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Sachaufgaben zur Radialkraft und Radialbeschleunigung

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Jochen Kalt
Sachaufgaben zur Radialkraft und Radialbeschleunigung
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse - 11. Klasse

Beschreibung Sachaufgaben zur Radialkraft und Radialbeschleunigung

In diesem Video werden wir gemeinsam Übungsaufgaben zum Thema Radialkraft und Radialbeschleunigung lösen. Dazu wiederholen wir erst ein paar Grundlagen zu diesem Thema. Danach werden wir drei Aufgaben zu Radialkraft und Radialbeschleunigung gemeinsam durchrechnen. In allen drei Aufgaben geht es darum, die Bewegung einer Kugel an einem Drahtseil zu beschreiben, wie man sie von der Sportart Hammerwerfen kennt. Die erste Aufgabe wird sein, in eine Skizze alle relevanten Größen einer Kreisbewegung einzuzeichnen. In der zweiten Aufgabe soll die Radialkraft berechnet werden, die benötigt wird, um eine Kreisbewegung auszuführen. Die dritte Aufgabe besteht darin, aus gegebener Masse und Radialbeschleunigung die Geschwindigkeit einer Kugel zu bestimmen.

Transkript Sachaufgaben zur Radialkraft und Radialbeschleunigung

Hallo und herzlich willkommen! In diesem Video werden wir gemeinsam Übungsaufgaben zum Thema Radialkraft und Radialbeschleunigung lösen. Dazu wiederholen wir erst ein paar Grundlagen zu diesem Thema. Danach werden wir drei Aufgaben zu Radialkraft und Radialbeschleunigung gemeinsam durchrechnen. In allen drei Aufgaben geht es darum, die Bewegung einer Kugel an einem Drahtseil zu beschreiben, wie man sie von der Sportart des Hammerwerfens kennt. Die erste Aufgabe wird sein, in eine Skizze alle relevanten Größen einer Kreisbewegung einzuzeichnen. In der zweiten Aufgabe soll die Radialkraft berechnet werden, die benötigt wird, um eine Kreisbewegung auszuführen. Die dritte Aufgabe besteht darin, aus gegebener Masse und Radialbeschleunigung die Geschwindigkeit einer Kugel zu bestimmen. Und damit kann es auch schon losgehen. Bevor wir mit den Aufgaben loslegen können, wirst du eine kurze Wiederholung der wichtigsten Größen und Zusammenhänge der Radialkraft und Radialbeschleunigung sehen. Wir betrachten die Bewegung eines Körpers mit der Masse m, der sich auf einer Kreisbahnmit dem Radius r bewegt. Die Geschwindigkeit des Körpers liegt tangential am Kreis an und wird mit vtang abgekürzt. Ohne Krafteinwirkung würde sich der Körper auf einer geraden Linie bewegen. Damit er sich auf einer Kreisbahn bewegt, ist eine Kraft in Richtung des Kreismittelpunktes nötig. Diese Kraft nennt man Radialkraft. Sie wird mit FR abgekürzt. FR= dem Produkt aus der Masse m und der Tangentialgeschwindigkeit vtang2 geteilt durch den Radius r (FR=mvtang2/r). Nach dem 2. Newtonschen Gesetz liegt immer eine Beschleunigung vor, wenn auf einen Körper eine Kraft wirkt. Somit hat die Radialkraft FR die Radialbeschleunigung aR zufolge. aR=FR/m, also =vtang2/r. Die Radialbeschleunigung zeigt in die gleiche Richtung wie die Radialkraft, nämlich zum Kreismittelpunkt. Mit diesem Vorwissen können wir uns auch schon daran machen, die Aufgaben zu lösen. In allen drei Aufgaben geht es um eine Kugel, die an einem Drahtseil befestigt ist und um den Mittelpunkt eines Kreises rotiert. Eine solche Bewegung findet bei der Sportart Hammerwerfen statt. Die Rotation soll dabei gegen den Uhrzeigersinn ablaufen. Da die Kugel wesentlich schwerer ist als das Drahtseil, betrachten wir die Bewegung so, als ob die Kugel alleine eine Kreisbewegung ausführen würde, und vernachlässigen das Seil komplett. Die erste Aufgabe lautet: Zeichne alle relevanten Größen in die Skizze ein. Um zu wissen, welche Größen relevant sind, erinnern wir uns zurück an die Formel für die Radialkraft. Es gilt FR=mvtang2/r. Die Masse m zeichnen wir bei der Kugel und den Radius r bei der Verbindung von Kreismittelpunkt zu Kugel ein. Die Tangentialgeschwindigkeit vtang können wir dann auch schon einzeichnen, da wir die Richtung der Bewegung kennen. Die Kugel rotiert gegen den Uhrzeigersinn, vtang zeigt also nach oben. Und natürlich muss auch die Radialkraft selbst eingezeichnet werden. Wie du aus der Wiederholung weißt, zeigt sie zum Kreismittelpunkt, also entlang der Verbindungslinie zwischen Kreismittelpunkt und Kugel. Die Radialbeschleunigung zeigt in die gleiche Richtung wie die Radialkraft. Damit wären jetzt alle relevanten Größen der Bewegung eingezeichnet. Auch wenn es mal nicht Teil der Aufgabenstellung ist, ist es immer ratsam, sich erst eine Skizze zu machen, um die Größen einzuzeichnen. So fällt es dir leichter, Zusammenhänge zu erkennen und den Überblick zu wahren. Die zweite Aufgabe lautet: Es sei vtang=28m/s. Das Gewicht der Kugel m=7,3kg und die Länge des Drahtseiles r=1,2m. Welche Radialkraft muss ein Hammerwerfer aufbringen, um diese Bewegung durchzuführen? Um das zu berechnen, muss man die Formel für die Radialkraft nehmen und die gegebenen Größen einsetzen. Die gegebenen Größen sind: m, vtang und r. Die gesuchte Größe ist FR. F=mvtang2/r=7,3kg(28m/s)2/1,2m. Das ergibt ein Ergebnis von ungefähr 4769. kgm/s2 ist die Darstellung von der Einheit Newton in SI-Einheiten. Wir können also auch schreiben: FR=4769N. Das ist die Kraft, die der Hammerwerfer aufbringen muss, um einen guten Wurf hinzulegen. Damit du dir besser vorstellen kannst, was das bedeutet, ein Vergleich: 4796 Newton entsprechen der Gewichtskraft FG von 479,6 Kilogramm. Beim Abwurf des Hammers bringt der Hammerwerfer also die gleiche Kraft auf, die zum Heben von 479,6 Kilogramm nötig wären. Das ist ganz schön viel. Die dritte Aufgabenstellung lautet: Auf die Kugel eines Hammerwerfers wirkt eine Radialbeschleunigung aR von 600m/s2. Das Drahtseil, an dem die Kugel befestigt ist, hat eine Länge von r=1,2m. Berechne die Tangentialgeschwindigkeit vtang. Die gegebenen Größen sind hier also aR und r. Gesucht ist vtang. Um vtang zu berechnen, nehmen wir die Formel für die Radialbeschleunigung. Sie lautet: aR=vtang2/r. Da wir vtang berechnen wollen, bringen wir r auf die andere Seite und ziehen die Wurzel aus dem Produkt von aR und r. Die Tangentialgeschwindigkeit vtang ist dann also gleich Wurzel aus √600m/s21,2m. Das ergibt einen Wert von ungefähr 26,8m/s. So, das war es mit den Sachaufgaben zu Radialkraft und Radialbeschleunigung. Ich hoffe, du konntest alles nachvollziehen und fandest es interessant. Tschüss und bis zum nächsten Mal!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Vielen Dank für den Hinweis. Wir haben den Lösungsweg angepasst.

    Beste Grüße
    Deine Redaktion

    Von René Perfölz, vor mehr als 5 Jahren
  2. Bei der 4. Übungsaufgabe des obigen Videos, ist bei der Lösung die Einheit fehlerhaft! Es müsste km/s heißen und nicht m/s!

    Von Casper, vor mehr als 5 Jahren

Sachaufgaben zur Radialkraft und Radialbeschleunigung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Sachaufgaben zur Radialkraft und Radialbeschleunigung kannst du es wiederholen und üben.
  • Erstelle die Skizze zur Aufgabe Hammerwerfer.

    Tipps

    Ohne die Radialkraft würde sich die Kugel geradlinig in Richtung der Tangentialgeschwindigkeit bewegen.

    Radialkraft und Radialbeschleunigung wirken in dieselbe Richtung.

    Lösung

    Ein Körper der Masse $m$ bewegt sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius $r$. Seine Geschwindigkeit $v_{tang}$ liegt tangential am Kreis an.

    Ohne Krafteinwirkung würde sich der Körper auf einer geraden Linie bewegen.

    Damit sich der Körper auf einer Kreisbahn bewegt, muss auf ihn eine Kraft in Richtung Kreismittelpunkt wirken. Diese wird als Radialkraft $F_R$ bezeichnet. Die Radialkraft ist umso größer, je schneller sich der Körper bewegt und je schwerer er ist. Außerdem ist sie bei kleineren Kreisen größer.

    Demnach liegt auch eine Beschleunigung vor, die Radialbeschleunigung $a_R$. Sie wirkt ebenfalls in Richtung Kreismittelpunkt und ist ebenfalls von der Geschwindigkeit des Körpers und vom Kreisbahnradius abhängig. Sie bewirkt aber nicht zwangsläufig eine Änderung des Geschwindigkeitsbetrages. In jedem Fall ändert sie jedoch beständig die Bewegungsrichtung des Körpers, der sich aufgrund seiner Trägheit sonst geradlinig bewegen würde.

  • Berechne die auftretende Radialkraft beim Hammerwurf.

    Tipps

    Beachte bei den gegebenen Größen die Einheiten.

    Wie lautet das Formelzeichen für die gesuchte Größe?

    Welches Ergebnis erhältst du bei der Berechnung?

    Lösung

    Die Aufgabe zum Hammerwerfer verdeutlicht noch einmal den typischen Aufbau eines Lösungsweges.

    Aus einer Sachaufgabe werden zunächst die gegebenen und die gesuchten Größen herausgefiltert. Außerdem kann es sinnvoll sein, eine Skizze wie in der vorangegangenen Aufgabe zu erstellen. Sie verdeutlicht den Sachverhalt noch einmal und hilft häufig sehr gut beim Finden des Lösungsansatzes.

    In diesem Beispiel wird als Lösungsansatz eine Formel benötigt, die dir bekannt ist und auch nicht mehr umgestellt werden muss. Daher können die gegebenen Größen direkt eingesetzt und die gesuchte Größe berechnet werden. Dabei solltest du auch immer ein Auge auf die Einheiten haben. Das ist keine Schikane, sondern hat schon oft Fehler im Lösungsansatz oder beim Einsetzen der Größen aufgedeckt. Vor der Berechnung kann es auch erforderlich sein, die notwendige Formel aus anderen Formeln herzuleiten oder sie umzustellen.

    Der Antwortsatz fasst die Überlegungen und Ergebnisse des Lösungsweges noch einmal kurz und prägnant zusammen. Er macht deutlich, ob der Kontext der Aufgabe richtig eingeordnet wurde.

  • Berechne die Radialkraft, die einen Satelliten in 1 000 Kilometern Flughöhe über der Erdoberfläche auf seiner Bahn hält.

    Tipps

    Verdeutliche dir den Sachverhalt in einer Skizze.

    Notiere die gegebenen und die gesuchten Größen.

    Setze die Zahlenwerte in die Formel zur Berechnung der gesuchten Größe ein.

    Beachte: Als Wert für den Radius darfst du nicht die Flughöhe einsetzen. Zum Rechnen muss dieser Wert außerdem im Metern angegeben werden.

    Lösung

    Gegeben:

    $v_{tang}=7~360 \frac ms$

    $m=500~kg$

    $r=7~370~km=7~370~000~m$

    Gesucht:

    $F_R$

    Lösung:

    $F_R=\frac {m\cdot v_{tang}^2} {r}=$

    $\frac {500~kg\cdot (7~360 \frac ms)^2} {7~370~000~m} \approx 3~680\frac {kg\cdot m} {s^2}=3~680~N$

    Der Satellit wird von einer Radialkraft in Höhe von rund 3 680 Newton auf seiner Kreisbahn um die Erde gehalten. Er befindet sich dabei in einer Höhe von 1 000 Kilometern. Die Radialkraft entspricht dabei der Gravitationskraft, die die Erde auf den Satelliten in seiner Flughöhe ausübt. Ohne diese würde sich der Satellit geradlinig durch das All bewegen.

  • Berechne die Geschwindigkeit, die ein geostationärer Satellit auf seiner Umlaufbahn besitzen muss.

    Tipps

    Welche Geschwindigkeit ist hier gesucht und wie kann sie berechnet werden?

    Verwende die Formel zur Berechnung der Radialbeschleunigung und stelle sie nach der Tangentialgeschwindigkeit um.

    Lösung

    Auf einer geostationären Bahn über dem Äquator bewegen sich Satelliten mit einer Geschwindigkeit von rund $3\frac {km} {s}$. Nur bei dieser Geschwindigkeit bleiben die Satelliten auf der gewünschten Bahn.

    Dadurch wird erreicht, dass die Satelliten einmal an einem kompletten Tag diese Bahn umlaufen. Dadurch besitzen sie dieselbe Winkelgeschwindigkeit wie die Erde und können immer über dem gleichen Punkt der Erdoberfläche stehen.

  • Gib die Formeln zur Berechnung von Radialkraft und Radialbeschleunigung an.

    Tipps

    Welche Größe tritt in den Formeln zu Radialkraft und Radialbeschleunigung im Quadrat auf?

    Welcher Zusammenhang besteht zwischen Kraft und Beschleunigung allgemein?

    Das zweite Newtonsche Axiom lautet: $F=m\cdot a$.

    Was bedeutet das für die Formeln von Radialkraft und Radialbeschleunigung?

    Lösung

    Die Radialkraft, die einen Körper auf eine Kreisbahn zwingt, ist von der Masse des Körpers, dessen Geschwindigkeit sowie vom Radius der Kreisbahn abhängig: Je größer Masse und Geschwindigkeit, desto größer die Kraft. Desto größer der Radius, desto kleiner die Kraft. Dabei fließt die Geschwindigkeit des Körpers im Quadrat in die Formel mit ein. Sie hat also einen sehr starken Einfluss auf die Kraft. Verdoppelt sie sich beispielsweise, so muss die vierfache Kraft wirken.

    Die Formel für die Radialbeschleunigung ergibt sich direkt aus der Formel für die Radialkraft: Nach dem zweiten Newtonschen Axiom muss wegen $F=m\cdot a$ lediglich die Masse aus der Formel für die Kraft gekürzt werden.

  • Erläutere, wie sich der Radius in der Denkaufgabe verhält.

    Tipps

    Argumentiere mit der Formel zur Berechnung der Radialkraft.

    Ist die Radialkraft für den zweiten Körper dreimal so hoch, so muss sich die andere Gleichungsseite insgesamt auch um den Faktor 3 ändern.

    Welcher Faktor muss demnach unter Berücksichtigung der anderen Tangentialgeschwindigkeit vor dem Radius stehen?

    Lösung

    Für den ersten und den zweiten Körper gilt allgemein:

    $F_{R1}=\frac {m \cdot {v_{tang1}^2}} {r_1}$ und

    $F_{R2}=\frac {m \cdot {v_{tang2}^2}} {r_2}$

    Außerdem gilt: $F_{R2}=3\cdot F_{R1}$ und $v_{tang2}=3\cdot v_{tang1}$ und somit auch

    $3\cdot F_{R1}=\frac {m \cdot ({3\cdot v_{tang1})^2}} {r_2}$

    $3\cdot F_{R1}=9\cdot \frac {m \cdot ({v_{tang1})^2}} {r_2}$

    $3\cdot F_{R1}=9\cdot \frac {m \cdot ({v_{tang1})^2}} {3\cdot r_1}$

    $3\cdot F_{R1}=3\cdot \frac {m \cdot ({v_{tang1})^2}} {r_1}$

    Also gilt: $r_2=3\cdot r_1$.

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