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Volumen und Oberfläche von Prismen

Grundfläche, Deckfläche, Seitenrechtecke, Mantelfläche, Höhe, Umfang, Volumen = Grundfläche mal Höhe, V = G mal h, regelmäßiges Prisma

Was ist ein Prisma?

Das Prisma, als geometrischer Körper, ist speziell.

Das Prisma hat ein Vieleck als Grundfläche. Parallel dazu findest du eine zur Grundfläche kongruente, das heißt deckungsgleiche, Deckfläche. Die Ecken der Grund- und Deckfläche sind durch parallele und gleichlange Seitenkanten miteinander verbunden. Diese Kanten stehen senkrecht zu der Grundfläche und damit auch zu der Deckfläche. Die Länge dieser Kanten wird als Höhe des Prismas bezeichnet.

Hier siehst du ein Bild eines möglichen Prismas:

1117_Prisma_Grundfläche_1.jpg

Die Grundfläche dieses Prisma ist ein regelmäßiges Fünfeck. Parallel zu der Grundfläche liegt die kongruente Deckfläche. Die Seitenfläche dieses Prismas besteht aus fünf Rechtecken. Diese Seitenfläche wird auch als Mantelfläche des Prismas bezeichnet.

Verschieden Arten von Prismen

Ein Prisma mit einer dreieckigen Grundfläche kennst du zum Beispiel als Dach eines Hauses.

1117_Hausdach.jpg

Um zu entscheiden, welche Fläche die Grund- oder Deckfläche ist, suchst du nach Flächen, die zum einen parallel zueinander und zum anderen deckungsgleich sind.

Es gibt auch besondere Beispiele für Prismen, so ist ein Prisma mit einer rechteckigen oder quadratischen Grundfläche ein Quader oder ein Würfel. Bei diesen kannst du nicht eindeutig entscheiden, welche Seite Grundfläche ist und welche Seitenfläche.

Formel für die Berechnung des Volumens eines Prismas

Nach der eindeutigen Bestimmung der unterschiedlichen Flächen ist es auch wichtig zu wissen wie man das Volumen des Prismas bestimmt.

Volumen eines Quaders

1117_Quader_1.jpg

Die Volumenformel eines Quaders kannst du dir merken mit Länge mal Breite mal Höhe. Also hier:

$V=a\cdot b\cdot c$.

Die Grundfläche sei die blaue Fläche. Deren Inhalt ist gegeben durch $G=a\cdot b$. Dann ist die Höhe des Quaders $h=c$. Somit ist das Volumen des Quaders gegeben durch:

$V=G\cdot h$.

Volumen eines Prismas

Das Volumen eines Prismas lässt sich mit Hilfe der Formel

$V=G\cdot h$

berechnen. Dabei ist $G$ der Flächeninhalt der Grundfläche oder auch der Deckfläche. $h$ ist die Höhe des Prismas.

  • Du musst dir also immer klar machen, welche Fläche die Grund- oder Deckfläche ist.
  • Dann verwendest du eine Flächenformel, um den Flächeninhalt der Grundfläche zu berechnen.
  • Diesen Flächeninhalt multiplizierst du mit der Höhe des Prismas.

Beispiel

Schau dir das Dach des Hauses an:

1117_Hausdach.jpg

Die Grundfläche sei ein gleichschenkliges und rechtwinkliges Dreieck. Die Länge der Schenkel sei $4~m$. Das Dach ist $12~m$ lang.

  • Die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Dreiecks ist: $A= \frac{g \cdot h}{2}$.
  • Zunächst wird die Grundfläche berechnet: $G=\frac{g \cdot h}{2}=\frac{4~m\cdot 4~m}2=8~m^2$.
  • Diese Fläche wird mit der Höhe, hier der Länge des Daches multipliziert: $V=8~m^2\cdot 12~m=96~m^3$.

Wie kann die Oberfläche eines Prismas berechnet werden?

Um die Oberfläche eines Prismas zu bestimmen, musst du wissen wie das Prisma aufgebaut ist. Ein Prisma besteht aus zwei deckungsgleichen Flächen, der Grund- und der Deckfläche, sowie einem Rechteck.

Dies kannst du hier an dem Beispiel des Prismas mit einem regelmäßigen Fünfeck als Grundfläche sehen.

1117_Prisma_Oberfläche_Mantelfläche.jpg

Du erkennst, dass die Oberfläche aus der Grundfläche, der Deckfläche sowie der Mantelfläche besteht. Der Mantel eines Prismas ist ein Rechteck. Die eine Seitenlänge des Rechtecks ist die Höhe des Prismas und die andere der Umfang der Grundfläche. Dieser Umfang hängt von der Art der Grundfläche ab.

Achte darauf, die Mantelfläche $M$ und die Oberfläche $O$ zu unterscheiden. Es gilt $O=M+2\cdot G$, wobei $G$ die Grundfläche ist.

Betrachte den folgenden Quader:

1117_Quader_1.jpg

Die Mantelfläche beziehungsweise die Oberfläche lässt sich für dieses Prisma berechnen durch:

$M=(2a+2b)\cdot c$

sowie

$O=M+2\cdot G=(2a+2b)\cdot c + 2\cdot a\cdot b=2(ab+ac+bc)$

Du hast nun gelernt die Oberfläche und das Volumen eines Prismas zu berechnen und kannst dies auf ein beliebiges anderes Prisma anwenden.