \\ a &= 2{,}5 & \\ \end{array}$
Wenn wir für $a=2{,}5$ einsetzen, ist die Determinante der Matrix genau $0$. Die Matrix lautet also:
$\begin{pmatrix} 2 & 5 & -2 \\ 0 & 2{,}5 & -10 \\ 2 & 2 & 10 \end{pmatrix}$
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