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Zweites Newton'sches Gesetz – F = m · a 07:29 min

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Transkript Zweites Newton'sches Gesetz – F = m · a

Grundgesetz der Dynamik: Newton 2

Hallo. Wusstest du, dass die Rennräder bei der Tour de France nur halb so viel wiegen, wie ein Mountainbike? Es gibt sogar eine Wettkampfvorschrift, die besagt, dass die Masse der Rennräder nicht weniger als 6,8 kg betragen darf. Kannst du dir vorstellen, welchen Einfluss die Masse auf den Wettkampf haben könnte?

Die Suche nach der Antwort führt uns zum Grundgesetz der Dynamik, das auch als Newtons zweites Axiom bekannt ist.

Für unsere Untersuchung stellen wir als erstes eine Hypothese zu den Fragestellungen auf. Dann zeige ich dir einen Versuchsaufbau, mit dem wir die relevanten Größen gut bestimmen können. Die Auswertung des Experimentes bringt uns zum Grundgesetz der Dynamik.

Wie du schon weißt, zählt zu den Wirkungen einer Kraft die Änderung des Bewegungszustands eines Körpers. Das bedeutet, dass entweder der Betrag der Geschwindigkeit des Körpers gesteigert oder verringert wird, oder dass die Richtung der Bewegung geändert wird. Außerdem hast du schon gelernt, dass die Änderung der Geschwindigkeit als Beschleunigung bezeichnet wird und dass es hierfür ein Zeit-Weg-Gesetz gibt.

Beim Fahrradfahren wirkt die Muskelkraft der Beine auf die Pedale, dadurch wird das Hinterrad angetrieben und das Fahrrad wird, dank der Reibung zwischen Straße und Reifen, in Bewegungsrichtung angeschoben und somit beschleunigt. Die Beschleunigung und die Kraft wirken dabei in die gleiche Richtung. Und von den Rennrädern wissen wir nun, dass die Masse des Fahrrads besonders gering sein soll.

Für unser Experiment stellen wir also die Hypothese auf, dass die Beschleunigung eines Körpers umso größer ist, je größer die wirkende Kraft ist und je kleiner die Masse des Körpers ist.

Da eine Messung von Beschleunigung und Kraft bei einem Fahrrad etwas schwierig wird, zeige ich dir, wie man sie in einem Versuchsaufbau genauer untersuchen kann. Am besten eignet sich eine Luftkissenbahn, weil hier fast keine Reibung wirkt. Wenn man die Luftkissenbahn nicht hat, kann man auch einen Wagen auf Rollen nehmen. Auf den Wagen kommen mehrere Massestücke, somit haben wir unser Fahrrad plus Fahrer. Die Kraft auf den Wagen wird durch ein angehängtes Massentück realisiert. Die Gewichtskraft des Massenstücks wirkt über die Umlenkrolle als Zugkraft auf den Wagen. Fertig. Mit Lineal und Stoppuhr können wir nun die Weg- und Zeitänderung messen.

Wenn wir das Zeit-Weg-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung nach a umstellen, dann erhalten wir a ist gleich zwei s durch t zum Quadrat. Mit dieser Gleichung können wir die mittlere Beschleunigung des Wagens berechnen.

Da wir ja untersuchen wollen, wie sich die Beschleunigung bei unterschiedlicher Krafteinwirkung ändert, müssen wir nun Gewichte vom Wagen nehmen und an unsere Schnur hängen. So wird die beschleunigtende Kraft größer während die Gesamtmasse konstant bleibt. Für jedes weitere Gewicht führen wir eine neue Messung durch.

Die entstandenen Wertepaare tragen wir in ein Diagramm ein. Auf die Rechtswertachse wird die Kraft in Newton angetragen und auf die Hochwertachse die Beschleunigung in Meter pro Quadratsekunde.

Tragen wir nun die Wertepaare ein, sehen wir schon ganz deutlich den Zusammenhang. Wir können eine Ursprungsgerade durch die Punkte legen, was bedeutet, dass hier direkte Proportionalität vorliegt. Die Beschleunigung ist also direkt proportional zur Kraft. Diese Proportionalität gilt sogar für die Vektorgrößen da Kraft und Beschleunigung in die gleiche Richtung zeigen, doch in diesem Diagramm können wir nur die Beträge eintragen. Damit wäre der erste Teil unserer Hypothese bestätigt.

Als nächstes wollen wir untersuchen, wie sich die Beschleunigung ändert, wenn sich die Masse des Fahrrades ändert. Dazu nutzen wir den gleichen Versuchsaufbau wie eben, doch diesmal fangen wir mit einem Massestück auf dem Wagen und einem an der Schnur an. Dann legen wir nach und nach die zusätzlichen Gewichte auf den Wagen. Die beschleunigende Kraft bleibt jetzt konstant, während sich jetzt die Masse ändert.

Wir führen für jedes weitere Massestück eine Messung durch und tagen die Wertepaare in ein Diagramm ein. Diesmal ist auf der Rechtswertachse natürlich die Gesamtmasseasse in kg abgetragen.

Beim Einzeichnen der Punkte wird schnell klar, das diesmal keine direkte Proportionalität vorliegt. Diesmal ergibt sich als Kurvenverlauf eine Hyperbel. Je größer die Masse, desto kleiner die Beschleunigung. Diesen Zusammenhang nennt man indirekte Proportionalität. Die Beschleunigung ist indirekt proportional zur Masse. Unsere Hypothese hat sich also als völlig richtig erwiesen.

Zu diesen zwei Erkenntnissen ist auch Isaac Newton gekommen und eine seiner zahlreichen Leistungen bestand darin, daraus ein gemeinsames Grundgesetz zu formulieren. Die Beschleunigung ist gleich die Kraft durch die Masse. Oder umgestellt: Eine Kraft F bewirkt, dass ein Körper der Masse m die Beschleunigung a erfährt. Dieses Gesetz gilt auch in vektorieller Schreibweise, da Kraft und Beschleunigung in die selbe Richtung zeigen.

Aus dieser Formel kann man auch prima die Einheit der Kraft bestimmen. Die Einheit der Masse ist Kilogramm, die der Beschleunigung Meter pro Quadratsekunde. Und so setzt sich ein Newton zusammen aus Kilogramm mal Meter durch Quadratsekunde.

Die Masse m ist hier als träge Masse zu verstehen. Man kann sich vorstellen, dass die Trägheit der Masse wie ein Widerstand zur Beschleunigung wirkt und diese behindert. Es gibt auch noch die schweren Masse, diese spielt bei der Gravitation eine Rolle und bewirkt das sich Massen anziehen.

Du siehst also: Kraft, Masse und Beschleunigung sind eng miteinander verbunden. Um eine möglichst große Beschleunigung zu erzielen, werden Rennräder besonders leicht gebaut. Die Fahrer sind meist auch ziemlich schlank, haben aber kräftige Beine, um kraftvoll in die Pedale treten zu können. Newtons Grundgesetz der Dynamik finden wir überall in unserem Alltag wieder. Überall dort, wo Körper bewegt werden. Bis zum nächsten Mal!

1 Kommentar
  1. Tolles Video! :)

    Von Pink Fluffy Unicorn Dancing On Rainbow, vor 8 Monaten

Zweites Newton'sches Gesetz – F = m · a Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zweites Newton'sches Gesetz – F = m · a kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne das zweite Newtonsche Grundgesetz.

    Tipps

    Direkte Proportionalität bedeutet, dass zwei Größen immer im selben Verhältnis zueinander stehen.

    Lösung

    Der gezeigte Versuch, bei dem wir einen Wagen auf einer Schiene mithilfe einer Umlenkrolle und Gewichten beschleunigt haben, hat uns Folgendes gezeigt:

    Wenn wir die Masse des angehängten Gewichts und somit auch die Gewichtskraft verdoppeln, hat sich auch die Beschleunigung des Wagens verdoppelt.

    Außerdem hat die Beschleunigung immer die Richtung der angreifenden Kraft. Im Versuch wurde die Gewichtskraft mithilfe einer Umlenkrolle um 90° umgelenkt, sodass sie den Wagen horizontal beschleunigen konnte.

  • Ordne jede Einheit ihrer physikalischen Größe zu.

    Tipps

    In der oberen Reihe stehen die physikalischen Größen, in der unteren Reihe die Einheiten.

    Überlege dir, in welcher Einheit du Strecken, Zeit, Geschwindigkeit, Körpermasse usw. angibst.

    Beschleunigung ist Geschwindigkeitsänderung pro Zeiteinheit.

    Lösung

    Wir geben Strecken s in Metern, Zeit t in Sekunden (oder in Minuten bzw. Stunden), Massen m in Kilogramm (oder in Gramm bzw. Tonnen) an. Diese Einheiten kennen wir bereits aus dem Alltag.

    Aber welche Einheit hat die Beschleunigung a? Die Beschleunigung gibt an, um welchen Wert sich eine Geschwindigkeit pro Zeiteinheit ändert. Die Geschwindigkeit v hat die Einheit m/s. Die Einheit der Geschwindigkeit muss also durch s geteilt werden, um auf die Einheit der Beschleunigung m/s² zu kommen.

    Geht es uns um die Einheit einer Größe, schreiben wir diese in eckige Klammern: z.B. [t]=1 s.

    Die Einheit für die Kraft ist N (Newton). Mithilfe der Formel zu Kraftberechnung F=m a können wir auch die Einheit ausrechnen, falls wir sie mal vergessen haben sollten.

    [F]=[m] $\cdot$ [a] = kg $\cdot$ m/s²

    Weil man die Kraft und somit auch ihre Einheit so oft braucht, nennt man 1 kg $\cdot$ m/s² einfach 1 N.

  • Nenne die Formeln der Dynamik.

    Tipps

    Überlege dir, ob sich Kraft und Beschleunigung direkt proportional oder indirekt proportional zueinander verhalten.

    Ob eine Formel richtig ist, kannst du dir auch mithilfe der jeweiligen Einheiten überlegen.

    Lösung

    Eine der elementaren Grundgleichungen der Mechanik beschreibt den proportionalen Zusammenhang zwischen der Kraftwirkung $\vec{F}$ und der somit hervorgerufenen Beschleunigung $\vec{a}$.

    Dabei lautet die Formel in Vektorschreibweise $\vec{F}=m \cdot \vec{a}$ oder, falls wir nur die Zahlenwerte betrachten, ${F}=m \cdot {a}$.

    Das Zeit-Weg-Gesetz $s=\frac{a}{2}\cdot t^2$ beschreibt, welchen Weg wir innerhalb einer bestimmten Zeit zurücklegen, falls eine durchschnittliche Beschleunigung a wirkt.

    Aus beiden Zusammenhängen können wir durch Umformungen andere Gleichungen herleiten.

    Die Formel $m=M\cdot n$ kommt aus der Chemie und beschreibt den Zusammenhang zwischen molarer Masse M, Stoffmenge n und Masse m,

    $\frac{1}{f}=\frac{1}{b}+\frac{1}{g}$ ist die Linsengleichung aus Optik. Sie beschreibt den Zusammenhang zwischen Brennweite f, Bildweite b und Gegenstandsweite g.

  • Bestimme die Fallbeschleunigung g.

    Tipps

    g ist eine Beschleunigung.

    Du kannst dieses Experiment selbst durchführen. Überlege, was du ändern musst, um auch ohne Lichtschranke genaue Messwerte zu erhalten.

    Lösung

    Beim physikalischen Experimentieren ist es wichtig, dass man sich vor dem Experiment überlegt, was man herausfinden möchte und wie man das Experiment am besten durchführt. Dafür macht man sich vor dem Experiment Notizen, welche Materialien für den Versuchsaufbau benötigt werden und wie man vorgehen möchte:

    Versuchsaufbau:

    • schwere Kugel
    • Tisch
    • Stoppuhr mit Lichtschranke
    Durchführung:

    Wir lassen den Ball mehrmals vom Tisch fallen und messen dabei die Zeit t bis zum Aufprall auf dem Boden. Da die Reaktionszeit des Menschen beim Stoppen etwa 0,1 s beträgt, werden zwei Lichtschranken zum Starten und Stoppen der Messung verwendet. Zur Bestimmung der Fallbeschleunigung nutzen wir das Zeit-Weg-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung, wobei wir die Beschleunigung in diesem Fall nicht a sondern g nennen.

    $\begin{align*} s&=\frac{g}{2}\cdot t^2 \qquad |\cdot 2 \quad |:t^2\\ g&=\frac{2s}{t^2} \end{align*}$

    Dies hilft uns während des Experiments. Es dient aber auch anderen Personen dazu, das Experiment nachstellen zu können. Möglicherweise möchten sie nachprüfen, ob sie ähnliche Ergebnisse erhalten, bevor sie deinen Ergebnissen vertrauen.

    Während des Experiments trägt man seine Messwerte in eine vorbereitete Tabelle ein und notiert sich besondere Beobachtungen oder markiert falsche Messungen, um zu erklären, warum ein Wert nicht in die Messreihe passt - zum Beispiel, wenn die Stoppuhr nicht rechtzeitig gestartet ist oder zu spät gestoppt wurde.

    Wir erhalten folgende Messwerte:

    $\begin{array}{l||c|c|c|c|c|c|c|c} \text{n}& 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10 \\ \hline t \text{ in } \text{s}& 0,50&0,45&0,31&0,35&0,40&0,30&0,41&0,43&0,38&0,48\\ \end{array}$

    Dabei ist n die Nummer der Messung und t die Fallzeit in Sekunden. Nach dem Experiment wertet man die Messung aus und formuliert seine Ergebnisse.

    Auswertung:

    Aus der Messreihe für die Zeit kann zuerst der Mittelwert berechnet werden. $\begin{align*} \overline{t}&=\frac{401\text{ s}}{10}= 0,401 \text{ s}\\ \end{align*}$

    Für die Fallbeschleunigung g erhalten wir dann.

    $\begin{align*} g&=\frac{2\cdot0,80 \text{ m}}{(0,401)^2\cdot \text{ s}^2}\\ g&=9,95 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \end{align*}$

    Am Schluss diskutiert man seine Ergebnisse und vergleicht sie gegebenenfalls mit anderen Ergebnissen oder Literaturwerten.

    Der experimentell ermittelte Wert stimmt gut mit dem Literaturwert von $g=9,81\frac{\text{m}}{\text {s}^2}$ überein.

    Überlege dir nun, wieso wir bei unserem Versuch eine Lichtschranke benötigen und es nicht ausreicht, eine normale Stoppuhr zu verwenden. Wie kannst du das Experiment so anpassen, dass du mit einer Handstoppuhr auskommst?

    Würde man eine größere Fallhöhe wählen, würde die Ungenauigkeit des Zeitstoppens nicht mehr so sehr ins Gewicht fallen und man könnte genauere Messwerte erhalten.

  • Nenne die Schritte der Erkenntnisgewinnung in der Physik.

    Tipps

    Womit fängt die Erkenntnisgewinnung wohl an?

    Überlege dir, wie wir in dem Video vorgegangen sind.

    Lösung

    Um dir zu überlegen, wie man wohl auf ein physikalisches Gesetz kommt und welche Schritte man dabei durchläuft, fangen wir am besten ganz am Anfang an.

    In der Regel fängt dieser Prozess immer mit einer alltäglichen oder wissenschaftlichen Beobachtung an. Zum Beispiel kann man sich fragen, warum ein Apfel zu Boden fällt.

    Um diese Beobachtung zu erklären, werden erst Hypothesen (Vermutungen) aufgestellt, die daraufhin mithilfe von Experimenten bestätigt oder widerlegt werden. Am Ende können wir ein physikalisches Gesetz formulieren.

  • Beschreibe den Zusammenhang zwischen zwei physikalischen Größen.

    Tipps

    Die Graphen entstehen, indem Messwerte von zwei verschiedenen Größen, die in einem bestimmten Zusammenhang stehen, in ein Koordinatensystem eingetragen werden.

    Graphen von direkt proportionalen Zuordnungen sind auch linear.

    Überlege dir, was es bedeutet, wenn sich die eine Größe mit dem Quadrat der anderen Größe verändert.

    Lösung

    Du siehst vier Graphen.

    Zwei davon sind linear (können mit einem Lineal gezeichnet werden). Einer dieser beiden geht durch den Ursprung des Koordinatensystems. Diese Ursprungsgerade beschreibt immer einen (direkt) proportionalen Zusammenhang.

    Die anderen beiden Graphen sind nicht linear. Der eine Graph nähert sich jeweils asymptotisch an die beiden Achsen an und beschreibt somit einen indirekt proportionalen Zusammenhang. Umso größer die eine Größe ist, umso kleiner wird die andere.

    Der letzte Graph beschreibt einen quadratischen Zusammenhang. Das heißt, wenn die eine Größe größer wird, wird die andere noch sehr viel größer. Verdoppelt sich beispielsweise eine Größe, vervierfacht sich die andere.