Aufgaben zu Feldstärke und Spannung

Name: Aufgaben zu Feldstärke und Spannung
Uploaded: 2019-08-01T11:49:22.000+02:00

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Hallo und herzlich willkommen zu einem Video von Doktor Psi. Wir wollen in diesem Video einige Aufgaben zu den physikalischen Größen “elektrische Feldstärke” und “elektrische Spannung” bearbeiten. Dabei werden wir auch auf das Modell des elektrischen Feldes zurückgreifen. Wir beginnen mit einer knappen Wiederholung der Eigenschaften der elektrischen Feldstärke und der Definition der Spannung bei einem Plattenkondensator. Dann werden wir zwei Aufgaben zum Plattenkondensator bearbeiten. Also starten wir mit unserem Thema. Ein Plattenkondensator besteht aus zwei gegeneinander isolierten Metallplatten. Wird an die Enden der Platten eine elektrische Spannung angelegt, so lädt sich eine Platte positiv und die andere negativ auf. Zwischen den Platten bildet sich ein elektrisches Feld heraus. Wir verdeutlichen dieses elektrische Feld im Modell durch Feldlinien. Und in diesem Feldlinienmodell zeigen die Feldlinien vom Pluspol zum Minuspol. Schauen wir einmal von Randeffekten ab, so baut sich im Inneren dieses Plattenkondensators ein homogenes elektrisches Feld aus. Die, oder im Modell betrachten wir hier diese Feldlinien in einem homogenen Feld so, dass die den gleichen Abstand voneinander haben und senkrecht auf den Platten des Kondensators stehen. An den Rändern übrigens wird das Feld natürlich inhomogen gar nicht dargestellt. Eine Bemerkung noch zu diesem Bild. Wir haben in der Mitte eine positive Probeladung und wir sehen, dass diese Probeladung mit einem Pfeil versehen ist. Also auf diese Probeladung wirkt eine Kraft, auf diese in Richtung, sie ist positiv geladen, der negativen Platte unseres Kondensators. Soweit ein paar Anmerkungen zum Modell des elektrischen Feldes eines Plattenkondensators. Kommen wir nun zu unseren Aufgaben. Unsere erste Aufgabe lautet allgemein: Die Berechnung der Kraft auf eine elektrische Ladung im Feld eines Plattenkondensators. Im Einzelnen lautet die Aufgabenstellung wie folgt: Berechne die Kraft auf ein Elektron, also wir wählen hier speziell ein Elektron, die gegebenen Größen stehen auf dieser Seite. Dieses Elektron befinde sich im Feld eines Plattenkondensators der Stärke 200 N/C (Newton pro Coulomb). Dann in der zweiten Teilaufgabe wollen wir die berechnete elektrische Feldstärke mit der Gewichtskraft auf das Elektron vergleichen. Das wird die Aufgabe B sein. Und schließlich wollen wir die Ladung einer 1-Cent Münze die sich im Feld eines Plattenkondensators befindet, die wollen wir im Aufgabenteil C ausrechnen. Also zunächst zur Aufgabe A, die Formel zur Berechnung der Kraft auf eine Ladung im elektrischen Feld finden wir hier. Ladung mal Feldstärke, setzen wir die gegebenen Größen hier ein. Hier kürzt sich das Coulomb weg und wir behalten 3,210^-17 N übrig. Wir unterstreichen das hier zweimal. Im Normalen, in einer Klausur, solltest du hier einen vernünftigen Antwortsatz hinschreiben. Das gilt dann auch für die anderen erhaltenen Größen. Nun zu Aufgabenteil B, wir berechnen die Erdanziehungskraft, also die Kraft die auf unsere, auf unser Elektron wirkt. Wir setzen die Masse ein und die Erdbeschleunigung, wir rechnen hier näherungsweise mit 10 m/s². Wenn wir jetzt die Größen kgm/s² einmal beachten, dann können wir hier sagen, 1 kgm/s² = 1 N. Deswegen können wir hier Newton hinschreiben und wir erhalten eben 9,110^-30 N. Jetzt wollen wir noch die, das Verhältnis dieser beiden Kräfte ausrechnen. Wir setzen die erhaltenen Größen, die wir hier berechnet haben ein und bekommen einen Wert raus, von 3,510¹². Das heißt, die elektrische Kraft ist um den Faktor 3,510¹² größer, als die Kraft die auf das Elektron wirkt. Nun im Aufgabenteil C berechnen wir die Ladung unserer 1-Cent Münze: QE = mg. Die Masse der 1-Cent Münze multipliziert mit g. Stellen wir das um, erhalten wir diesen Term. Und wenn wir jetzt die entsprechenden Größen einsetzen, auch hier beachten wir wieder, dass wir hier bei den Einheiten berücksichtigen müssen, hier steht Gramm, ich habe daraus Kilogramm gemacht. Dann haben wir hier die entsprechende kgm/s², da haben wir wieder die Umrechnung zu einem Newton. Das können wir kürzen, und wir erhalten als Ladung, 1,1510^-4 C. Das wäre unser Ergebnis zum Aufgabenteil C. Ja, damit hätten wir die Aufgabe gelöst und wir gucken uns jetzt gleich eine zweite Aufgabe an. Ja nun zu unserer zweiten Aufgabe. Angenommen wir befinden uns in einem Gewitter dessen Wolken sich rund 500 Meter über der Erde befinden und wir schätzen etwa ab, dass die Gewitterwolke eine Größe von einem Quadratkilometer hat. Außerdem messen wir am Boden eine elektrische Feldstärke von 400 kV/m (Kilovolt pro Meter). Wir suchen einige Größen, die Spannung die zwischen Gewitterwolke und Erde besteht. Dann wie groß die gespeicherte Ladung im System “Wolke-Erde” ist, wenn wir das als Näherungsweise, als Plattenkondensator betrachten. Und schließlich drittens, wollen wir berechnen, wie groß die elektrische Energie im elektrischen Feld zwischen Wolke und Erde gespeichert ist. Kommen wir zum ersten Teil, wir suchen die Spannung. Wir setzen an das elektrische Feld, oder die Feldstärke E = U/d, Spannung durch Abstand. Wir formen um nach U = Ed, setzen unsere gegebenen Größen ein und erhalten hier zwei 210⁸ V. Wir unterstreichen das hier zweimal. In einer Klausur solltest du, wie immer bei allen Teilaufgaben, einen ordentlichen Antwortsatz schreiben. Hier beschränken wir uns auf diese Auszeichnung. Dann im Fall B wollen wir eine Ladung berechnen. Wir benutzen da die Gleichung für einen Plattenkondensator, näherungsweise mit der Konstante Epsilon₀ (Epsilon null), die wir aus jedem Tafelwerk ablesen können. Hier mit der Einheit F/m (Farad pro Meter). das ist deshalb günstig, weil sich hier dann eben alles entsprechend wegkürzt. Die Ladung erhalten wir aus dieser bekannten Formel: Q = CU. Auch hier setzen wir die Größen ein und beachten, dass hier aus den Einheiten - das überlasse ich dir gerne selbst - dass hier 3,6 C für die gesuchte Ladung folgt. Und schließlich zur elektrischen Energie, die wir aus dieser Formel entnehmen: W = 1/2CU². Auch hier setzen wir die entsprechenden Größen ein. Wir haben hier die 1,810^-8 F, die wir hier erhalten haben. Dann müssen wir noch die Spannung zum Quadrat erheben, die entsprechenden Einheiten beachten und wir erhalten hier eine Einheit Joule. Und als Ergebnis 3,610⁸ J. Diese Energie wird also im Bruchteil einer Sekunde, so lange dauert ja ein Blitz, freigesetzt. Ja, das war es wieder für heute, das waren einige Aufgaben zur Feldstärke und Spannung. Ich hoffe, es nutzt dir was, du hast alles verstanden und vielleicht sehen wir uns wieder bei einem Video von Doktor Psi. Tschüss!

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Die Autor*innen

Wolfgang Tews

Aufgaben zu Feldstärke und Spannung

lernst du in der 11. Klasse - 13. Klasse

Aufgaben zu Feldstärke und Spannung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Aufgaben zu Feldstärke und Spannung kannst du es wiederholen und üben.

Gib an, welche Formel zu welcher physikalischen Größe gehört.

Tipps

Im Plattenkondensator soll ein homogenes elektrisches Feld herrschen.

Die Kapazität hängt auch von der elektrischen Feldkonstante ab.

In einem starken elektrischen Feld wirkt eine stärkere Kraft auf eine Ladung, als in einem schwächeren.

Lösung

Die physikalischen Größen im homogenen elektrischen Feld, wie es in einem Plattenkondensator herrschen soll, können wir mit einigen Formel bestimmen.
Die Kraft die auf eine Ladung wirkt, ist über das Produkt aus der elektrischen Feldstärke $E$ und dem Ladungsbetrag $q$ zu bestimmen. Es gilt also $F_{el} = E \cdot q$. In einem starken elektrischen Feld wirkt also eine starke Kraft auf eine Probeladung $q$. Den Einfluss der Gewichtskraft im Schwerefeld der Erde kannst du dabei vernachlässigen, da die elektrische Kraft sehr viel größer ist als die Gewichtskraft.
Die elektrische Feldstärke $E$ lässt sich über den Quotienten aus Spannung $U$ und Plattenabstand $d$ bestimmen. Es gilt $ E = \frac{U}{d}$. Die Einheit kann dementsprechend in $\frac{V}{m}$ angegeben werden. Beachte, dass dieses eine Modellvorstellung ist. Auch eine Gewitterwolke über dem Erdboden kann als Plattenkondensator idealisiert werden. Es gibt einen Abstand $d$ und eine Spannung $U$. Insofern gibt es auch hier ein elektrisches Feld.
Die Ladung, welche auf einen Kondensator aufgebracht werden kann, lässt sich mit $C = \epsilon_0 \cdot \frac{A}{d} $ ermitteln. Dieser Bauteilkennwert wird auch als Kapazität bezeichnet. Dabei ist $\epsilon_0$ die elektrische Feldkonstante, $A$ die Fläche der Platten und $d$ deren Abstand.
Die Energie, welche auf einem Kondensator gespeichert werden kann, ist abhängig von der Kapazität $C$ und der angelegten Spannung $U$. Hier gilt $ W = \frac{1}{2} \cdot C \cdot U^2$.
Mit diesen Formeln kannst du nun einige wichtige Berechnungen am Kondensator durchführen.
Bestimme die gesuchten Größen.

Tipps

Die Ladung eines Elektrons beträgt $1,6 \cdot 10^{-19} C$.

Die Masse eines Elektrons beträgt $9,1 \cdot 10^{-31} kg$.

$F_{el} = q \cdot E$.

Lösung

Um die Kraft auf ein geladenes Teilchen im elektrischen Feld zu bestimmen, wenden wir die Formel $ F = q \cdot E$ an.
Darin ist $q$ die Ladung in $C$ und $E$ die elektrische Feldstärke in $\frac{N}{C}$. Wie du siehst, ergibt sich bei der Berechnung von $F_{el}$ die Einheit $N$. Für die Gewichtskraft gilt $F_g = m \cdot g$. Darin ist $m$ die Masse des Teilchens im elektrischen Feld und $g$ die Erdbeschleunigung. Generell ist die Masse der Teilchen im Kondensator sehr viel geringer als deren elektrische Ladung. Die spezifische Ladung eines Elektrons etwa beträgt $ \frac{q}{m} = \frac{1,6 \cdot 10^{-19} C}{9,1 \cdot 10^{-31} kg} = 1,76 \cdot 10^{11} \frac{C}{kg}$.
So kommt es, dass auch die Kraft $F_{el}$ sehr viel größer ist als die Kraft $F_g$. Aus diesem Grund wird die Gewichtskraft bei der Berechnung am Kondensator in der Regel vernachlässigt.
Betrachten wir ein Beispiel. Ein Elektron befindet sich im Kondensator. Die Ladung des Elektrons beträgt $ q = 1,6 \cdot 10^{-19}C$. Die elektrische Feldstärke betrage $E = 200 \frac{N}{C}$. Gesucht ist die Kraft $F_{el}$ auf das Elektron. Diese ergibt sich nun mit der Formel $F_{el} = 3,2 \cdot 10^{-17}N$.
Erkläre, warum eine Gewitterwolke über dem Erdboden ein Kondensator ist.

Tipps

In einem Kondensator herrscht ein elektrisches Feld.

Die Kapazität des Kondensators ist mit dessen Plattenfläche und Plattenabstand berechenbar.

Das Modell eines Kondensators ist dann auf reale Probleme anwendbar, wenn man für diese eine Kapazität bestimmen kann und ein elektrisches Feld herrscht.

Lösung

Betrachten wir zunächst die Eigenschaften eines Kondensators: In einem Kondensator wird Energie in einem elektrischen Feld gespeichert. Der Betrag der speicherbaren Energie hängt neben der angelegten Spannung auch von der Kapazität des Kondensators ab. Diese ist abhängig von der Geometrie des Kondensators und wird durch den Quotienten aus Plattenfläche durch Plattenabstand festgelegt. Halten wir fest: Ein Kondensator ist ein elektrisches Bauteil, in dem sich zwei Flächen $A$ im Abstand $d$ gegenüber stehen. Dazu muss eine Spannung zwischen den Platten angelegt sein, sodass ein elektrisches Feld im Kondensator entsteht.
Auch eine Gewitterwolke hat eine feststellbare Geometrie. Diese schwebt im Abstand $d$ über einer Fläche $A$. Dazu existiert eine Spannung $U$, denn die Gewitterwolke ist ja negativ aufgeladen und der Erdboden ist elektrisch neutral. In der Realität ist die Gewitterwolke natürlich nicht überall gleich weit von der Erdoberfläche entfernt. Auch die Spannung ist nicht überall konstant. In der Vereinfachung funktioniert dieses Modell jedoch gut.
Es herrschen also Bedingungen, die vergleichbar sind, mit denen im Plattenkondensator. Aus diesem Grund, kann man die Berechnungen am Kondensator auch auf das Gewitterwolke-Boden-Modell anwenden.
Berechne $E$, $C$ und $W$.

Tipps

$\epsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12}$

$W = \frac{1}{2} \cdot c \cdot U^2$

$E = \frac{U}{d}$

$C = \epsilon_0 \cdot \frac{A}{d}$

Lösung

Um die Aufgaben zu lösen, müssen wir mehrere Formeln verwenden.
Betrachten wir zunächst die Berechnung der elektrischen Feldstärke $E$. Es gilt $ E = \frac{U}{d}$. Darin ist $U$ die Spannung und $d$ der Plattenabstand. Liegt etwa eine Spannung $U = 1 kV$ über einem Plattenabstand von $d = 2,5 cm$ an, so beträgt die elektrische Feldstärke $E = \frac{1 kV}{0,025m} = 40 \frac{kV}{m}$.
Um die Kapazität eines Kondensators zu berechnen, benutzen wir die Formel $C = \epsilon_0 \cdot \frac{A}{d}$. Hier ist $\epsilon_0$ die elektrische Feldkonstante, $A$ ist die Fläche der Kondensatorplatten und $d$ der Plattenabstand. Schauen wir uns ein Beispiel an : Ein Kondensator habe eine Plattenfläche von $A = 0,09 m^2$ und einen Plattenabstand von $d = 16 mm$. Einsetzen liefert $C = 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot \frac{0,09m}{0,016m}= 4,98 \cdot 10^{-11} F$.
Die umfangreichste Berechnung wird benötigt, um die Energie im Kondensator $W$ zu bestimmen. Es gilt $W = \frac{1}{2} \cdot C \cdot U^2$. Darin ist $C$ die Kapazität des Kondensators, wobei für $C$ weiterhin gilt $ C = \epsilon_0 \cdot \frac{A}{d}$. $U$ gibt die Spannung an, die zwischen den Kondensatorplatten anliegt. Betrachten wir ein Beispiel: Ein Kondensator habe eine Plattenfläche von $A = 0,08 m^2$ und einen Plattenabstand von $d = 0,3 mm$. An diesen ist die Spannung $U = 750V$ angelegt. Einsetzen liefert : $W = \frac{1}{2} \cdot \epsilon_0 \cdot \frac{A}{d} \cdot (750V)^2 = E = 6,64 \cdot 10^{-4}J $. Es können also maximal $0,664 mJ$ in diesem elektrischen Feld gespeichert werden.
Gib an, welche Formeln für einen idealen Plattenkondensator ohne Dielektrikum gelten.

Tipps

Wir betrachten einen Kondensator ohne Dielektrikum.

Die Einheit von $E$ ist $\frac{V}{m}$.

Lösung

Unter den gezeigten Formel finden sich einige, die korrekt angegeben sind. Andere hingegen sind falsch.
Für die Spannung $U$ gilt $ U = E \cdot d$. Im Umkehrschluss muss die Formel $E = \frac{U}{A}$ falsch sein. Denn die Spannung hängt tatsächlich vom Plattenabstand $d$ und der elektrischen Feldstärke $E$ ab, nicht aber von der Fläche $A$.
Um die Kapazität zu bestimmen, können wir die Formel $C = \epsilon_0 \cdot \frac{A}{d}$ verwenden. Darin sind die Fläche $A$, der Plattenabstand $d$ und die elektrische Feldkonstante $\epsilon_0$ zu finden. Die Formel $C = \epsilon_r \cdot \frac{A}{d}$ unterscheidet sich zwar nur gering von der richtigen, ist aber dennoch falsch. Die Dielektrizitätskonstante $\epsilon_r$ wird hier nämlich nicht berücksichtigt.
Die Energie, welche auf einem Kondensator gespeichert werden kann, ist mit $W = \frac{1}{2} \cdot C \cdot U^2$ zu ermitteln. Auch hier können wir im Umkehrschluss festhalten, dass $W = \frac{1}{4} \cdot C \cdot U^2$ falsch sein muss. Es muss der Faktor $\frac{1}{2}$ verwendet werden. Das hängt mit dem Quadrat über $U$ zusammen.
Nun kannst du sicher die richtigen von den falschen Formeln unterscheiden und die Berechnungen am Kondensator werden ein wenig leichter.
Bestimme die Beträge für die Energien in den Kondensatoren.

Tipps

$ C = \epsilon_0 \cdot \epsilon_r \cdot \frac{A}{d}$

$W = \frac{1}{2} \cdot C \cdot U^2$

Lösung

Um die Energiezustände der Kondensatoren vergleichen zu können, müssen wir deren Kapazitäten sowie die angelegte Spannung kennen und in die Formel zur Berechnung der aufgebrachten Energie $W$ einsetzen.
Für $W$ gilt dabei $W = \frac{1}{2} \cdot C \cdot U^2$.
Für den Fall, dass die Kapazität bekannt ist, können wir $W$ ohne Umwege berechnen.
Ist $C$ jedoch nicht direkt bekannt, können wir die Kapazität anhand der Formel $ C = \epsilon_0 \cdot \epsilon_r \cdot \frac{A}{d}$ bestimmen.
Nun vergleichen wir die Energiebeträge, die sich für die linken und rechten Partner ergeben und verbinde diese, deren Energiebeträge sich gleichen.
Schauen wir uns ein Beispiel an.
Für $C = 8 pF$ und eine Spannung von $2 kV$ ergibt sich mit der eben gezeigten Formel $W = \frac{1}{2} \cdot 8 pF \cdot (2.000V)^2 = 1,6 \cdot 10^{-5} J$. Dies entspricht einer Spannung von $3651,48 V$ an einem Kondensator mit $C = 2,4 pF$.
Analog kannst du nun sicher die weiteren Paare finden. Viel Erfolg !