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Kräfteparallelogramm – Rechnerische Ermittlung von Betrag und Richtung einer resultierenden Kraft 11:39 min

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Transkript Kräfteparallelogramm – Rechnerische Ermittlung von Betrag und Richtung einer resultierenden Kraft

Hallo und herzlich Willkommen. Wenn sich ein Segelboot im Wasser bewegt, wirken verschiedene Kräfte auf das Boot ein. Aber wie berechnet man dann diejenige Kraft, die das Boot antreibt und die Richtung vorgibt? Genau darum geht es in diesem Video zum Thema rechnerische Ermittlung der resultierenden Kraft. Als erstes wirst du lernen, was man unter Superposition versteht. Anschließend geht es darum, wie man resultierende Kräfte mit der zeichnerischen Methode ermitteln kann. Und danach wirst du lernen, wie man rechnerisch die resultierende Kraft ermittelt. Und zum Schluss werde ich dir noch zeigen, dass man Kräfte auch zerlegen kann. Und damit kann es auch schon losgehen. Als erstes geht es darum, was man unter Superposition versteht. Es kommt vor, dass in einem Körper mehrere Kräfte wirken. Diese Kräfte kann man auch alle einzeichnen. Bei mehreren Kräften verliert man aber schnell den Überblick und kann nicht mehr voraussagen, wie sich der Körper verhalten wird. Da greift die Superposition von Kräften. Sie besagt, dass verschiedene Kräfte, die alle einzeln auf den gleichen Körper wirken, dasselbe bewirken, als würde lediglich ihre Summe auf den Körper wirken. Man addiert also alle einzelnen Kräfte und erhält so die resultierende Kraft Fres. Immer, wenn mehrere Kräfte auf einen Körper wirken, kann man eine resultierende Kraft berechnen. Dafür müssen die Kräfte nicht alle im gleichen Punkt angreifen. Die resultierende Kraft kann dabei zeichnerisch und rechnerisch ermittelt werden. Wir werden uns jetzt als erstes die zeichnerische Methode ansehen. Die einfachste Art eine resultierende Kraft zu ermitteln, ist die zeichnerische Methode. Du wirst das hier am Beispiel des Segelbootes sehen. Die Kräfte greifen im Schwerpunkt S des Segelbootes an. Der Wind kommt mit der Kraft Fw an. Außerdem wirkt noch eine Kraft auFGrund der Strömung. Fs. Um eine Kraft zu symbolisieren, nutzt man Pfeile. Die Länge des Pfeiles gibt dabei den Betrag der Kraft an. Um zu wissen, welche Länge welcher Kraft entspricht, muss man einen Maßstab einführen. So kann man zum Beispiel festlegen, dass ein Zentimeter 100 Newton entspricht. Die Richtung in der der Pfeil zeigt, ist die gleiche Richtung, in die die Kraft wirkt. Kräfte sind nämlich Vektoren und haben als solche einen Betrag und eine Richtung. In dem Punkt, an dem der Pfeil anfängt, greift die Kraft an. Hat man nun einen Körper, an dem mehrere Kräfte angreifen und will die resultierende Kraft zeichnerisch ermitteln, so setzt man alle wirkenden Kräfte zusammen. Das heißt, dass man durch parallel verschieben die Pfeile so einzeichnet, dass der Angriffspunkt der einen Kraft am Ende des Pfeils der anderen Kraft liegt. So setzt man alle wirkenden Kräfte zusammen. Das nennt man dann Kräfteparallelogramm. Um nun die resultierende Kraft einzuzeichnen, verbindet man den Anfangspunkt der zusammengesetzten Pfeile mit dem Ende. Die resultierende Kraft ist die Summe aller einzelnen Kräfte. Es ist das gleiche, ob Fw und Fs an einem Körper angreifen oder nur die daraus resultierende Kraft Fres. Die zeichnerische Methode ist eine einfache und schnelle Art, die resultierende Kraft zu ermitteln. Allerdings kommt es bei dieser Methode immer zu gewissen Fehlern, da man die Kräfte nicht beliebig genau einzeichnen kann. Kennt man alle nötigen Größen, so ist es genauer, die resultierende Kraft rechnerisch zu ermitteln. Um zu lernen, wie man resultierende Kräfte rechnerisch ermitteln kann, betrachten wir vier unterschiedliche Fälle von Kombinationen von Kräften. Als erstes schauen wir uns den Fall an, dass zwei Kräfte in die gleiche Richtung zeigen. In diesem Fall addiert man die Beträge der Kräfte, um die resultierende Kraft zu berechnen. Die resultierende Kraft zeigt in die gleiche Richtung, wie F1 und F2. Es ist dann: Fres = F1 + F2. So ein Fall tritt zum Beispiel auf, wenn ein Segelboot Wind von hinten hat und mit der Strömung fährt. Der zweite Fall, den wir betrachten, ist der, dass zwei Kräfte in genau entgegengesetzte Richtung zeigen. Ist das der Fall, so ergibt sich die resultierende Kraft aus der Differenz der Beträge der Einzelbeträge F1 - F2. Das ist auch anschaulich klar. Stell dir vor, F1 wirkt alleine. Kommt jetzt eine weitere Kraft in genau entgegengesetzte Richtung dazu, so nimmt F1 genau um den Betrag der anderen Kraft ab. So ein Fall tritt zum Beispiel auf, wenn ein Segelboot Wind von hinten hat und gegen die Strömung fährt. Eine weitere Möglichkeit, wie sich Kräfte kombinieren können, ist, dass sie im rechten Winkel zueinander wirken. In diesem Fall ergibt die Summe aus F1 und F2 ein rechtwinkliges Dreieck. Nach dem Satz des Pythagoras wissen wir, dass die Hypotenuse c eines rechtwinkligen Dreiecks gleich der Wurzel aus den Quadraten der Katheten a und b ist. Das kann man direkt auf Kräfte übertragen. Die Hypotenuse ist in unserem Fall die resultierende Kraft Fres. Der rechte Winkel wird eingeschlossen zwischen F1 und F2. Es gilt also: Fres = Wurzel(F12 + F22). Wie du siehst, schließen F1 und Fres den Winkel Alpha ein. Alpha kann man dann über den Sinus berechnen. Es gilt: sin(Alpha) = F2/Fres. Alpha = arcsin(F2/Fres) Beim Segelboot kommt der Fall, dass zwei Kräfte senkrecht aufeinander stehen dann vor, wenn die Strömung senkrecht zur Windrichtung steht. Der allgemeinste Fall ist, dass zwei Kräfte in beliebigem Winkel Alpha zueinander wirken. Dabei wird der Winkel Alpha zwischen den Vektoren auFGespannt. Die resultierende Kraft ergibt sich dann aus Wurzel(F12 + F22 + 2F1F2cos(Alpha)). Deshalb beschränken wir uns in diesem Fall für die Richtung auf die zeichnerische Lösung. Im Fall des Segelboots würden die Richtung von Wind und Strömung dann so aussehen. So, wie man Kräfte zu einer resultierenden Kraft zusammensetzen kann, kann man eine resultierende Kraft auch in mehrere Einzelkräfte zerlegen. Das kann praktisch sein, um die Wirkung einer Kraft in eine bestimmte Richtung zu bestimmen. Das werden wir uns jetzt an einem Beispiel klar machen. Wir betrachten einen Körper, der sich auf einer schiefen Ebene befindet. Die Ebene hat eine Steigung vom Winkel Alpha. Auf dem Körper wirkt die Gewichtskraft FG. Will man jetzt wissen, mit welchen Betrag die Kraft in Abwärtsrichtung zeigt, so muss man die Gewichtskraft zerlegen. In welche Richtungen wir sie zerlegen, ist dabei uns überlassen. Wir wählen die Richtungen so, dass die Rechnung möglichst einfach ist. Dazu zerlegen wir FG in die Hangabtriebskraft FH und die Normalkraft FN. FH wirkt parallel zur geneigten Ebene. FN steht senkrecht darauf. Durch parallel verschieben der Linien erhalten wir wieder ein Kräfteparallelogramm. FH und FN zeigen jetzt jeweils bis zu dem Punkt, an dem sich die gestrichelten Linien schneiden. Die Summe aus FH und FN ergibt FG. Um die Zusammenhänge klarer darstellen zu können, zeichnen wir die Kräfte nochmal außerhalb der Zeichnungen. FN und FH stehen senkrecht aufeinander. Die Summe der beiden ergibt FG. Zwischen FG und FN ist der Winkel Alpha aufgespannt. Da es sich hier um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, können wir die einzelnen Kräfte nach den Gesetzen von Sinus und Cosinus berechnen. Die Gewichtskraft ist die Hypotenuse des Dreiecks. FN ist die Ankathete. FH die Gegenkathete. Es gilt: sin(Alpha) = Gegenkathete/Hypotenuse. Daraus folgt, dass FH = FGsin(Alpha). Außerdem gilt, cos(Alpha) = Ankathete/Hypotenuse. Daraus folgt wiederum: FN = FGcos(Alpha). Der Fall, dass zwei Kräfte senkrecht aufeinander stehen, ist die wichtigste Anwendung der Zerlegung von Kräften. Ein weiteres Beispiel: Ein Gewicht hängt an Drahtseilen zwischen zwei Wänden. Am Gewicht wirkt die Gewichtskraft FG senkrecht nach unten. Da die Berechnung der Beträge in diesem Fall sehr kompliziert ist, beschränken wir uns hier auf die zeichnerische Lösung des Problems. Um zu bestimmen, welche Zugkräfte die Seile aushalten müssen, muss man wissen, welche Kraft entlang des Seiles wirkt. Dazu zerlegt man die Gewichtskraft FG im zwei Einzelkräfte F1 und F2. Sie zeigen entlang der Richtung der Seile und stehen nicht senkrecht aufeinander, sondern in einem willkürlichen Winkel. Die Summe aus F1 und F2 ergibt FG. So weiß man, welche Zugkräfte die Seile aushalten müssen um dieses Gewicht zu tragen. So, was hast du eben gelernt? Das Prinzip der Superposition besagt, dass verschiedene Kräfte, die alle einzeln auf den gleichen Körper wirken, dasselbe bewirken, als würde nur eine einzelne resultierende Kraft auf den Körper wirken. Die resultierende Kraft ist die Summe aus allen Einzelkräften. Zeigen zwei Kräfte in die gleiche Richtung, so addiert man die Kräfte einfach, um die resultierende Kraft zu erhalten. Es ist dann Fres = F1 + F2. Zeigen zwei Kräfte in entgegengesetzte Richtungen, so ergibt sich die resultierende Kraft aus der Differenz F1 - F2. Wirken zwei Kräfte im rechten Winkel zueinander, so gilt: Fres = Wurzel(F12 + F22). Und spannen die beiden Kräfte einen beliebigen Winkel Alpha auf, so gilt: Fres = Wurzel(F12 + F22 + 2F1F2cos(Alpha)). Man kann auch eine einzelne Kraft in mehrere Einzelkräfte zerlegen. Das kann praktisch sein, um die Wirkung einer Kraft in eine bestimmte Richtung zu bestimmen. Wir haben das an der schiefen Ebene betrachtet. Das war es zum Thema rechnerische Ermittlung der resultierenden kraft. Ich hoffe, du hast etwas gelernt. Tschüss und bis zum nächsten Mal.

9 Kommentare
  1. Karsten

    Hallo Lukas/Johann B,

    hier bedient sich die Physik einer Gleichung aus der Mathematik. Mit dieser Gleichung kann man die Länge der Diagonalen eines Parallelogramms bestimmen.

    Von Karsten Schedemann, vor 6 Monaten
  2. Dscn6141

    Wie kommt man auf die Gleichung (Minute 6:43), dass Fres= Wurzel aus (F₁²+F₂²+2∙F₁∙F₂∙cos(α)) ist.

    Von Lukas/Johann B., vor 6 Monaten
  3. Default

    Super! Danke =D

    Von Uwa W., vor mehr als einem Jahr
  4. Default

    Die Summe aus Fh und Fn ergibt Fg?? (8:15 Minuten)
    Wir haben hier ein rechtwinkliges Dreieck.. ist das wirklich richtig..
    ich muss doch den Pythagoras anwenden, oder nicht?

    Von Tobib1992, vor etwa 2 Jahren
  5. Default

    Vielen Dank!
    Die Erklärung zum Kräfteparallelogramm hat zur schiefe Ebene super geholfen.

    Von Chris Biermann, vor etwa 4 Jahren
  1. Default

    Rechnerische Methode
    FRes=Wurzel F1hoch2+F2hoch-2malF1malF2malcos(alpha)

    es heist doch -2mal und nicht wie im video +2mal

    Von Neckinger, vor mehr als 4 Jahren
  2. Maximilian

    @Kleinjuli A:
    Das gilt nur für einen besonderen Fall:
    Nur wenn beide Komponenten F_1 und F_2 in die gleich Richtung zeigen (Minute 3:55), dann ist die Summe der Beträge gleich dem Betrag der Resultierenden.

    In allen anderen Fällen stimmt das nicht - dann ist der Betrag der resultierenden Kraft kleiner.

    Von Maximilian T., vor etwa 5 Jahren
  3. Default

    Tolles Viedeo, sehr gut erklärt, nur ist mir immernoch nicht ganz klar wie das mit der Kräftezerlegung ist... müssen die Kräfte der zerlegten Kraft dann zusammen den Betrag der zu zerlegenden Kraft haben?

    Von Kleinjuli A, vor etwa 5 Jahren
  4. 92483

    gut erklärt !

    Von Claudia Zanza, vor etwa 5 Jahren
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Kräfteparallelogramm – Rechnerische Ermittlung von Betrag und Richtung einer resultierenden Kraft Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kräfteparallelogramm – Rechnerische Ermittlung von Betrag und Richtung einer resultierenden Kraft kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib dein Wissen über Kräfte und ihre Darstellung wider.

    Tipps

    Welche Informationen enthält eine vektorielle Größe wie die Kraft im Gegensatz zu einer skalaren Größe wie die Masse?

    Welche Informationen müssen daher bei der Darstellung von Kräften erkennbar sein?

    Lösung

    Kräfte sind wie zahlreiche Größen in der Physik vektorielle Größen. Es zählt nicht nur die Stärke der Kraft wie bei skalaren Größen wie der Masse, sondern auch die Richtung, in die die Kraft wirkt.

    In einer Zeichnung kann man diese beiden Informationen gut durch einen Pfeil mit bestimmter Länge darstellen. Aus dem Pfeil kann man darüber hinaus auch den Angriffspunkt der Kraft ermitteln sowie bei Bedarf die Wirkungslinie.

  • Gib an, wie beim Segelboot die resultierende Kraft jeweils rechnerisch bestimmt werden kann.

    Tipps

    Stell dir die Vektoren der beiden Kräfte am Boot vor.

    Entscheidend für die Auswahl der Formel ist die Lage der Kraftpfeile zueinander.

    Orientiere dich an den vier Varianten, die im Video zur Berechnung der Überlagerung von zwei Kräften vorgestellt wurden. Jede Variante taucht in diesem Beispiel einmal auf.

    Lösung

    Zum Berechnen der resultierenden Kraft bei der Überlagerung von zwei Kräften gibt es zwei einfache Sonderfälle: Wirken Wind- und Strömungskraft genau in dieselbe Richtung, werden die Beträge aufaddiert. Wirken sie hingegen in entgegengesetzter Richtung, müssen die Beträge voneinander subtrahiert werden.

    Häufig schließen die beiden Kräfte jedoch einen Winkel ein, liegen also nicht genau auf einer Linie. Beträgt dieser Winkel 90°, kann man zur Berechnung der resultierenden Kraft den Satz des Pythagoras anwenden. Die Rechnung ist dann nicht so lang und kompliziert. Ist der Winkel jedoch kleiner oder größer als 90°, muss die Langform der Gleichung gewählt werden. Die Rechnung ist dadurch aufwendig, diese Beispiele werden trotz der auftretenden Ungenauigkeiten in der Regel zeichnerisch gelöst.

  • Beschreibe die Grundlagen zur Überlagerung von Kräften.

    Tipps

    Die Abbildung verdeutlicht den beschriebenen Sachverhalt.

    Um welches Prinzip geht es hierbei?

    Lösung

    Wie in der Abbildung dargestellt ist, können an einem Körper mehrere Kräfte auftreten. Will man wissen, wie diese Kräfte insgesamt auf den Körper wirken, wendet man das Superpositionsprinzip an: Verschiedene Kräfte wirken auf einen Körper genauso wie ihre Summe. Man kann also eine resultierende Kraft ermitteln, um die Übersicht zu erleichtern.

    Zeichnerisch bestimmt man die resultierende Kraft dabei über Parallelverschiebung und einen Maßstab. Die Zeichengenauigkeit ist jedoch beschränkt. Es gibt Fehler. Exakter, aber je nach Beispiel schwieriger, ist die rechnerische Methode zur Bestimmung von resultierenden Kräften.

  • Erkläre, was eine Veränderung der Gewichtskraft eines Körpers auf der schiefen Ebene bewirkt.

    Tipps

    Welche Formel zur Berechnung der Gesamtkraft musst du hier anwenden?

    Was bewirkt in dieser Formel die gegebene Veränderung auf der einen Formelseite auf der anderen Formelseite?

    Lösung

    Die Teilkräfte Normalkraft und Hangabtriebskraft schließen im Kräfteparallelogramm einen rechten Winkel ein. Die Gewichtskraft ist die resultierende Diagonale. Es kann also mit dem Satz des Pythagoras gearbeitet werden (siehe Rechnung).

    Verdreifacht sich die Gewichtskraft, so müssen sich aufgrund des Quadrierens auch die Teilkräfte jeweils um den Faktor 3 erhöhen.

  • Ermittle die resultierende Kraft, die auf das Fahrzeug wirkt.

    Tipps

    Addiere zunächst die beiden Kräfte, die in dieselbe Richtung wirken.

    Subtrahiere anschließend von diesem Wert die dritte Kraft, die entgegengesetzt wirkt.

    Lösung

    Zunächst addiert man die beiden Kräfte, die in die gleiche Richtung zeigen, also Motorkraft und Windkraft, gemäß der allgemeinen Formel $F_{ges}=F_1+F_2$: $F_{neu}=F_M+F_W=18~000~N+12~000~N=30~000~N$.

    Anschließend subtrahiert man von dieser neuen Gesamtkraft die Kraft, die in entgegengesetzte Richtung zeigt, also die Reibungskraft, gemäß der allgemeinen Formel $F_{ges}=F_1-F_2$: $F_{Auto}=F_{neu}-F_R=30~000~N-14~000~N=16~000~N$.

    Das Ergebnis entspricht der resultierenden Gesamtkraft auf das Auto beim Anfahren an der Ampel.

  • Erkläre, wie die resultierende Kraft auf das Flugzeug ermittelt werden kann.

    Tipps

    Verdeutliche dir den Sachverhalt in einer Skizze: Wie stehen die Vektoren zueinander?

    Welche Formel zur Berechnung kannst du anwenden?

    Welche beiden Kräfte bilden die resultierende Kraft?

    Lösung

    Die Gesamtkraft $\vec {F_{ges}}$ bildet zusammen mit der Kraft der Luftströmung $\vec {F_L}$ die resultierende Kraft $\vec {F_{res}}$. Da diese beiden Kräfte einen rechten Winkel einschließen, kann zur Bestimmung der resultierenden Kraft der Satz des Pythagoras angewendet werden. Die beiden Kräfte werden jeweils quadriert, dann addiert und zuletzt wird die Quadratwurzel gezogen.

    Das Flugzeug wird in Richtung der Luftströmung seitlich abgelenkt. Beim Fliegen wirken insgesamt vier grundlegende Kräfte auf das Flugzeug. Neben der Schub- und der Widerstandskraft treten noch Anziehungs- und Auftriebskraft auf. Der Anziehungskraft der Erde wirkt die Auftriebskraft des Flugzeuges entgegen. Das Abstimmen dieser beiden Kräfte ermöglicht ein Steigen oder Sinken des Flugzeugs.