Arbeit und Energie im elektrischen Feld 12:47 min

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Transkript Arbeit und Energie im elektrischen Feld

Schönen guten Morgen und willkommen bei "Arbeit und Energie im elektrischen Feld". Ich hab hier eine Koordinatenachse und einen Plattenkondensator auf die Tafel gezeichnet. An diesem Plattenkondensator soll eine Spannung von 50kV, also 50.000 Volt liegen. Jetzt kommt der Herr Worm hier mal angelaufen, der wird sich jetzt mal in den Plattenkondensator hineinstellen. Der Herr Worm hat einen positiv geladenen Koffer in der Hand. Jetzt schalte ich die Spannung mal ein. Wir haben also gesehen, dass der Koffer dem Herrn Worm förmlich aus der Hand gerissen wurde. Herr Worm hielt den Koffer aber fest und zog ihn wieder zurück. Ich markiere jetzt hier die beiden Punkte, wo Herr Worm den Koffer zuerst hatte und dann, wo der Koffer durch das elektrische Feld hingezogen wurde, hier auf der linken Seite. Wir nennen die beiden Punkte x1 und x2. Anhand der Koordinatenachse, die ich da hingezeichnet habe, kann man also x1 mit ungefähr 2m angeben und x2 mit ungefähr 4m. Das ist jeweils die Entfernung von der negativ geladenen Kondensatorplatte. Wpot, das ist die potentielle Energie von der Ladung q, die Ladung von Herrn Worms Koffer an der Stelle x im Plattenkondensator, = q×U×(x/d). d ist der Abstand der Kondensatorplatten, also in diesem Fall 5m. Für das Produkt U×(x/d) schreibt man auch ein kleines φ - φ(x) - das ist das Potential im Plattenkondensator.  Jetzt wollen wir mal die Arbeit ausrechnen, die an dem Koffer verrichtet wurde, als er nach vorne gezogen wurde. Die Arbeit ist gerade die Änderung der potentiellen Energie auf dieser Strecke ΔW. Wir rechnen jetzt also Wpot an der Stelle x2 minus Wpot an der Stelle x1. Jetzt setzen wir also den Ausdruck für die potentielle Energie, der oben auf der Tafel steht, einfach ein. Das q×U und das 1/d, das klammer ich jetzt schon mal gleich aus, und dann erhalten wir: (q×U)/d×(x2-x1). Die Ladung von Herrn Worms Koffer ist, wie schon gesagt, positiv und beträgt 0,1 Coulomb. Wir können jetzt also alle Zahlen einsetzen und ΔW ausrechnen. Für U setzen wir also 50kV ein, für d setzen wir 5m ein, für q die 0,1C und das x2-x1 sind gerade 2m. Das Ergebnis lautet 2.000 Joule oder 2kJ. Jetzt wollen wir dieselbe Rechnung für den Fall machen, als Herr Worm seinen Koffer dann mit einer großen Kraftanstrengung wieder zu sich nach hinten zog. Viel ändert sich nicht an der ganzen Sache, außer dass eben die Bewegungsrichtung des Koffers entgegengesetzt war. Wir rechnen jetzt Wpot(X1)-Wpot(X2), also wir nehmen wieder die Position, wo der Koffer zuerst war, minus die Position, wo der Koffer dann hinterher war. Das ist also gerade andersrum als eben. ΔW ist dann (q×U)/d×(x1-x2). Sonst ändert sich auch an den beteiligten Zahlen nichts und da habt ihr es sicherlich schon erraten, das Ergebnis ist dann -2.000J oder -2kJ. Ich mache an das ΔW hier noch einen Strich ran, um es von dem ΔW aus der ersten Situation zu unterscheiden. Das, was an dieser Rechnung wichtig war, ist, dass wir einen Vorzeichenwechsel gesehen haben, bei der Arbeit ΔW, als wir die Bewegungsrichtung der Ladung umgedreht haben. Als die Kraft den Koffer nach vorne zog, haben wir ein anderes Vorzeichen erhalten als in dem Fall, wo Herr Worm mit einer großen Kraftanstrengung den Koffer entgegengesetzt zur Kraft wieder zu sich zurückzog. Im 1. Fall hat das elektrische Feld Arbeit an dem Koffer verrichtet und im 2. Fall hat Herr Worm diese Arbeit investiert. Welches Vorzeichen man in welchem Fall herausbekommt, das ist Definitionssache. Man muss aber, wenn man sich für eine Variante entschieden hat, zum Beispiel für die, dich ich hier benutzt habe, dann muss man das auch konsequent so beibehalten. Das elektrische Feld, die Kraft, die Koordinatenachse und auch die Bewegungsrichtung des Koffers waren hier parallel zu einander. Jetzt betrachten wir mal den Fall, dass wir den Koffer, der immer noch positiv geladen ist, irgendwie so diagonal durch den Plattenkondensator bewegen. So zum Beispiel, wie hier eingezeichnet. Bei so einer Strecke können wir uns jetzt aber auch vorstellen, dass man zunächst einmal in Richtung der X-Achse geht und dann in einem rechten Winkel nach oben, senkrecht zur X-Achse, geht. Das habe ich jetzt hier gestrichelt eingezeichnet. Der gestrichelte Weg hat denselben Anfangs- und Endpunkt wie der diagonale Weg. Um die Arbeit auszurechnen, die man für eine Bewegung von dem einen Kreuz zum andern Kreuz braucht, sind ja bloß Anfangs- und Endpunkt und die an dieser Stelle vorhandene potentielle Energie von Bedeutung. Das, was ich hier eingezeichnet hab, das nennt man eine Koordinatenzerlegung und anhand des gestrichelten Pfeils, hier parallel zu X-Achse, kann man jetzt die X-Koordinaten ablesen. Ich schreib die jetzt mal hier unten auch hin. Die potentielle Energie, die hängt nur von den X-Werten ab und bei der Bewegung nach oben oder unten ändert die sich überhaupt nicht. Wenn wir jetzt (q×U)/d mal dem jeweiligen X-Wert ausrechnen, dann kommen wir also auf 3.200J bei x2 und wir erhalten 1.000J als potentielle Energie bei x1. Wie groß die hierbei verrichtete Arbeit ist, das sollt ihr selber für die Verständnisfrage am Ende des Videos ausrechnen. Übrigens könnte man sich auch von x1 nach x2 auf dieser gekrümmten, blau gestrichelten Bahn bewegen, aber auch hier sind Anfangs- und Endpunkt der Bewegung die gleichen wie in den anderen Fällen auch. Die potentielle Energie ändert sich um den selben Wert, die verrichtete Arbeit ist also die gleiche und die Form des Weges ist also vollkommen egal. Das ist in einem elektrischen Feld immer so und deswegen nennt man das ein konservatives Kraftfeld. Mit diesem Wissen können wir also auch leicht sagen, dass, wenn sich eine Ladung in einem elektrischen Feld kreisbewegt, also dort ankommt, wo sie losgeflogen ist, dass dann die verrichtete Arbeit 0 ist. Jetzt verlassen wir den Plattenkondensator und wir kümmern uns jetzt um Punktladungen, wo also die Felder nicht mehr homogen sind. Wir haben hier eine positive Punktladung und jetzt kommt der Herr Worm, der hat jetzt seinen Koffer gerade nicht dabei. Wir nehmen einfach an, er sei selber auch positiv geladen und er ist hier gerade einfach gradlinig vorbeigeflogen. Welche Arbeit in dem elektrischen Feld wurde jetzt eigentlich verrichtet? Gestrichelt zeichne ich hier mal die Flugbahn von Herrn Worm ein. Die Strecke, die uns interessiert, beginnt bei der Unterkante der Tafel und geht bis zur Überschrift auf der Tafel. Da Herr Worm ungefähr 2m groß ist und seine Körperlänge hier 2 mal zwischen diese Punktladung und die Strecke hier passt, sage ich mal, die ist ungefähr 4m, diese Entfernung. Der untere Abschnitt dieser Strecke ist halb so lang, ungefähr 2m, und das hier oben sind dann rund 3m. Und nun zu ΔW, der verrichteten Arbeit. In einem solchen Fall, wo das Feld nicht mehr homogen ist, muss man die Integralrechnung können. Wir müssen das Integral über F nach dr bilden, und zwar in den Grenzen r1 und r2. r1 und r2, das sind die Abstände zwischen Herrn Worm und der anderen Punktladung in der Mitte der Tafel. Ich zeichne das mal ein. Wegen dem Satz des Pythagoras, der in diesem rechtwinkligen Dreieck hier gilt, ist r1=\sqrt(20) und r2, das liegt oben im Bild, das ist 42+32 und daraus die Wurzel sind \sqrt(25). Wir haben hier jetzt 2 Punktladungen, ich nenne die in der Mitte der Tafel einmal q1 und die Ladung von Herrn Worm soll q2 sein, um das mal zu unterscheiden. Die Kraft, die zwischen diesen beiden Ladungen wirkt, die schreibe ich jetzt mal hier hin, sie ist gleich (q1×q2)/4πε0 - das ist die Dielektrizitätszahl - und geteilt durch r2. r ist jetzt in diesem Fall einfach ein beliebiger Abstand zwischen den beiden Ladungen. So, und wenn wir uns dann hier Platz geschafft haben, dann können wir das mal einsetzen, diesen Ausdruck, und das Integral ausrechnen. Das Einsetzen ist erst mal nicht besonders schwer. Wir haben das Integral von r1 nach r2 über q1×q2 durch 4πε0r2 nach dr. Wir können alle Konstanten vor das Integralzeichen schreiben und dann müssen wir nur noch über 1/r2 integrieren. Die Stammfunktion zu 1/r2 ist -1/r und die müssen wir in den Grenzen r1 bis r2 auswerten. Wer das jetzt nicht versteht, der sollte sich nachmal ein Video zur Integralrechnung anschauen. Ich setze jetzt die Grenzen in die Stammfunktion ein, wir bilden also die Differenz -1/r2 (minus minus, das macht plus) 1/r1. Und wem das jetzt nicht gefällt, der kann die Vorzeichen hier vertauschen und dann auch die Indizes an den r vertauschen, und dann stimmt das auch: 1/r1-1/r2 steht dann dort. Jetzt setzen wir für r1 und r2 noch die Zahlen ein, \sqrt(20) war r1 und \sqrt(25) für r2. \sqrt(25)=5, aber ich lasse das jetzt mal so stehen. 1/\sqrt(20) ist größer als 1/\sqrt(25), also ist der Klammerausdruck positiv. Die beiden q sind auch positiv und die Konstanten unter dem Bruchstrich sind auch alle >0. ΔW ist also >0. Das Vorzeichen stimmt, wir haben richtig gerechnet. Herr Worm war am Anfang seiner Flugbahn näher dran, an der Ladung, als am Ende. Er hat sich also insgesamt entfernt und positive Ladungen stoßen sich ja auch ab. Also musste er nicht gegen die Kraft ankämpfen, sondern die Kraft hat ihm auf seiner Bahn geholfen.  Ich bedanke mich für eure Aufmerksamkeit. Schaut euch auch das Video an über die Energie im elektrischen Feld und zum elektrischen Potential. Und dann noch: viel Spaß.                                                                                                                                                     

Arbeit und Energie im elektrischen Feld Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Arbeit und Energie im elektrischen Feld kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne die Formeln zur Berechnung von Arbeit und Energie im elektrischen Feld.

    Tipps

    F steht für die Kraft und q für die Ladung.

    Mit $W_{pot}$ wird die potentielle Energie beschrieben.

    Mit $\Delta W$ wird die Arbeit bezeichnet. Sie entspricht der Differenz der potentiellen Energien an zwei Orten im elektrischen Feld.

    Lösung

    $\Delta W$ steht für die zu leistende Arbeit um eine Ladung $q$ im elektrischen Feld von $x_1$ zu $x_2$ zu bewegen.

    $F$ beschreibt die Kraft , die auf die Ladung wirkt.

    $\Delta W$ ist die Differenz der potentiellen Energie $W_{pot}$ an den Punkten $x_1$ und $x_2$.

    Im Plattenkondensator gilt:
    $W_{pot}=q\cdot U \cdot \frac{x}{d}$
    und damit
    $\Delta W=W_{pot}(x_2)-W_{pot}(x_1)=\frac{q\cdot U}{d} \cdot (x_2-x_1)$.

    Die Arbeit kann auch über die auf die Ladung wirkende Kraft hergeleitet werden. Es gilt
    $\Delta W =\int _{x_ 1 }^{x_2 }{F ~dx } $.

    Im Plattenkondensator gilt
    $F=E\cdot q = \frac{U \cdot q}{d}$.

    Da in dieser Formel kein x-Wert enthalten ist, folgt für das Integral direkt der obige Wert für die Arbeit:

    $\Delta W=\frac{q\cdot U}{d} \cdot (x_2-x_1)$.

    Bewegt sich nun eine Ladung $q_2$ im Feld einer Punktladung $q_1$, dann ist dies nicht viel anders.

    Für die Kraft gilt hier:
    $F=\dfrac{q_1 \cdot q_2}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot r^2}$.

    Wird daraus das Integral über r berechnet, ergibt sich die Arbeit.

  • Triff die richtige Aussagen über Arbeit im elektrischen Feld.

    Tipps

    Für die Kraft auf eine Ladung im Plattenkondensator gilt: $F=E \cdot q = \frac{U}{d} \cdot q$. Wenn dies über den Weg x integriert wird, kommt dasselbe raus wie bei der Differenz von der potentiellen Energie W. Gilt die Integralformel dann auch im Plattenkondensator?

    Mit dieser Formel kann die Arbeit im Plattenkondensator berechnet werden, die gebraucht wird, um eine Ladung q von $x_1$ zu $x_2$ zu verschieben. Spielt dann die Plattengröße eine Rolle?

    Es ist bei der Arbeit nur der Weg wichtig, der entlang der Feldlinien zurückgelegt wird. Ist es dann wichtig, ob der Weg schlangenförmig oder geradlinig ist?

    Lösung

    Für die geleistete oder zu leistende Arbeit spielt nur der Anfangs- und der Endpunkt eine Rolle. Der Weg ist nicht wichtig.
    Wenn sich eine Ladung im Kreis bewegt, dann startet sie dort, wo sie auch endet. Anfangs- und Endpunkt sind gleich.
    Deswegen ist die verrichtete Arbeit Null.

    Da die verrichtete Arbeit Null sein kann, ist sie natürlich nicht immer größer als Null. Sie kann sogar negativ sein.
    In die Richtung, in die das Feld Arbeit verrichtet, ist die Arbeit positiv. In die entgegengesetzte Richtung ist sie negativ.

    Das ist zum Beispiel der Fall, wenn eine Ladung im Plattenkondensator zu gleichnamig geladenen Platte bewegt werden soll. Da sich gleichnamige Ladungen abstoßen, muss hier gegen die Kraftwirkung des elektrischen Feldes angearbeitet werden.
    Es muss Arbeit geleistet werden.

    Für die Arbeit in einem elektrischen Feld gilt:
    $\Delta W =\int _{x_ 1 }^{x_2 }{F ~dx } $.

    Im Plattenkondensator gilt
    $F=E\cdot q = \frac{U \cdot q}{d}$.

    Da in dieser Formel kein x-Wert enthalten ist, folgt für das Integral direkt der obige Wert für die Arbeit:
    $\Delta W=\frac{q\cdot U}{d} \cdot (x_2-x_1)$.

    Hier ist die Größe der Platten nicht enthalten. Deswegen spielt diese bei der Berechnung der Arbeit keine Rolle.

  • Beschreibe Arbeit und Energie im elektrischen Feld.

    Tipps

    Magnete haben zwei Pole. Was passiert, wenn du gleichnamige oder ungleichnamige Pole nah aneinander hältst? Bei elektrischen Ladungen ist das Prinzip dasselbe.

    Einen Berg runter rutschen geht einfach und fast von alleine. Das liegt an der Erdanziehungskraft, die dich nach unten zieht. Nach oben ist es dagegen ganz schön anstrengend. Wann musst du Arbeit verrichten. Und wie ist das im elektrischen Feld?

    Wenn ein metallischer Gegenstand von einem Magneten angezogen wird, welche Bahn nimmt er dann? Bewegt er sich geradeaus oder in Kurven? Bei Ladungen im elektrischen Feld verhält es sich genauso.

    Lösung

    Zwei gleichnamige Magneten stoßen sich ab.
    Bei den elektrischen Ladungen ist es genauso:
    Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab.
    Ungleichnamige Ladungen ziehen sich an.

    Wenn die Ladung angezogen wird, bewegt sie sich von alleine in Richtung der ungleichnamigen Ladung. Das elektrische Feld verrichtet dann Arbeit an der Ladung.

    Soll die Ladung sich dagegen in die andere Richtung bewegen, das heißt zur gleichnamig geladenen Platte, dann muss Arbeit geleistet werden. Es muss gegen die anziehende Kraft angearbeitet werden.

    Für die geleistete oder zu leistende Arbeit spielt nur der Anfangs- und der Endpunkt eine Rolle. Der Weg ist nicht wichtig.
    Wenn sich eine Ladung im Kreis bewegt, dann startet sie dort, wo sie auch endet. Anfangs- und Endpunkt sind gleich.
    Deswegen ist die verrichtete Arbeit Null.

  • Erkläre den Unterschied zwischen der Arbeit in einem Plattenkondensator und im Feld einer Punktladung.

    Tipps

    Das elektrische Feld im Plattenkondensator ist ein homogenes Kraftfeld. Was heißt das?

    Das elektrische Feld einer Punktladung ist inhomogen. Wie unterscheidet es sich von dem homogenen Kraftfeld?

    In einem homogenen Kraftfeld ist die Kraft, die auf eine Ladung wirkt, an allen Punkten des elektrischen Feldes gleich groß.

    Lösung

    Wenn die Arbeit im elektrischen Feld berechnet werden soll, gilt ganz allgemein die Formel:
    $ \Delta W =\int _{x_ 1 }^{x_2 }{F ~dx } $.

    Das Feld eines Plattenkondensators ist homogen. Das heißt, alle Feldlinien verlaufen parallel zueinander. Die Kraftwirkung auf eine Ladung ist an jeder Stelle des Feldes gleich groß.
    Für die Kraft im elektrischen Feld eines Plattenkondensators gilt:
    $F=E \cdot q = \frac{U}{d} \cdot q$.
    Diese Formel ist nicht vom Weg abhängig. Deswegen ergibt sich beim Berechnen des Integrals: $\Delta W= \frac{U}{d} \cdot q \cdot (x_2-x_1)$.

    Das Feld einer Punktladung ist dagegen inhomogen. Die Feldlinien sind mal näher beieinander und mal weiter voneinander weg. Die Kraftwirkung ist deswegen an unterschiedlichen Punkten unterschiedlich groß.

  • Berechne die Arbeit und die Größe der Ladung im elektrischen Feld eines Plattenkondensators.

    Tipps

    Die Arbeit entspricht der Differenz der potentiellen Energien am Anfang und am Ende der Bewegung.

    Mit der Formel für die potentielle Energie kann man auch die Ladung berechnen. Stelle dazu nach $q$ um.

    Achte auf die richtigen Einheiten.

    Lösung

    Zu beachten ist, dass $50 ~ kV = 50000 ~V$ sind.
    Es muss immer darauf geachtet werden, die richtigen Einheiten zu nutzen.

    Die Arbeit berechnet sich dann mit:
    $\Delta W= W_{pot}(x_2)-W_{pot}(x_1)= 3200 ~J - 1000~ J =2000 ~J$.

    Um die Ladung $q$ zu berechnen, wird die Formel für die potentielle Energie nach $q$ umgestellt.
    Anschließend können die gegebenen Werte eingesetzt werden.

    Hierbei ist es egal, ob $W_{pot}(x_1)$ oder $W_{pot}(x_2)$ genutzt wird. Wichtig ist nur, den dazugehörigen x-Wert zu nutzen.

    Es folgt:
    $\begin{align} && W_{pot}(x)&=\frac{q \cdot U}{d}\cdot x &|& \cdot d \div (U \cdot x) \\ &\Leftrightarrow& q&=\frac{W_{pot}(x) \cdot x}{U \cdot x} &|& x=x_1 \\ && q&=\frac{W_{pot}(x_1) \cdot d}{U \cdot x_1} && \\ && &=\frac{1000 ~ J \cdot 5~m }{50000~ V \cdot 1 ~m }= 0,1 C \end{align} $

  • Berechne die Arbeit im elektrischen Feld einer Punktladung.

    Tipps

    Der Satz der Pythagoras gilt im rechtwinkligen Dreieck und lautet $a^2+b^2=c^2$.

    Die Kraft muss in das Integral eingesetzt und berechnet werden.

    Dies folgt für die Arbeit um eine Punktladung $q_2$ im Feld einer Punktladung $q_1$ zu bewegen.

    Lösung

    Mit dem Satz des Pythagoras können die Radien $r_1$ und $r_2$ berechnet werden.
    Es gilt:
    $r_2=\sqrt{8^2 + 6^2}=10$
    $r_1=\sqrt{8^2 + 3^2}=\sqrt{73}$.

    Für die Kraft zwischen zwei Punktladungen gilt:
    $F=\dfrac{q_1 \cdot q_2}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot r^2}$.

    Mit
    $ \Delta W =\int _{r_ 1 }^{r_2 }{F ~dr }$
    kann dann die Arbeit berechnet werden.

    Zuletzt werden die gegebenen und berechneten Werte eingesetzt.

    Es folgt:
    $\begin{align} \Delta W &=\int _{r_ 1 }^{r_2 }{F ~dr } \\ &=\int _{r_ 1 }^{r_2 }{\dfrac{q_1 \cdot q_2}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot r^2} ~dr} \\ &=\dfrac{q_1 \cdot q_2}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0} \cdot\int _{r_ 1 }^{r_2 }{\frac{1}{r^2} ~dr} \\ &=\dfrac{q_1 \cdot q_2}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0} \cdot { [-\frac{1}{r}]}_{ r_1 }^{ r_2 } \\ &=\dfrac{q_1 \cdot q_2}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0} \cdot (-\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_1}) \\ &=\dfrac{ 5 \cdot 10^{-9} ~C \cdot 3 \cdot 10^{-9} ~ C}{4 \cdot \pi \cdot 8,85 \cdot 10^{-12}~ \frac{As}{Vm} } \cdot (-\frac{1}{10}+\frac{1}{\sqrt{73}}) \\ &=2,29 \cdot 10^{-9} ~ C \end{align}$.