Das 3. Newton'sche Axiom: Das Wechselwirkungsprinzip

Das 3. newtonsche Gesetz

In unserem Einführungsvideo zu den newtonschen Gesetzen hast du bereits gelernt, dass diese drei Gesetze die Grundlage der Mechanik bilden. Wir wollen uns im Folgenden genauer mit dem 3. newtonschen Prinzip beschäftigen, das auch als Wechselwirkungsprinzip in der Physik bekannt ist.

Wechselwirkungsprinzip – Definition

Das Wechselwirkungsprinzip nach Newton können wir folgendermaßen formulieren:

Wirkt eine Kraft von einem Körper $A$ auf einen Körper $B$, so wirkt eine ebenso große entgegengerichtete Kraft von Körper $B$ auf Körper $A$.

Wenn wir die wirkenden Kräfte mit $\vec{F}_{A\rightarrow B}$ und $\vec{F}_{B\rightarrow A}$ bezeichnen, können wir das Wechselwirkungsprinzip mithilfe der folgenden Gleichung ausdrücken:

$F_{A \rightarrow B} = - F_{B \rightarrow A}$

Das Wechselwirkungsprinzip wird manchmal auch als Impulssatz bezeichnet, weil es der Impulserhaltung äquivalent ist beziehungsweise aus dieser abgeleitet werden kann. Dies wollen wir anhand eines Beispiels anschaulich machen.

Wechselwirkungsprinzip – Beispiele

Beispiel: Skateboardfahrer

Wir betrachten zwei Skateboardfahrer, Nr. 1 und Nr. 2, die sich gegenüberstehen und sich nicht bewegen. Der Impuls des Systems aus den beiden Skateboardfahrern ist also null. Wir können das folgendermaßen aufschreiben:

$p = p_1 + p_2 = 0$

Dabei ist $p$ der Gesamtimpuls und $p_1 = 0$ und $p_2 = 0$ sind die Impulse der Skateboardfahrer. Jetzt stellen wir uns vor, dass Skateboardfahrer Nr. 1 den anderen anstößt. Was passiert?

Impulserhaltung

Da Skateboardfahrer Nr. 1 Skateboardfahrer Nr. 2 angestoßen hat, beginnt Nr. 2, zu rollen. Sein Impuls ist jetzt nicht mehr null:

$p_2 \neq 0$

Da aber der Gesamtimpuls des Systems erhalten bleiben muss, muss jetzt auch $p_1$ einen anderen Wert als null haben. Insgesamt muss nämlich immer noch $p=0$ gelten. Das bedeutet:

$p \overset{!}{=} 0 = p_1 + p_2 \Rightarrow p_1 = - p_2$

Auch Skateboardfahrer Nr. 1 muss beginnen, sich zu bewegen – allerdings in die entgegengesetzte Richtung. Er muss den genau entgegengesetzten Impuls zu $p_2$ haben, damit die Impulserhaltung nicht verletzt wird. Für den Spezialfall, dass beide Skateboardfahrer die gleiche Masse $m$ haben, bewegen sie sich also mit gleicher Geschwindigkeit voneinander weg.

Wechselwirkungsprinzip

Wir können das gleiche Prinzip auch mithilfe des Wechselwirkungsprinzips betrachten. Indem Skateboardfahrer Nr. 1 Nr. 2 anstößt, übt er eine Kraft $F_{1 \rightarrow 2}$ auf Nr. 2 aus. Nach dem Wechselwirkungsprinzip muss nun eine Kraft $F_{2 \rightarrow 1}$ auf Nr. 1 wirken, die dem Betrag nach gleich ist, aber in entgegengesetzte Richtung zeigt, also:

$F_{2 \rightarrow 1} = -F_{1 \rightarrow 2}$

Wir wissen, dass die Kraft mit der Beschleunigung $a$ zusammenhängt: $F = m \cdot a$ . Setzen wir diese Definition ein und nehmen wieder an, die Massen seien gleich groß, erhalten wir:

$m \cdot a_1 = -m \cdot a_2 \Rightarrow a_1 = -a_2$

Wenn über denselben Zeitraum dieselbe Beschleunigung auf gleich große Massen wirkt, ist auch ihre Geschwindigkeit gleich groß. Auch mit dem Wechselwirkungsprinzip kommen wir also auf das Ergebnis, dass sich die Skateboardfahrer mit gleicher Geschwindigkeit voneinander wegbewegen.

Von der Impulserhaltung zum Wechselwirkungsprinzip – Erklärung

Wir haben gesehen, dass sowohl Impulserhaltung als auch Wechselwirkungsprinzip zum gleichen Ergebnis führen. Aber wie genau hängen sie zusammen?

Schauen wir uns noch einmal die Gleichung für die Impulserhaltung des Systems aus zwei Skateboardfahrern an.

$p = p_1 + p_2 = 0$

Zu Beginn sind sowohl $p_1$ als auch $p_2$ gleich null. Nach dem Stoß müssen sie entgegengesetzte Werte haben, also $p_1 = - p_2$. Das bedeutet, dass sie sich um den gleichen Betrag ändern müssen. Also:

$\Delta p_1 = - \Delta p_2$

Jetzt können wir die Gleichung, die wir vom 2. newtonschen Gesetz, dem Aktionsprinzip, kennen, nutzen:

$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} \Rightarrow \Delta p = F \cdot \Delta t$

Wenn wir $p_1$ und $p_2$ in dieser Form ersetzen, erhalten wir:

$F_{2 \rightarrow 1} \cdot \Delta t = - F_{1 \rightarrow 2} \cdot \Delta t$

Die Zeit $\Delta t$ können wir kürzen und damit bleibt:

$F_{2 \rightarrow 1} = - F_{1 \rightarrow 2}$

Das ist das Wechselwirkungsprinzip.

Beispiel: Gravitation

Wir wollen noch ein Beispiel betrachten, das überraschend ist. Das 3. newtonsche Prinzip ist unabhängig von der Art der Kraft gültig – also auch dann, wenn die Kraft durch Gravitation wirkt. Du wirst, jetzt gerade, von der Erde angezogen. Die Erde übt also eine Kraft $F_{1 \rightarrow 2}$ auf dich aus. Nach dem Wechselwirkungsprinzip übst auch du eine Kraft $F_{2 \rightarrow 1}$ auf die Erde aus – und zwar eine Kraft, die entgegengesetzt gerichtet, aber gleich groß ist!

Dass das stimmt, siehst du, wenn du die Gleichung zum Gravitationsgesetz betrachtest. Aber warum fällst du dann auf die Erde und warum beschleunigt die Erde nicht auf dich zu, wenn du vom Stuhl springst?

Der Grund dafür, dass du trotzdem quasi keinen Einfluss auf die Erde hast, sind die unterschiedlichen Massen. Stellen wir die Gleichung $F = m \cdot a$ nach $a$ um, sehen wir, welche Beschleunigung durch eine Kraft bewirkt wird:

$a = \frac{F}{m}$

Die Masse steht im Nenner. Die Kraft, die auf dich und die Erde wirkt, hat zwar jeweils den gleichen Betrag, aber die Masse der Erde ist etwa $10^{23}$-mal größer als deine. Das ist einhunderttrilliardenmal mehr. Die Beschleunigung, die die Erde durch die gleiche Kraft erfährt, ist also $10^{23}$-mal kleiner als die Beschleunigung, die du erfährst:

$a_{Erde} = \frac{F}{m_{Erde}} << a_{Mensch} = \frac{F}{m_{Mensch}} $