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Quadratische Funktionen

Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Diese kann die x-Achse schneiden: Diese Stellen werden Nullstellen genannt.

Inhaltsverzeichnis zum Thema

Einführung quadratische Funktion und Nullstellen

Was ist eine quadratische Funktion?

Eine quadratische Funktion ff kann in der Form f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c vorliegen.

Diese Allgemeinform quadratischer Funktionen enthält die Parameter aa, bb und cc. Außerdem werden dir auch quadratische Funktionen in der Scheitelpunktform begegnen. In diesem Text werden wir die Allgemeinform weiter betrachten. Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion wird als Parabel bezeichnet.

Weißt du noch, wie eine Parabel aussieht? Betrachte die quadratische Funktion ff mit f(x)=x2+4x+3f(x)=x^2+4x+3. Den zugehörigen Funktionsgraphen kannst du hier sehen.

3119_x_2_4x_3.jpg

Dies ist eine nach oben geöffnete Parabel. Diese Parabel schneidet die xx-Achse bei den xx-Werten 3-3 und einmal bei 1-1.

Die Schnittstellen eines Funktionsgraphen mit der xx-Achse werden Nullstellen genannt.

Funktionsgraphen der quadratischen Funktion

Was ist eine Nullstelle?

Eine Nullstelle ist ein Wert für xx, welcher eingesetzt in die Funktionsgleichung von ff den Wert 00 ergibt. Wie viele Nullstellen es gibt, hängt von der jeweiligen Funktion ab.

Nullstellen findest du nicht immer durch Probieren oder Ablesen. Du musst die Gleichung f(x)=0f(x)=0 lösen.

Als Beispiel ist die lineare Funktion ff mit f(x)=x4f(x)=x-4 gegeben. Deren Funktionsgraph, eine Gerade, siehst du hier:

3119_x-4.jpg

Zur Bestimmung der Nullstelle, löst du die Gleichung x4=0x-4=0. Addiere 44, so erhältst du x=4x=4, die Nullstelle, die du auch an dem Funktionsgraphen sehen kannst.

In Klausuren wird häufig nach den Schnittstellen mit den Koordinatenachsen gefragt:

  • Die Schnittstellen mit der xx-Achse sind die Nullstellen.
  • Es kann auch maximal eine Schnittstelle mit der yy-Achse geben. Diese erhältst du durch Einsetzen von x=0x=0 in die Funktionsgleichung.

Nullstellen von quadratischen Funktionen

Auch bei quadratischen Funktionen löst du die Gleichung f(x)=0f(x)=0. Dies führt zu der quadratischen Gleichung ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. Weißt du noch, wie du eine quadratische Gleichung löst? Du verwendest die p-q-Formel. Der quadratische Term links vom Gleichheitszeichen muss hierfür in Normalform sein. Das bedeutet, vor dem x2x^2 steht der Faktor 11. Andernfalls dividierst du durch den Faktor vor dem x2x^2. Hier siehst du die p-q-Formel zur Lösung der quadratischen Gleichung in Normalform x2+px+q=0x^2+px+q=0:

x1,2=p2±(p2)2qx_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}.

Nullstellen der quadratischen Funktion

Nun kannst du die Nullstellen der quadratischen Funktion ff mit f(x)=x2+4x+3f(x)=x^2+4x+3 berechnen. Hier ist p=4p=4 und q=3q=3:

x1,2=42±(42)23=2±43x1=2+1=1x2=21=3\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac 42\pm\sqrt{\left(\frac 42\right)^2-3}\\ &=&-2\pm\sqrt{4-3}\\ x_1&=&-2+1=-1\\ x_2&=&-2-1=-3 \end{array}

Dies sind die Nullstellen, die du bereits an dem erkennen konntest.

Wie viele Nullstellen kann eine quadratische Funktion besitzen?

Eine quadratische Funktion kann maximal zwei Nullstellen besitzen. Der Term unter der Wurzel in der p-q-Formel gibt dir einen Hinweis darauf, wie viele Nullstellen die Funktion hat.

Zwei Nullstellen

Bei dem obigen Beispiel hast du bereits gesehen, dass eine quadratische Funktion zwei Nullstellen besitzen kann. Der Term unter der Wurzel in der p-q-Formel ist in dem Beispiel mit 33 positiv.

3119_x_2_4x_3.jpg

Übrigens: Wenn der Funktionsgraph zwei Nullstellen besitzt, dann liegt genau in der Mitte dieser beiden Nullstellen die xx-Koordinate des Scheitelpunktes. Das ist kein Zufall. Parabeln sind achsensymmetrisch. Die Symmetrieachse verläuft parallel zu der yy-Achse durch den Scheitelpunkt. Das bedeutet, dass für den Fall zweier Nullstellen diese den gleichen Abstand zu der xx-Koordinate des Scheitelpunktes haben müssen.

Eine Nullstelle

Der Funktionsgraph der Funktion g(x)=x2+4x+4g(x)=x^2+4x+4 entsteht aus dem obigen Funktionsgraphen zu f(x)=x2+4x+3f(x)=x^2+4x+3 durch Verschiebung um eine Längeneinheit nach oben, also entlang der yy-Achse.

3119_x_2_4x_4.jpg

Die Gleichung x2+4x+4=0x^2+4x+4=0 führt zu:

x1,2=42±(42)24=2±44x1=2±0=2\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac 42\pm\sqrt{\left(\frac 42\right)^2-4}\\ &=&-2\pm\sqrt{4-4}\\ x_1&=&-2\pm 0=-2 \end{array}

Der Term unter der Wurzel, dieser wird übrigens Diskriminante genannt, ist 00. Es gibt nur eine Nullstelle. Der Funktionsgraph berührt die xx-Achse. Der Berührpunkt ist der Scheitelpunkt der Parabel.

Keine Nullstelle

Der Funktionsgraph der Funktion h(x)=x2+4x+5h(x)=x^2+4x+5 entsteht aus dem obigen Funktionsgraphen zu f(x)=x2+4x+3f(x)=x^2+4x+3 durch Verschiebung um zwei Längeneinheiten nach oben.

3119_x_2_4x_5.jpg

Die Gleichung x2+4x+5=0x^2+4x+5=0 führt zu

x1,2=42±(42)25=2±45=2±1\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac 42\pm\sqrt{\left(\frac 42\right)^2-5}\\ &=&-2\pm\sqrt{4-5}\\ &=&-2\pm \sqrt{-1} \end{array}

Der Term unter der Wurzel ist in diesem Beispiel negativ. Da du die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht ziehen kannst, gibt es keine Lösung der Gleichung. Der Funktionsgraph hat also keine Nullstelle.