30 Tage risikofrei testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte im Basis- oder Premium-Paket.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

30 Tage risikofrei testen

Würfel

Aussehen und Eigenschaften

Was ist ein Würfel? Ein Würfel ist ein geometrischer Körper. Bei einem Würfel sind alle Kanten gleich lang, in diesem Bild sind die Kanten mit $a$ bezeichnet. Ein Würfel hat 12 Kanten, 8 Ecken und 6 gleichgroße Seitenflächen.

1096_Würfel.jpg

Die Zahl der Seitenflächen kannst du dir gut mit Spielwürfeln merken, weil sie dort von 1 bis 6 durchnummeriert sind.

1096_Würfel_1.jpg

Die 6 Seitenflächen sind jeweils Quadrate. Jedes dieser Quadrate hat den gleichen Flächeninhalt.

Formeln zur Berechnung der Oberfläche und des Volumens von Würfeln

Jede der Seitenflächen eines Würfels mit der Seitenlänge $a$ ist ein Quadrat, also ein besonderes Rechteck, mit gleichem Flächeninhalt, nämlich $a^2$.

Da der Würfel $6$ Seitenflächen hat, ist die Oberflächenformel für einen Würfel leicht zu merken:

$\quad~~~O=6\cdot a^2$

Die Volumenformel eines Würfels lautet:

$\quad~~~V=a \cdot a \cdot a=a^3$

Beispiel: Oberfläche Würfel

Paul möchte seiner Schwester Lilly einen selbstgebastelten Würfel aus Pappe schenken. Die Kantenlänge des Würfels ist $a=8~cm$. Wie viel Material benötigt Paul?

Hier ist nach der Oberfläche gefragt. Schau dir dazu das Netz eines Würfels an:

1096_Würfelnetz.jpg

Paul benötigt also insgesamt so viel Pappe:

$\quad~~~\begin{array}{rcl}O&=& 6 \cdot a^{2} = 6\cdot (8~cm)^2\\&=& 6\cdot 64~cm^2\\&=&384~cm^2\end{array}$

Er hat die Oberflächenformel verwendet.

Die Maßeinheit für Flächen ist zum Beispiel $cm^2$ (Quadratzentimeter), oder $m^2$ (Quadratmeter).

Beispiel: Volumen Würfel

Paul möchte seiner Schwester Lilly einen selbstgebastelten Würfel mit der Seitenlänge $a=8~cm$ schenken. Wenn Paul den Würfel aus Holz schnitzt, wie viel Holz benötigt er?

Dieses Mal ist nach dem Volumen gefragt. Du verwendest die Volumenformel:

$\quad~~~\begin{array}{rcl}V&=&(8~cm)^3\\&=&512~cm^3\end{array}$

Die Maßeinheit für ein Volumen ist zum Beispiel $cm^3$ (Kubikzentimeter), oder $m^3$ (Kubikmeter).

Quader

Aussehen und Eigenschaften

Auch der Quader ist ein Körper. Im Gegensatz zu einem Würfel sind die Kanten des Quaders nicht alle gleich lang.

Sicher kennst du einige Gegenstände, die die Form eines Quaders haben, zum Beispiel:

  • ein Buch
  • eine Milchtüte
  • ein Schwamm

Ein Quader hat 12 Kanten, so wie auch der Würfel. Es sind jeweils die 4 zueinander parallelen Kanten gleich lang. In dem Bild sind sie mit $a$, $b$ und $c$ bezeichnet. Er hat wie der Würfel 8 Ecken und 6 Seitenflächen. Jedoch haben diese Flächen nicht alle den gleichen Flächeninhalt. Es sind aber immer mindestens die parallelen Seitenflächen gleich groß.

1096_Quader.jpg

Formeln zur Berechnung der Oberfläche und des Volumens

Die Seitenfläche des Quaders, auf die der Pfeil zeigt, hat den Flächeninhalt $b\cdot c$. Die dazu parallele Fläche hat den gleichen Flächeninhalt. Dann gibt es zwei Flächen mit dem Flächeninhalt $a\cdot b$ und zwei mit dem Flächeninhalt $a\cdot c$. So ergibt sich die Formel für die Oberfläche eines Quaders

$\quad~~~O=2(a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c)$

Die Volumenformel eines Quaders lautet

$\quad~~~V=a\cdot b\cdot c$

Man verwendet dafür auch häufig den Merksatz „Länge mal Breite mal Höhe“.

Beispiel: Oberfläche und Volumen Quader

Die Firma „Lecker Milch“ möchte eine neue Milchtüte produzieren.

Milch_verpackung.jpg

Der Künstler der Firma findet, dass eine Milchtüte in Form eines Quaders mit den Kantenlängen $a=12~cm$, $b=8~cm$ und $c=16~cm$ am schönsten aussieht.

Der Chef fragt sich, wie viel Material dafür gebraucht wird und wie viel Milch in die Tüte gefüllt werden kann, was man auch „Fassungsvermögen“ nennt.

Nichts leichter als das:

  • Für das Material verwendet man die Oberflächenformel

$\quad~~~\begin{array}{rcl}O&=&2((12~cm)\cdot (8~cm)+(12~cm)\cdot (16~cm)+(8~cm)\cdot (16~cm))\\&=&832~cm^2\end{array}$

  • Für das Fassungsvermögen wird die Volumenformel verwendet:

$\quad~~~\begin{array}{rcl}V&=&(12~cm)\cdot (8~cm)\cdot(16~cm)\\&=&1536~cm^3\end{array}$

Weißt du, wie viel Liter das sind?

$1000~cm^3\hat = 1 L$. In die Tüte passen also ungefähr $1,5~L$ Milch.

Zusammengesetzte Körper

Du kannst natürlich auch aus Quadern und Würfeln und allen anderen Körpern weitere Körper zusammensetzen und deren Oberfläche und Volumen berechnen.

1096_zusammengesetzter_Körper.jpg

Hier siehst du einen Körper, der aus zwei Quadern, den grünen, und zwei Würfeln, den roten, zusammengesetzt ist. Um zum Beispiel das Volumen dieses zusammengesetzten Körpers zu berechnen, berechnest du

  • das Doppelte des Volumens des grünen Quaders sowie
  • das Doppelte des Volumens des roten Würfels und
  • addierst die Ergebnisse.

Videos in diesem Thema

Volumen eines Würfels abschätzen und ausrechnen Volumen eines Würfels abschätzen und ausrechnen

Herzlich Willkommen zum Schätzen und Berechnen von Volumina. Wir haben zwei Würfel und möchten wissen wie oft der kleinere Würfel in den größeren Würfel passt. Meistens…

Quader – Begriffe und Eigenschaften Quader – Begriffe und Eigenschaften

Herzlich Willkommen! Wenn du dir verschiedene geometrische Grundkörper anschaust, kannst du schnell entscheiden, welcher davon ein Quader ist. Wir wollen in diesem Video…

Kantenlänge eines Quaders bestimmen Kantenlänge eines Quaders bestimmen

Du weißt bereits, was Kanten, Flächen und die Oberfläche von Quadern und Würfeln sind. Nach dem Video sollst du berechnen können, wie lang, wie hoch und wie breit man…

Oberfläche eines Quaders aus seinem Körpernetz Oberfläche eines Quaders aus seinem Körpernetz

Herzlich Willkommen zum Video mit dem Titel „Oberfläche eines Quaders aus seinem Körpernetz “. Du kennst bereits die Eigenschaften eines Quaders und weißt wie sein…

Formel für das Volumen eines Quaders Formel für das Volumen eines Quaders

Herzlich Willkommen. Es wäre schön, wenn du bereits weißt, was Quader und Würfel sind und was ihr Rauminhalt ist. Merke dir: Rauminhalt bedeutet immer Volumen. Wir…

Volumen eines Quaders Volumen eines Quaders

In diesem Lehrfilm geht es um den Rauminhalt eines Quaders. Damit du die Rauminhalte von Quadern und anderen Körpern miteinander vergleichen kannst, solltest du wissen,…

Oberflächeninhalt von Quadrat und Würfel berechnen Oberflächeninhalt von Quadrat und Würfel berechnen

Herzlich Willkommen! Der Film ist ein Übungsvideo mit zwei Aufgaben. Du solltest bereits wissen, wie man die Oberfläche von Quadern und Würfeln berechnet. Merke dir:…

Volumen von Quadern und Würfeln bestimmen Volumen von Quadern und Würfeln bestimmen

Wir haben bereits früher die Formeln für die Berechnung des Rauminhalts von Quadern und Würfeln kennengelernt. In diesem Video werden wir dazu einige Aufgaben lösen. Wir…

Volumen zusammengesetzter Körper Volumen zusammengesetzter Körper

Herzlich Willkommen zum Video „ Rauminhalt zusammengesetzter Körper “. Du weißt bereits, wie man das Volumen von Quadern und Würfel bestimmt. Merke dir: Rauminhalt ist…

Arbeitsblätter zum Ausdrucken zum Thema Volumen und Oberfläche von Quadern und Würfeln

2aab8d020e9f9bc2b3d54f542e548c11 1 Quader – Begriffe und Eigenschaften Anzeigen Herunterladen
D83c31285563dbe1616dad8a97d79098 1 Kantenlänge eines Quaders bestimmen Anzeigen Herunterladen
8714 722 quader %e2%80%93 begriffe und eigenschaften Oberfläche eines Quaders aus seinem Körpernetz Anzeigen Herunterladen
De95035055f87ab1059f02e2e50cdbd1 1 Formel für das Volumen eines Quaders Anzeigen Herunterladen
729 rauminhalt eines quaders Volumen eines Quaders Anzeigen Herunterladen
C3a22558060036fe424325920d7f6659 1 Oberflächeninhalt von Quadrat und Würfel berechnen Anzeigen Herunterladen
Preview id 8823 Volumen von Quadern und Würfeln bestimmen Anzeigen Herunterladen
34f73148c11cd12baf22f551f905e6f4 1 Volumen zusammengesetzter Körper Anzeigen Herunterladen