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Bewegung durch Kraft und Energie

Die drei Newtonschen Gesetze oder Axiome Trägheitsprinzip, Aktionsprinzip und Wechselwirkrungsprinzip als Grundgesetze der klassischen Mechanik sowie Kreiskräfte und Schwerpunktbetrachtung

Die klassische (Newton'sche) Mechanik

Isaac Newton war der Begründer der klassischen Mechanik, daher auch Newton'schen Mechanik genannt. Er beschäftigte sich mit der Dynamik starrer Körper, er untersuchte also die Wirkung von Kräften auf den Bewegungszustand von unverformbaren Körpern und Massenpunkten. Aus seinen Beobachtungen folgerte er seine drei Newton'schen Gesetze bzw. Newton'sche Axiome, die bis heute für Alltagsprobleme Gültigkeit haben.

Trotz komplizierter Theorien wie der Allgemeinen Relativitätstheorie reicht die einfache Newton'sche Mechanik aus, um die allermeisten Gravitationsphänomene wie Planeten- oder Satellitenbahnen zu schreiben.

Isaac_Newton.jpg

Massenpunkte und Schwerpunkt

Jeder räumlich ausgedehnte Körper lässt sich in der Physik als ein dimensionsloser Massenpunkt gleicher Masse beschreiben. Wirkt eine Kraft auf einen Körper, so wirkt sie eigentlich auf jedes der vielen kleinen Teilchen, aus denen ein Körper besteht. Da das aber zu aufwändig zum Rechnen wäre, ersetzt man die Kräfte aller Teilchen durch die resultierende Kraft am Schwerpunkt des Körpers. Der Schwerpunkt hat keine räumliche Ausdehnung und vereint die komplette Masse in sich. Die Lage des Schwerpunkts bestimmt auch die Standfestigkeit und das Gleichgewicht eines Objekts.

Das 1. Newton'sche Axiom – Trägheitsprinzip

Das 1. Newtonsche Gesetz beschreibt die Trägheit eines Körpers und wird daher auch Trägheitsprinzip genannt. Das Gesetz besagt, dass ein Körper in seinem Bewegungszustand verharrt, sofern keine äußere Kräft wirkt. Die umgekehrte Folgerung des Gesetzes besagt, dass die Summe aller äußerer Krafte Null ist, falls ein Körper in Ruhe ist oder sich mit konstanter Geschwindigkeit fortbewegt (gleichförmige Bewegung).

Beispiele – Trägheitsprinzip

Was Trägheit bedeutet kannst du bei jeder Autofahrt selbst erleben: Fährt das Auto um die Kurve oder bremst es, wirst du in den Gurt gedrückt. Dein Körper ist träge, das heißt er möchte seinen Bewegungszustand (die Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit in eine bestimmte Richtung) aufrechterhalten. Durch das Bremsen oder Lenken übt das Auto eine Kraft auf dich aus, die die Richtung oder Geschwindigkeit deiner Bewegung ändert. Die Zentrifugalkraft, die dich in einer Kurve in den Gurt drückt, ist folglich nur eine Scheinkraft, hervorgerufen durch die Trägheit der Masse.

Ein Beispiel für die Umkehrung des Gesetzes ist die Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit. Dabei wirken zwei Kräfte, die vorwärts treibende Kraft des Motors und die in entgegengesetzte Richtung wirkende Reibung zwischen Straße und Reifen. Gleichen sich diese Kräfte genau aus (Summe der Kräfte gleich Null), fährt das Auto konstant schnell.

Das 2. Newton'sche Axiom – Aktionsprinzip

Das 2. Newton'sche Gesetz oder Aktionsprinzip ist eine Bewegungsgleichung und die Grundgleichung der Dynamik. Es besagt, dass eine äußere Kraft eine Änderung des Impulses nach sich zieht.

$\vec{F}=\dot{\vec{p}}$

Der Impuls ist das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit: $\vec{p}=m\vec{v}$. Damit ergibt sich für die allermeisten Probleme mit konstanter Masse die bekannte Formel

$\vec{F}=m\dot{\vec{v}}=m\vec{a}$.

Ein Körper, auf den die Kraft $F$ wirkt, erfährt eine Beschleunigung $a$ in dieselbe Richtung. Die träge Masse $m$ ist dabei eine Art Widerstand gegen die Kraftwirkung und lässt sich als Maß für die Trägheit eines Körpers verstehen. Für den Fall, dass keine äußere Kraft wirkt ($F=0$), erfährt der Körper auch keine Geschwindigkeitsänderung ($a=0$) . Dies ist gerade die Aussage des 1. Axioms.

Damit reicht die Kenntnis aller wirkenden Kräfte, des Anfangsortes und der Anfangsgeschwindigkeit aus für die Bestimmung des Ortes und der Geschwindigkeit zu jedem beliebigen Zeitpunkt $t$.

Beispiele – Aktionsprinzip

Ein beladendes Auto braucht bei gleicher Motorleistung ($F$) länger, um von 0 km/h auf 100 km/h zu beschleunigen ($a$) als ein leeres Auto, da seine Masse $m$ größer ist.

Die Geschwindigkeit $v$ ist eine vektorielle Größe, das heißt, sie hat einen Betrag und eine Richtung. Wirbelst du einen Körper an einem Seil in kreisenden Bewegungen durch die Luft, übst du eine Zentripetalkraft entlang des Seiles aus. Die Beschleunigung, die ein Körper nach dem 2. Axiom erfahren muss, äußert sich dabei nicht in der Änderung des Betrages der Geschwindigkeit sondern in der ständigen Änderung seiner Richtung. Wirkt die Kraft nicht mehr (Loslassen des Seils), fliegt der Körper tangential davon.

2. Newton'sche Gesetz

Radialkraft und Radialbeschleunigung

Das 2. Newton'sche Axiom gilt auch bei Kreisbewegungen. Ein Körper auf einer Kreisbahn, wie der Körper an einem Seil, der Satellit, der um die Erde kreist oder die Erde, die um sie Sonne kreist, erfährt eine Radialkraft und Radialbeschleunigung. Die Radialkraft oder Zentripetalkraft ist

$F=\frac{mv^2}{r} $

und zeigt senkrecht zur Bewegungsrichtung in Richtung Kreismittelpunkt. Im Satellitenbeispiel ist die Gravitationskraft die Zentripetalkraft. Die Tangentialgeschwindigkeit bleibt trotz wirkender Kraft konstant. Dies ist aber kein Widerspruch zum 2. Axiom, da sich stattdessen die Richtung der Tangentialgeschwindigkeit ändert.

Kreisbewegung.jpg

Das 3. Newton'sche Axiom – Wechselwirkungsprinzip

Mit der Impulserhaltung lässt sich herleiten, dass die Kraft, die vom Körper 1 auf den Körper 2 ausgeführt wird, betragsmäßig gleich der Kraft ist, die von Körper 2 auf Körper 1 ausgeführt wird. Die Richtung der Kraft ist gegensätzlich. Dies ist das 3. Newton'sche Axiom oder Wechselwirkungsprinzip, auch Actio und Reactio genannt.

$\vec{F_{12}}=-\vec{F_{21}}$

Beispiele – Wechselwirkungsprinzip

Die Anziehungskraft der Erde auf dich, ist genauso groß wie die Anziehungskraft, die du auf die Erde ausübst. Der Unterschied besteht in der unterschiedlichen Masse und daher Trägheit der Körper. Da du der Kraft eine deutlich kleinere Masse entgegensetzt als die Erde, wirst du viel mehr Richtung Erde beschleunigt als umgekehrt. Nach dem Äquivalenzprinzip entspricht die schwere Masse, die die Ursache der Gravitation ist ($F=mg$), der trägen Masse, die einer äußeren Kraft entgegenwirkt ($F=ma$).

Wechselwirkungsprinzip.jpg

Das Prinzip von Actio und Reactio kannst du selbst ausprobieren: Du und ein Freund mit gleichem Körpergewicht stehen sich jeweils auf einem Skateboard gegenüber. Ihr haltet ein Seil in den Händen. Ziehst nun du am Seil, muss dein Freund genau die selbe Kraft aufbringen, um das Seil in den Händen zu behalten. Auch werdet ihr euch beide aufeinander zu bewegen und euch in der Mitte treffen, obwohl nur du am Seil "gezogen" hast.